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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:解答题规范训练(一)函数


解答题规范训练(一)
函 数 (建议用时:45 分钟) 1.(2014·台州模拟)已知函数 f(x)=a·2x+b·3x,其中常数 a,b 满足 ab ≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性. (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. 【解析】 (1) ①若 a>0,b>0, 则 y=a · 2x 与 y=b · 3x 均为增函数 ,所以 f(x)=a·2x+b·3x 在 R 上为增函数; ②若 a<0,b<0,则 y=a·2x 与 y=b·3x 均为减函数, 所以 f(x)=a·2x+b·3x 在 R 上为减函数. (2)①若 a>0,b<0,由 f(x+1)>f(x)得 a·2x+1+b·3x+1>a·2x+b·3x,化简得 a·2x>-2b·3x, 即 > ,解得 x<lo ; < ,解得 x>lo .

②若 a<0,b>0,由 f(x+1)>f(x)可得 2.已知 f(x)=loga (a>0,a≠1).

(1)求 f(x)的定义域. (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明. (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 【解析】(1)由对数函数的定义知 >0.如果 则-1<x<1;

-1-

如果

则不等式组无解,故 f(x)的定义域为(-1,1). =-loga =-f(x),

(2)因为 f(-x)=loga 所以 f(x)为奇函数. (3)(i)对 a>1,loga

>0 等价于

>1, ①

而由(1)知 1-x>0,故①等价于 1+x>1-x,又等价于 x>0.故对 a>1,当 x∈ (0,1)时有 f(x)>0. (ii)对 0<a<1,loga >0 等价于 0< <1. ②

而从(1)知 1-x>0,故②等价于-1<x<0.故对 0<a<1,当 x∈(-1,0)时有 f(x)>0. 3.设 f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z,用 Ik 表示区间(2k-1,2k+1],已知当 x∈I0 时,f(x)=x2. (1)求 f(x)在 Ik 上的表达式. (2)对自然数 k,求集合 Mk={a|使方程 f(x)=ax 在 Ik 上有两个不等的实 根}. 【解析】(1)因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 k∈Z 时,2k 也是 f(x)的周期. 又因为当 x∈Ik 时,(x-2k)∈I0, 所以 f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 即对 k∈Z,当 x∈Ik 时,f(x)=(x-2k)2. (2) 当 k ∈ Z 且 x ∈ Ik 时 , 利用 (1) 的结论可得方程 (x-2k)2=ax, 整理 得:x2-(4k+a)x+4k2=0. 它的判别式是Δ=[-(4k+a)]2-16k2=a(a+8k).
-2-

上述方程在区间 Ik 上恰有两个不相等的实根的充要条件是 a 满足

化简得

由①知 a>0,或 a<-8k.当 a>0 时,因

2+a>2-a,故由②,③ 可得 解得 0<a≤ 易知 ≤2-a,即 ,当 a<-8k 时,2+a<2-8k<0, <2+a 无解, ,故所求集合 Mk= .

综上所述,a 应满足 0<a≤

4.某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不 低于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 y(件)与销售 单价 x(元)满足关系 y=-x+120. (1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (2)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围. 【解析】(1)由题意,销售利润为 W=(-x+120)(x-60) =-x2+180x-7200=-(x-90)2+900, 因为试销期间销售单价不低于成本单价 , 且获利不得高于 45%, 有 -(x-90)2+900≤0.45×60(-x+120),所以 60<x≤87,所以当 x=87 时,利 润最大,最大利润是 891 元. (2)因为该商场获得利润不低于 500 元,所以(x-60)·(-x+120)≥500,
-3-

所以 70≤x≤110,因为 x≤87,所以 70≤x≤87 时,该商场获得利润不低 于 500 元. 答:(1)当 x=87 时,利润最大,最大利润是 891 元. (2)该商场获得利润不低于 500 元,销售单价 x 的范围为[70,87].

-4-


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