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广东省开平市风采华侨高中数学 线面垂直课件 新人教A版必修2


2.3.1直线与平面垂直的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

旗杆与地面垂直

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
A

α

B

直线垂直于平面内的 任意一条直线.
旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直. 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直.

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?
直线与平面的 一条边垂直

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( ? )
l
C

?

B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b
性质定理

(? )

直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线

线线垂直

线面垂直

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

典型例题
例1 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证

b ? ?.
b
n

证明:在平面 ? 内作 a 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

?

m

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

?

课本 P66探究

斜线

P 垂线

例2
a

已知

PO ? ? , a ? ? , a ? AO 求证 a ? PA
D1 A1
1





?
斜线在平面上的射影

C1 B1 C

找垂线 得射影

分别指出对角线A1C 与六个面所成的角. A

D

B

1

斜线





?

?

第2个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 O 面内的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的角

斜线在平面上的射影

一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 一条直线和平面平行,或在平面内,它们所 成的角是0 ?的角

直线和平面所成角的范围是[0?,90?]

练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
(1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 P

A B

C

例3练习 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中, 1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ? 求直线 A1B与平面A1B1CD所成的角 2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗?

D1
A1
Q

C1

D1
A1

C1 B1 F

B1
P

D
1

C A

D
O

C
B E
1

A

B

变式:(1)求直线AC与平面A1B1CD所成的角 (2)E,F分别是BC,CC1的中点,求EF与面ACC1A1 所成的角.

过ΔABC所在平面α外一点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC. 1).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____心. 2).若PA = PB = PC,∠C = 900 ,则O是AB边的__点. *3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是ΔABC 的_____心.

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定、性质

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题


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