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衡中2014高考一模数学理科试题


衡中 2014 高考一模数学考试 数学(理科)试卷(A 卷)
命题人 王丽娜 审核人:褚艳春 本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合要求 的) 1.设全集为实数集 R, M ? x x ? 4 , N ? x 1 ? x ? 3 ,则图中阴影部分表示的集合是(
2

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 6. 设 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若 目标 函 数 z ? ax ? by (a, b ? 0) 的 最 大 值 是 12 ,则 ? x, y ? 0, ?

a 2 ? b 2 的最小值是(
A.



6 13

B.

36 5

C.

6 5

D.

36 13

7. 已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为 ( ) A.16 ? B.4 ? C.8 ? D.2 ?

?

?

?

?

)

A. x ?2 ? x ? 1 C. x 1 ? x ? 2

?

?

B. x ?2 ? x ? 2 D. x x ? 2

?

?

8.已知函数 f ? x ? ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?? ? ? ? ?) 图像的 一部分(如图所示) ,则 ? 与 ? 的值分别为( A. ) D.

?

?

?

?
a?i


a?i 2.设 a ? R, i 是虚数单位,则“ a ? 1 ”是“ 为纯虚数”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

11 5? ,? 10 6

B. 1, ?

2? 3

C.

7 ? ,? 10 6

4 ? ,? 5 3

9. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双 曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形 ,则双曲线 C 的离心率 为( ) B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3

3. 若 {an } 是等差数列, 首项 a1 ? 0, a2011 ? a2012 ? 0 ,a2011 ? a2012 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是( A.2011 ) C.4022 D.4023

A. 2

10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x2 ,不等式

B.2012

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为(
A. (??,0)
2

)

4. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可 以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人” ,根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )

B. ?0,???
2

C. (??,1)

D. ?1,???

11.已知圆的方程 x ? y ? 4 ,若抛物线过点 A(0,-1),B(0,1)且以圆的切线为准线,则抛物线 的焦点轨迹方程是( A. + =1(y≠0) 3 4 C. + =1(x≠0) 3 4 ) B. + =1(y≠0) 4 3 D. + =1 (x≠0) 4 3

①平均数 x ? 3 ;②标准差 S ? 2 ;③平均数 x ? 3 且标准差 S ? 2 ; ④平均数 x ? 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。 A.①② B.③④ C.③④⑤ D.④⑤

x2 y2 x2 y2

x2 y2 x2 y2

5.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 相交于点 E,则点 E 为△A1BC1 的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

12. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

) =( f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008
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A. 2

2006

? 2007

B. 2

2008

? 2006

C. 2

2008

? 2007

D. 2

2006

? 2008

18.(本题 12 分) 已知四边形 ABCD 满足 AD / / BC , BA ? AD ? DC ?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分)

1 BC ? a ,E 是 BC 的中点,将△BAE 沿 AE 翻折 2

成 ?B1 AE, 使面B1 AE ? 面AECD ,F 为 B1D 的中点. 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置) 13.在区间[-6, 6], 内任取一个元素 xO , 若抛物线 y=x2 在 x=xo 处的切线的倾角为 ? , 则? ? ? 的概率为 。 (1)求四棱锥 B1 ? AECD 的体积;

? ? 3? ? (2)证明: B1E / /面ACF ; , ?4 4 ? ? (3)求面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值.

14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 15. 在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A , B , C 的对边分别是 a ,
b , c ,若 cAC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为



16.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列
2 在第一象限内的抛物线 y ?

?A ?, j ? 1,2,?,以及
j

3 x 上从左向右依次取点列 2
19.(本题 12 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏, 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布 列与数学期望 Eξ .

?Bk ?, k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等边三角形,其
中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 。 三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17.(本题 12 分) 在△ ABC 中, a , b, c 是角 A, B, C 对应的边,向量 m ? (a ? b, c) , n ? ?a ? b,?c ? ,且

m ? n ? ( 3 ? 2)ab .
(1)求角 C ; ( 2 )函数 f (x ) ? 2 sin(A ? B ) cos2 (?x ) ? cos(A ? B ) sin(2?x ) ? 1 的相邻两个极值的横坐标分别为 2

x0 ?

?
2

、 x 0 ,求 f ( x) 的单调递减区间.

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20.(本题12分) 已知椭圆 C : x 2 y 2 ( a ? b ? 0 )过点 (2 , 0) ,且椭圆 C 的离心率为 1 . ? ? 1 a 2 b2 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B、C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD,DC 的延长线交

N 两点,且 P 为线段 MN 中点,再 PQ 于点 Q (Ⅱ)若动点 P 在直线 x ? ?1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M ,
过 P 作直线 l ? MN .求直线 l 是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。 (1) 求证: AC
2

? CQ ? AB

(2) 若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos? ? y ? b sin ?

(a>b>0, ? 为参数),以 Ο 为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线 C1 上的 21. (本题 12 分) 点 M (2, 3 ) 对应的参数 ? =

? ? ? , ? ? 与曲线 C2 交于点 D ( 2 , ) 3 4 4
? 1 1 )是曲线 C1 上的两点,求 ? 2 的值。 2 2 ?1 ? 2

已知函数 f ( x ) 是定义在 ? ?e,0? ? ? 0, e? 上的奇函数,当 x ? ? 0, e? 时, f ( x) ? ax ? ln x (其中 e 是自 (1)求曲线 C1,C2 的方程; 然界对数的底, a ? R ) (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 g ( x) ? (2)A(ρ 1,θ ),Β (ρ 2,θ +

ln x

1 , ,求证:当 x ? ? ?e,0? a ? ?1 时,且 x ? ?? e,0? , f ( x) ? g ( x) ? 恒成立; 2 x
24.(本小题满分 l0 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? 1 | ? | x ?1 |? log2 a (其中 a ? 0 ) . (1)当 a ? 4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围

(3)是否存在实数 a,使得当 x ?? ?e,0? 时, f ( x ) 的最小值是 3 ?如果存在,求出实数 a 的值; 如果不存在,请说明理由。

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