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立体几何中的向量方法4——空间角


3.2立体几何中的向量方法 ——空间角

1、两条直线的夹角:
? ? a?b ? 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ; 2 a b
? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

l

l

? a

?

m

? ? a b ?

m

例: 在直三棱柱ABC ? A1 B1C1中,BC ? AC ,
BC ? CA ? CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值.
z
C1

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C ? xyz,如图所示,设CC1 ? 1则: F1
1 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

D1

B1

A1

C

???? ???? ? 1 1 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), BD1 ? ( , ? ,1) A 2 2 2 1 ???? ???? ? x ? ?1 ???? ???? ? AF1 ?BD1 30 4 ???? ???? ? ? ? ? cos ? AF1 , BD1 ? | AF1 || BD1 | 10 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

B

y

2、直线与平面的夹角:
? 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 ? 的 ? 法向量分别为 u ,

? ? a?u ? 直线 l 与平面 ? 所成的角为? ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ? ? ; 2 a u

? a

? u
?

?l ? a u
?

?

?

例: 在长方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,AB ? 5,

AD ? 8, AA1 ? 4,M在B1C1上,B1M ? 2, N在线段A1 D上,A1 D ? AN . 求AD与平面AMN的夹角的正弦值.
A1 B1 M

z
N
C1

D1

A

D
C

y

x

B

3、二面角: 二面角的范围:? ?[0, ? ]
①方向向量法:
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? CD cos ? ? cos AB, CD ? ??? ? ??? ? AB ? CD

?
B A

C l

?
D

②法向量法
?? ? ?? ? ? ? n1, n2
?? ? ?? ? ? ? ? ? n1, n2

?

?? ?? ? n1, n2

?? ? n2

?
?
l

?? ? n2

?? ?? ? n1, n2

?? ? n1
?

?? ? n1

?
l

?

cos ?

?

?? ?? ? cos ? n1 , n2 ?

cos ?

?

?? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?

法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角

如图所示,ABCD是直角梯形,AB ? BC , SA ? 例: 1 平面ABCD,SA ? AB ? BC ? 1,AD ? , 求面SCD 2 z 与面SBA 所成二面角的余弦值. S 解: 建立空直角坐系A- xyz如所示,
B
C

1 1, 0) , D (0, , 0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) , C (- 1, ? ????2 1 易知面SBA的法向量n1 ? AD ? (0, , 0) 2 ??? ? ??? ? 1 1

y A D x CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ?2 设平面 SCD的法向量n2 ? ( x, y, z ), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y ? x ? ?0 ? ? 2 ? ?y?z?0 ? ?2
y ? x ? ? ? 2 ?? ?z ? y ? ? ?? ?? 2 ?

?? ? 任取n2 ? (1, 2,1)

?? ?? ? n1 ?n2 6 6 ?? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ? 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3

作业:
1如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B-AS-O的余弦值.
z
S

O C A B

y

x

2:如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

z

y

x


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