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二次函数与幂函数典型例题(含答案)


二次函数与幂函数 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. “数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质. 基础梳理 1.二次函数的基本知识 (1)函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域是 R. b (2)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x=-2a,顶点坐标是 ? b 4ac-b ? ?- , ?. 4a ? ? 2a b? ? ? b ? ①当 a>0 时,抛物线开口向上,函数在?-∞,-2a?上递减,在?-2a,+∞?上递增,当 x=- ? ? ? ? 4ac-b b 时, f ( x ) min= 2a 4a ; b? ? ? b ? ②当 a<0 时,抛物线开口向下,函数在?-∞,-2a?上递增,在?-2a,+∞?上递减,当 x=- ? ? ? ? 4ac-b b 时, f ( x ) max= 2a 4a . ③二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当 Δ=b2-4ac>0 时, 图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、 M2(x2,0), Δ |M1M2|=|x1-x2|= |a| . (3)二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+h(a≠0); 2 2 2 ③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)幂函数的图象 两种方法 1 二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法: (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内 x1,x2,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程 为 x= x1+x2 2 ; (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,那么函数 y=f(x)图象的 对称轴方程为 x=a(a 为常数). 两种问题 与二次函数有关的不等式恒成立问题: ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0; ?a<0, (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. 双基自测 1.下列函数中是幂函数的是( A.y=2x2 1 B.y=x2 ). C.y=x2+x 1 D.y=- x ). 2.已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,则 f(1)的范围是( A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25 3.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0,有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) 4.函数 B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ). ). D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 的图象是( 5. 二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x)(x∈R)且 f(x)=0 有两个实根 x1, x2, 则 x1+x2=________. 考向一 求二次函数的解析式 【例 1】 ?已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点(1,3), 且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立, 函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称.求 f(x)与 g(x)的解析式. 【训练 1】 已知二次函数

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