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2.1.1椭圆及其标准方程1


想一想
? 在我们实际生活中,同学 们见过椭圆吗?能举出一 些实例吗?

生活中 的椭圆

星系中的椭圆

——仙女座星系

我们一起来看看

实验操作

思考

(1)在画图的过程中,细绳的两端点的位置是固定的还是 运动的? (2)在画图的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? (3)在画图的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样
的关系?

? 结合“探究1”以及“圆的定义”,思 考讨论一下应该如何定义椭圆?
M

F1

F2

平面内与两个定点 F , 的距离的和等于常数 F
1 2

(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点 F , 1 F2 叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意:椭圆定义中需要注意的四处地方: (1) 必须在平面内;
M
F1 F2

(2)两个定点---两点间距离确定;
(4) 常数>|F1F2|

(3)定长---轨迹上任意点到两定点的距离和确定.

在椭圆的定义中,如果这个定长小于 或等于 F1F2 ,动点M的轨迹又如何呢?
①当常数=
②当常数<

F F2 时,动点M轨迹为线段F1F2; 1

F F2 时,动点M轨迹不存在. 1

结合椭圆定义回答下列问题: (1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的 距离和为10,则M点的轨迹是什么?

椭圆
(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为6,则M点的轨迹是什么?

线段AB
(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为5,则M点的轨迹是什么?

不存在

思考1

如何建立适当的直角坐标系? (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; 在的直线作为坐标轴。) y
F1 O F2

x

建系 列式 化简 设点

椭圆上的点满足|PF1 | + | PF2 | 为定值,设为2a,则2a>2c
? x + c? + y x >b> 方程: 2 + 2 = 1 ? a P( x , y ) 0? a | PF |= ? x - c ? + y b
2

| PF1 y
2

2 |=

y 2
2

2

2

2 则: ? x + c ?2F+ -y 2, 0+O ? x - c??c ,+ ?y 2 = 2a F2 0 x ?c ? 1 是焦点在x轴上椭圆的标准方程.

?

? x + c?
2

2

+ y 2 = 2a 2 2

? x - c?

2

+ y2
2 2 2

F 焦点坐标为:1+ y = 0a)、F2(? c - c ? ) + y ? ? x - c ? ? ? x + c ? ( -c , 4 - 4a x , 0 设 P( x,y )是椭圆上任意一点

+ y2

注:椭圆的焦点在坐标轴上,且两焦
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2

? a 2 - cx = a

? ?1 - ? x + a y = a a - c ? 设|FaF2c|=2c,则有F1(-c,0)、F2(c,0) 点的中点为坐标原点. ? 设 a - c = b ? b > 0? 得 x y + = 1 ? a > b > 0? 即:
2 2

? x - c ? + y2
2

a2

b2

思考3

你能类比焦点在x轴上的椭圆标准方程的建立过 程,建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程吗?
y
F2 O F1

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
它表示:
x

2

2

① 椭圆的焦点在y轴 ② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c) ③ c2= a2 - b2

椭圆的标准方程
y
F1 O F2

y
F2

x

O F1

x

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

方 程 点

(1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1;

(2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0;
(3) 哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上

特 (4)a、b、c都有特定的意义,a—椭圆上任意一点P
到F1、F2距离和的一半;c—半焦距. 有关系式 a 2 ? b 2 ? c 2 成立。

互动演练 (学生讲解,教师点评)
1、判断下列各椭圆的焦点所在的坐标轴并指出a、 b、c的值

x2 y2 ?1? ? ? 1 25 16

y2 x2 ?2? ? ?1 100 64

(1)因为x项的分母大,故椭圆的焦点在x轴上。其中 a=5,b=4,c=3 (2)因为y项的分母大,故椭圆的焦点在y轴上。其中 a=10,b=8,c=6

2、填空:

x y 3 2 ? ? 1中, a=___,b=___, (1) 在椭圆 9 4
x (? 5 ,0), ( 5 ,0) 焦点位于____轴上,焦点坐标是__________.
4 (2) 在椭圆 16x ? 7 y ? 112 中,a=___, b=___, 7
2 2

2

2

y (0,?3), (0,3) 焦点位于____轴上,焦点坐标是__________.

x y ? ?1 7 16

2

2

3、求适合下列条件的椭圆的标准方程:

1)a=4,b=1,焦点在x轴上;

x 2 ? y ?1 16
y x ? ?1 16 15
2 2

2

2)a=4,c=1,焦点在y轴上;

4、a=5,c=4的椭圆标准方程是
x2 y2 ? ?1 25 9
y2 x2 或 ? ?1 25 9 。

x2 y2 5.已知F1、F2是椭圆 25 ? 9 ? 1 的两个焦点,

过F1的直线交椭圆于M、N两点,则三角形 MNF2的周长为 20 .

典例剖析
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过

5 3 点 ( , ? ).求它的标准方程. 2 2
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b 5 3 2 2 2a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 2 所以 a ? 10.

由椭圆的定义知
5 3 2 2 ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2

又因为

,所以 c?2

x2 y2 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ?1 . 10 6

b2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6.

思考:能用其他方法求它的方程吗?

解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它

例 题 演 练

x2 y2 的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). a b

又∵焦点的坐标为 ( ?2,0),(2,0) ① 3 ( 5 )2 ( ? 2 )2 又由已知 2 2 ? 2 ? 1 ② a b 联立①②, 解得a 2 ? 10,b2 ? 6

?c ? 2

? a 2 ? b2 ? 4

教师总结:椭圆方程的求解步骤

x2 y2 ?1 . 因此, 所求椭圆的标准方程为: ? 10 6

一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值.

1、根据所学知识完成下表
定 义

本课小结
y F2
P x

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
y P

不 同 点




F1
O

F2

x

O

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

2、椭圆方程求法: 一定焦点位置;

二设椭圆方程;
三求a、b的值.

习题2.2 A组

1,2

方程 Ax ? By ? 1
2 2

什么时候表示椭圆?什么时候表示 焦点在x轴上的椭圆?什么时候表示 焦点在y轴上的椭圆?

祝同学们学习快乐!

以圆心O为原点,建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x,y)
y

? OP ? r
?

P ( x, y )
x

r
O
?

?
2

x ? y ?r
2 2

两边平方,得

坐标法
1.建系 2.设点

x ?y ?r
2

2

3.列式

4.化简

请看图片:你能从图中找出表示a、c、 a 2 - c 2的线段么?

P

y
a

思 考 2

a2 ? c2

F1

O

c

F2

x

所以令b ?| OP |, 即b 2 ? a 2 - c 2 (a ? b ? 0),
x2 y2 所以椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b


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