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62算术平均数与几何平均数


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--利用均值不等式求最值
授课人:张旭辉

复习引入
定理:两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数(简称均值不等式).
a?b 即如果 a , b为 正 数 , 那 么 ? ab (当且仅当 a?b 2 时取“ ?” 号 )

新课讲解
一.提出问题
(1)xy=p(p为定值),求x+y的最小值,并指出取最小值的条件; (2)已知x+y=s (s为定值),求xy的最大值,并指出取最大值的 条件. 思路: (1)构造函数,利用函数单调性求解 (2)利用均值不等式

新课讲解
二.解决问题
(1) ? xy ? p( x ? 0),? x ? y ? x ?

?方法一:函数方法?

p x p 记f ( x ) ? x ? ( x ? 0), 容 易 证 明 函 数 f ( x )在 0, p 上 单 调 递 减 , 在 x p, ? ? 上单调递减。

?

?

?

?

?当且仅当 x?

p时,f ( x )min ?

p?

p p

? 2 p , 此时y ?

p , 即x ? y ?

p时,

(x ? y) min ? 2 p .

( 2) ? x ? y ? S且x ? 0, y ? 0, 则0 ? x ? S且xy ? x( S ? x ), 记 g( x ) ? x( S ? x )(0 ? x ? S ) 2 2 ? S S S S2 ? 2 又g( x ) ? ? x ? Sx ? ? ? x ? ? ,当 且 仅 当 x ? 时, g( x )max ? , 4 2 2 4 ? ? S S S2 此 时y ? , 即x ? y ? 时, ? xy?max ? 2 2 4

新课讲解

x? y (1) ? x, y都是正数,? ? xy 2 x? y 当积xy ? p为定值时, 有 ? p ,即x ? y ? 2 p , 上式中,当且仅当 2 x ? y时, 取" ?"号, 故当x ? y时, 和x ? y有最小值2 p .
x? y x? y? (2) ? x ? 0, y ? 0,? ? xy ,即xy ? ? ? 2 ? (当且仅当x ? y时, 取" ?"号) 2 ? ?
2 S 当和x ? y ? S为定值时, 有xy ? , 上式中,当且仅当x ? y时取" ?"号, 4 2 S 故当x ? y时, 积xy有最大值 . 4 2

?方法二:用均值不等式 ?

思考: 法二的好处

新课讲解
1.已 知x ? 0, 当x取 什 么 值 时 , x 2 ? 81 的 值 最 小 ? 最 小 值 是少 多? 2 x 2.求 函 数 y ? x ? 1 的值域 . x

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新课讲解

1 3.设x ? (0, ),求函数 y ? x(1 ? 3 x)的最大值? 3

1 4.求函数y ? x ? 2 ? 2 的最小值. x ?2
2

新课讲解
利用均值不等式求最值应注意三点: ⅰ)条件(或目标)式中各项必须都是正数; ⅱ)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值 (常数); ⅲ)等号成立的条件必须存在.
简记为 “一正、二定、三相等”

新课讲解
三.拓展问题
[分析]在上面三个条件中,积为定值这一条件不满足,因此,我们 结合式子结构的特点进行拼凑:g ?x ? ? x ? 1 ? 9 ? 1

例:设x ? 1,求g ( x) ? x ? 9 的最小值. x ?1

解: ? x ? 1,? x ? 1 ? 0

x ?1

g ( x) ? ( x ? 1) ? 9 ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? 9 ? 1 ? 7 x ?1 x ?1 ? x ?1 ? 0 上式中等号成立的条件 是? x ? 1 ? 9 ,即x ? 4 x ?1 ?

?当x ? 4时,g ( x) min ? 7.

( x ? 5)( x ? 2) 巩固题:设 x ? ?1,求函数 y? 的最小值 . x ?1

课堂小结

利用均值不等式求最值应具备三个条件, 简单概括就是三个字:正、定、等

正:两项必须都是正数; 定:求两项和的最小值,它们的积应为定值; 求两项积的最大值,它们的和应为定值。
等 : 等号成立的条件必须存在.

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课后作业

作业P11
7

已知x ? 5 , 求函数y ? 4 x ? 2 ? 1 4 4x ? 5 补充: 的最大值.

习题6.2

4、5、6、

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