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重庆八中高2011级高三下期第一次月考数学试题(文科)


高三下期第一次月考试题 重庆八中高 2011 级高三下期第一次月考试题



文科) 学 (文科)
球的表面积公式
S = 4πR 2 其中 R 表示球的半径

参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
[来源:Zxxk.C

]

球的体积公式
4 V = πR 3 3

p , 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次
的概率 Pn ( k ) = C n P (1 ? P )
k k n?k

其中 R 表示球的半径

第 Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
个小题, 一、选择题(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题( 1.已知集合 A = x x < 1 , B = x x( x ? 3) < 0 ,则 A I B =
A. (0, 3) B. (1,3) C. (0,1)

{

}

{

}

(

)

D. ( ?1,3)

2. a = 3 ”是“两直线 ax + y ? 3 = 0 和 ( 2 ? a ) x + 3 y ? 6 = 0 互相垂直”的( “ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件



3.在等差数列 {a n } 中,若 a3 + a 4 + a5 = 12 ,则 a 2 + a 6 =
A.6 B .8 C.10 ( )


D.7



4.函数 f ( x ) = 2 x ? 2 ? x 的图象关于

A.直线 y = x 对称 B.直线 y = ? x 对称 C. y 轴对称 5.已知直线 l 、 、 及平面 α ,下列命题中的假命题是 m n ... A.若 l // m , m // n ,则 l // n C.若 l // α , n // α ,则 l // n 6.已知 tan( α ? A. ? 1

D.原点对称





B.若 l ⊥ α , n // α ,则 l ⊥ n D.若 l ⊥ m , m // n ,则 l ⊥ n

π ) = 2 ,tan β + π ) 3 ,则 tan( α + β )的值为 ( =
6 6
B .1 C. ? 4
数学(文科)





D.4

重庆八中高 2011 级高三下期第一次月考试题



1 页

7.设 0 < b < a < 1 ,则下列不等式成立的是 A. ab < b 2 < 1 C. a 2 < ab < 1 B.





1 1 1 < ( )a < ( )b 2 2 2

D. log 0.5 b < log 0.5 a < 0

8.等边三角形 ABC 的三个顶点在一个半径为 1 的球面上,A、B 两点的球面距是 则△ABC 的外接圆面积为 A. 2π B. π ( ) C.

π,
2

2π 3

D.

3π 4


9.已知正数 x、y 满足 2 x + y + 4 xy = A. [4,+∞ ) B. [8,+∞ )

15 ,则 2 x + y 的取值范围为 ( 2
C. [6,+∞ ) D. [3,+∞ )

10.已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) ,过点 E(a,0)(a≠0)的直线交抛物线于点 M、N, 交 y 轴于点 P,若 PM = λ ME , PN = ? NE , 则λ + ? A.-1 B. ?

uuuu r

uuur uuur

uuu r





1 2

C.1

D.—2

非选择题 第 Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 填空题( 11.二项式 (1 + x ) 6 的展开式的中间项系数为 ...
2

_____. .

12.双曲线

x 2 ? y = 1 的渐近线方程为 y = ±2 x ,则 n = n 5?n

?y ≤ x ? 13.已知实数 x、y 满足约束条件 ? x + y ≤ 1, 则z = 2 x + y 的取值范围是 ? y ≥ ?1 ?
14.若函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x + 2) = ? f ( x ) ,若 f (1) = ?5 ,则



f ( f (5)) = ____

_.

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2 页

15.设 Sn 是有穷数列{ an }的前 n 项和,定义: Tn =

S1 + S 2 + L + S n 为数列{ an }的 n

“Kisen”和.如果有 99 项的数列: a1 , a2 , … a99 的“Kisen”和 T99 = 1000,则有 100 项的数列:1, a1 , a2 , … a99 的“Kisen”和 T100 = 三、解答题(本大题满分 75 分) 解答题(本大题满分 16、 本题满分 13 分) ( 已知向量 a = ( sin 2 x ? 1, cos x ) , b = (1, 2 cos x ) .设函数 f ( x ) = a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期 (2)若 x ∈ ? 0, .

r

r

r r

? π? ,求函数 f ( x ) 的最大值. ? 2? ?

17. 本题满分 13 分) (本题满分 甲、乙两人同时参加某电台举办的有奖知识问答。约定甲,乙两人分别回答 4 个问 题,答对一题得 1 分,不答或答错得 0 分,4 个问题结束后以总分决定胜负。甲,乙回 答正确的概率分别是

2 3 和 ,且不相互影响。求: 3 4

(1) 甲回答 4 次,至少得 1 分的概率; (2) 甲恰好以 3 分的优势取胜的概率。

18. 本题满分 13 分) ( 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD = 2 ,
A1

D1 B1

C1

AB = 2 2 , A1 A = 4 , E , F 分别是 AB, B1 B 的中点.
(1)求证: DF ⊥平面 D1 EC ; (2)求二面角 D1 ? EC ? F 的大小.
D A
数学(文科) 第

F

C
E
3 页

B

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19.(本题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) =

1 4 x ? x 3 + x 2 + a (0 < x ≤ 6). 4

(1)求函数的单调区间及最值; (2) a 为何值时,方程 f ( x ) = 0 有三个不同的实根.

20. 本题满分 12 分) ( 已知椭圆 C :

x2 y2 6 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的 2 a b 3

距离为 3 . ⑴求椭圆 C 的方程. ⑵设直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 3 ,且 △ AOB 的面积为 ,求实数 k 的值. 2 2

21. 本题满分 12 分) (本题满分 已知数列 {an } 满足:a1 = 1 ,an +1

? an ? + n ? 1 , n为奇数 ? =? 2 , bn = a2 n (n ∈ N ) , 记 , n为偶数` ? an ? 2 n ?

Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.
(1)证明数列 {b n } 为等比数列,并求其通项公式; (2)若对任意 n ∈ N 且 n ≥
?

2 ,不等式 λ ≥ 1 + S n ?1 恒成立,求实数 λ 的取值范围;

5 (n + 1)( ) n 9 11 ,证明: 1 + 1 + L + 1 > n 11 ( n ∈ N ? ) . (3)令 cn = 10 c1 c2 cn bn 10
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级高三下期第一次月考数学 文科) 数学( 重庆八中高 2011 级高三下期第一次月考数学(文科)参考答案
一、选择题: C A B D C 选择题 9 解:Q x > 0, y > 0 ,∴ ABC DA

15 = (2 x + y ) + 4 xy ≤ (2 x + y ) + 2( 2 x + y ) 2 ,化简, 2 2

(2 x + y ) 2 + 2(2 x + y ) ? 15 ≥ 0 ,解之 得 2 x + y ≥ 3 。
10 解:设直线: x = my + a ( m ≠ 0) ,代入 y 2 = 2 px( p > 0) 得 y 2 ? 2 pmy ? 2 pa = 0 , 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), P (0,?

a ) , y + y = 2 pm, y y = ?2 pa ,由 PM = λ ME , 1 2 1 2 m a a a 得 ? x1 , y1 + ? = λ (a ? x1 ,? y1 ) ? λ = ?1 ? ,同理 ? = ?1 ? ,所以 ? ? m? my1 my 2 ?
a ( y1 + y 2 ) a ? 2 pm = ?2 ? = ?2 + 1 = ?1 。 my1 y 2 m(?2 pa )
13. [—3,3]; 14. 5; 15. 991. — , ;

λ + ? = ?2 ?

二、填空题:11. 20 ; 12. 1; 填空题 ;

14 解:由已知 ? f ( x + 4) = f ( x ) , f (5) = f (1) = ?5 , f ( ?5) = f ( ?1) ,所以

f ( f (5)) = f (?1) = ? f (?1 + 2) = ? f (1) = 5 .
15 解:记 99 项数列前 n 项和为 Sn ,由已知 S1 + S 2 + … S99 = 1000×99, 设 100 项
' ' ' ' '

数列的前 n 项和为 Sn ,则 S1 = 1, S 2 = 1 + S1 , S3 = 1 + S 2 , …, S100 = 1 + S99 , 所以
' '

T100 =

' ' S1 + S 2 + L + S100 100 + S1' + S 2 + L + S 99 100 + 1000 × 99 = = = 991 . 100 100 100

三、解答题

16 解: (1) f ( x ) = a ? b = sin 2 x ? 1 + 2 cos x
2

r r

………………………………3 分

(2)因为 x ∈ ? 0,

= sin 2 x + cos 2 x π? ? ………………………………6 分 = 2 sin ? 2 x + ? , 4? ? 2π 所以,函数 f ( x ) 的最小正周期 T = ………………………8 分 =π ; 2 π ? π 5π ? ? π?
? 2? ?
,所以 2 x +

4

, ∈? , ?4 4 ? ?

当 2x +

π
4

=

π
2

,即 x =

π
8

时,函数有最大值 ymax =

2.

……………13 分

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17 解(1)甲回答 4 次,至少得 1 分的概率 P = 1 ? (1 ? ) 4 = 1

2 3

80 ; ……6 分 81

(2)记事件 Ai (i = 3,4) 为甲回答正确 i 个题目,事件 B j (i = 0,1) 为乙回答正确 j 个题目,事件 C 为甲以 3 分优势取胜,则

P(C ) = P( A3 B0 + A4 B1 ) = P( A3 B0 ) + P( A4 B1 )
3 0 4 1 = C 4 ( 2 ) 3 (1 ? 2 )C 4 (1 ? 3 ) 4 + C 4 ( 2 ) 4 C 4 ( 3 )(1 ? 3 ) 3 = 7 , 3 3 4 3 4 4 648

答:略

…………13 分

(1)以 D 为原点,射线 DA 、 DC 、 DD1 分别 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 18 解: 坐标系 D ? xyz 。 ……………………………1 分

则 D (0,0,0) , D1 (0,0,4) , C (0,2 2 ,0) , E ( 2, 2 ,0) ,

z
D1 A1 B1
C1

F (2,2 2 ,2) , DF = (2,2 2 ,2) , EC = (?2, 2 ,0) , D1C = (0,2 2 ,?4) , FC = (?2,0,?2) .
由 DF ? EC = ?4 + 4 = 0 , DF ? D1C = 8 ? 8 = 0 , 所以 DF ⊥ EC , DF ⊥ D1C ,又 EC ∩ D1C = C ,

F D A E B

C

y

所以 DF ⊥ 平面D1 EC

………………7 分

x

(2)由(1)知,平面 D1 EC 的法向量就是 DF = ( 2,2 2 ,2) , DF = 4 设平面 FEC 的法向量为 n = ( x, y , z ) ,于是

?n ? EC = ?2 x + 2 y = 0 ,取 z = ?1 ,得 x = 1, y = 2 , n = (1, 2 ,?1) , n = 2 , ? ? n ? FC = ?2 x ? 2 z = 0
设二面角 D1 ? EC ? F 的大小为 θ ,则

cos θ = cos < n , DF > =

n ? DF n DF

=

π 2+4?2 1 = ,所以 θ = 。 3 2× 4 2

…………13 分

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19 解:(1)求导,得 f ′( x) = x 3 ? 3 x 2 + 2 x ,

……………………………1 分

令 f ′( x) = x 3 ? 3 x 2 + 2 x =0,得 x = 0,1,2 ,作出下列表格:

x
f ' ( x) f ( x)

(0,1)
+ 增

1
0
极大值

(1, 2)


2
0
极小值 a

(2, 6)
+ 增

1 +a 4



所以, f ( x ) 在 (0,1) 上单增,在 (1, 2) 单减,在 (2, 6) 上单增; ………5 分 又 f (6) = 144 + a , 故,最大值为 f (6) = 144 + a 最小值为 f ( 2) = a ; ……7 分

? f (0) < 0 ? f (1) > 0 1 ? ? ? < a < 0. (2)由题可知, ? 4 ? f (2) < 0 ? f (6) ≥ 0 ?

a 的取值范围是 (? 1 ,0) 。 ………12 分 4

?c 6 ? = 20 解:⑴设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ,得 a = 3 , c = 2 ,∴ b = 1 , ?a = 3 ?
x2 ∴所求椭圆方程为 + y 2 = 1 . 3
⑵设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) .由已知 …………………………… 5 分

m 1+ k 2

=

3 3 ,得 m 2 = ( k 2 + 1) . …… 6 分 4 2

? y = kx + m ? 又由 ? x 2 ,消去 y 得: (3k 2 + 1) x 2 + 6kmx + 3m 2 ? 3 = 0 , + y2 = 1 ? ?3 ?6km 3( m 2 ? 1) ∴ x1 + x2 = 2 , x1 x2 = . …………………… 8 分 3k + 1 3k 2 + 1
2 2 2 2 ∴ AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 = (1 + k 2 ) ? 36 k m 2 ? 12( m2 ? 1) ? ? ? 2

3k + 1 ? ? (3 k + 1) 2 2 12( k + 1)(3 k + 1 ? m ) 3( k + 1)(9 k + 1) = = (3 k 2 + 1) 2 (3 k 2 + 1) 2
2 2 2

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又 S 2 △ AOB = ( × AB ×

1 2

3 2 3 3( k 2 + 1)(9 k 2 + 1) 3 ) = × = , 2 16 (3k 2 + 1) 2 4

化简得: 9k ? 6k + 1 = 0 , 解得: k = ±
4 2

3 。 3

……………………… 12 分

(1)因为 bn 21 解:(1) (1)

= a2 n ,由已知可得,

bn+1 = a2( n+1) = a(2 n+1)+1 =

a2 n+1 a a ? 4n 1 1 + (2n + 1) ? 1 = 2 n+1 + 2n = 2 n + 2n = a2 n = bn 2 2 2 2 2 1 1 1 又 b1 = a2 = a1 = ,则数列 {bn } 是首项和公比都为 等比数列, 2 2 2
故 bn =

1 1 n?1 1 ( ) = ( )n . 2 2 2

……………………………………………4 分

1 1? n 1 1 1 2 = 2(1 ? 1 ) < 2( n ≥ 2) 若对任意 n ∈ N ? (2)因为 1 + S n?1 = 1 + + 2 + L + n?1 = (2) 1 2 2 2 2n 1? 2
且 n ≥ 2 ,不等式 λ ≥ 1 + Sn?1 恒成立,则 λ ≥ 2 ,故 λ 的取值范围是 [ 2, +∞ ) . ……7 分

(3)因为 cn = (3)

(n + 1)(

5 n ) 11 = ( n + 1)(10 ) n ,则 11 bn

10 10 10 ? 10 ? 10 9 ? n cn+1 ? cn = (n + 2)( )n+1 ? (n + 1)( )n = ( )n ?(n + 2) ? (n + 1) ? = ( )n 11 11 11 ? 11 11 ? 11
当 n < 9 时, cn +1 ? cn > 0 ,即 cn 当 n = 9 时, 当 n > 9 时, cn +1 ? cn < 0 ,即 cn

< cn+1 ;

cn+1 ? cn = 0 ,即 c = c ; n n +1

> cn+1 .
1010 1010 ,故 0 < cn ≤ 9 . ……10 分 119 11

所以数列 {cn } 的最大项是 c9 或 c10 ,且 c9 = c10 =

9 9 9 有 1 ≥ 1110 , 1 ≥ 1110 ,…, 1 ≥ 1110 ,将 n 个不等式相加,得

c1

10

c2

10

cn

10

1 1 1 119 + + L + > n 10 (n ∈ N ? ) 。 c1 c2 cn 10

………………………………12 分

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