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11-12学年高中数学 1.2.3 同角三角函数的基本关系式课件 新人教B版必修4


1.2.3同角三角函数关系式

同角三角函数公式

在单位圆中,角α的终边OP与OM、MP组

成直角三角形,|MP|的长度是正弦的绝对值,
|OM|的长度是余弦的绝对值,|OP|=1,

根据勾股定理得
sin2α+cos2α=1 又知tanα=
y ,所以 x
商数关系 平方关系

y N P

?
O M

x

sin ? ? tan ? cos ?

注意:
1. 公式中的角一定是同角,否则公式可能 不成立. 如sin230? 260?≠1. +cos
? 2.同角不要拘泥于形式α, ,6α等等都可以. 2

如sin24α+cos24α=1. 3. 商数关系中注意限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ,k∈Z.
2

?

应用:
(1)给定角的一个三角函数值,求这个角的

其余三角函数值。 (2) 化简三角函数式和证明三角恒等式。 应用的方法: 正用, 逆用、变形用.

sin ? ? 1 ? cos ?
2 2

cos ? ? 1 ? sin ?
2 2

sin ? ? cos? tan ?
sin ? tan ? ? 2 1 ? sin ?
2 2

sin ? cos ? ? tan ? 2 1 ? cos ? 2 tan ? ? 2 cos ?

4 例1 已知 sin ? ? ,并且α是第二象限角, 5 求α的余弦和正切值.
解:∵sin2α+cos2α=1,α是第二象限角.
? cos ? ? 0 4 2 3 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ( ) ? ? , 5 5
2

4 sin ? 5 ??4 ? tan ? ? ? cos ? ? 3 3 5

8 例2.已知 cos? ? ? ,求sinα、tanα的值. 17

解: ∵cosα<0

∴α是第二或第三象限角.

(ⅰ)当α是第二象限角时,
8 2 15 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? , 17 17 15 sin ? 17 ? ? 15 . tan ? ? ? cos ? ? 8 8 17
2

(ⅱ)当α是第三象限角时,
15 sin ? ? ? , 17

15 tan ? ? . 8

例3. 已知sinα-cosα= 求tanα的值。

5 ? ,180? <α<270? . 5

解:以题意和基本三角恒等式,得到方程组
? 5 ?sin ? ? cos ? ? ? ? 5 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?

消去sinα,得5cos2α-

cosα-2=0, 5

2 5 由方程解得cosα= 5

5 或cosα= ? 5

因为180? <α<270? ,所以cosα<0,即 cosα=
5 ? 5

sin ? 于是tanα= =2. cos ?

2 5 代入原方程组得sinα= ? 5

例4化简: 1 ? sin 2 440 ?
解:原式= 1 ? sin (360? ? 80?) ? 1 ? sin 80?
2 2

? cos 80? ? cos80?
2

sin ? ? cos? 例5 化简: tan? ? 1
sin ? ? cos ? 解:原式= sin ? ?1 cos ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? cos ?

化简方向: 切化弦

=cosθ.

例6 已知tanθ =2求值: (1) sin ? ? cos ? 2sin ? ? 3cos ?
解:(1)分子分母同除以cosθ 原式=

1 (2) 2 sin ? ? cos 2 ? (2)分子“1”换为 “sin2θ +cos2θ”
2 2 2

tan ? ? 1 2 tan ? ? 3

=1/7.

化简方向: 弦化切

原式=

sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1

=5/3.

例7. 求证:(1)sin4α-cos4α=2sin2α-1; 证明:左边=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α) =sin2α-cos2α =sin2α-(1-sin2α) =2sin2α-1右边. 所以原等式成立.

(2) tan2 ? ? sin 2 ? ? tan2 ? ? sin 2 ?

证明:原式右边=tan2α(1-cos2α) =tan2α-tan2αcos2α
sin ? 2 ? tan ? ? ? cos ? 2 cos ? =tan2α-sin2α =左边.
2 2

cos ? 1 ? sin ? (3) 1 ? sin ? ? cos ?

cos x ? cos x 证明:左边 ? (1 ? sin x)cos x

1 ? sin x ? (1 ? sin x) ? cos x 1 ? sin x =右边 ? cos x
2

∴原等式成立.

证明等式的常用方法: 1.从等式的一边证得它等于另一边; 2.先证明另外一个等式成立,从而推出需要 证明的等式成立; 3.利用作差(作商)的方法。


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