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2012研究生考试数学一真题


2012 年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题解析
下列每小题给出的四个选项中, 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 选择题: ~ 小题, 的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ... (1)曲线 y = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)设函数 f ( x) = (e x ? 1)(e 2 x ? 2) ? (enx ? n) ,其中 n 为正整数,则 f ' (0) = (A) (?1)
n ?1

x2 + x 渐近线的条数为() x2 ? 1

(n ? 1)!

(B) (?1) n ( n ? 1)! (C) ( ?1) n ?1 n ! (D) ( ?1) n n ! (3)如果 f ( x, y ) 在 ( 0, 0 ) 处连续,那么下列命题正确的是( (A)若极限 lim
x →0 y →0



f ( x, y ) 存在,则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x+ y f ( x, y ) 存在,则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x2 + y 2 f ( x, y ) 存在 x+ y f ( x, y ) 存在 x2 + y 2

(B)若极限 lim
x →0 y →0

(C)若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微,则极限 lim
x →0 y →0

(D)若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微,则极限 lim
x →0 y →0

(4)设 I k

= ∫ e x sinxdx(k=1,2,3),则有
2



0

(A)I1< I2 <I3. (C) I1< I3 <I1,

(B) I2< I2< I3. (D) I1< I2< I3.

?0? ?0? ?1? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? (5)设 α1 = 0 , α 2 = 1 , α 3 = ?1 , α 4 = 1 其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数,则下列向量组线性相关 ? ? ? ? ? ? ? ? ?c ? ?c ? ?c ? ?c ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4?
的是( ) (B) α1 , α 2 , α 4 (D) α 2 , α 3 , α 4 (A) α1 , α 2 , α 3 (C) α1 , α 3 , α 4

?1 ? ? ? ( 6 ) 设 A 为 3 阶 矩 阵 , P 为 3 阶 可 逆 矩 阵 , 且 P AP = ? 1 ? , P = (α1 , α 2 , α 3 ) , ? ? 2? ?
?1

Q = (α1 + α 2 , α 2 , α 3 ) 则 Q ?1 AQ = (
?1 ? ? ? 2 ? (A) ? ? ? 1? ? ?2 ? ? ? (C) 1 ? ? ? ? 2? ?



?1 ? ? ? (B) ? 1 ? ? ? 2? ? ?2 ? ? ? (D) 2 ? ? ? ? 1? ?

(7)设随机变量 x 与 y 相互独立,且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布,则 p{x < y} = ()

( A)

1 5

( B) 1 2

1 3 (C ) ?

(C ) 1 2

2 5

( D)

4 5

( 8 ) 将 长 度 为 1m 的 木 棒 随 机 地 截 成 两 段 , 则 两 段 长 度 的 相 关 系 数 为 ( )

( A) 1 ( B )

( D) ? 1

请将答案写在答题纸指定位置上. 二、填空题:9?14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 填空题: ? 小题, ... (9)若函数 f (x ) 满足方程 f '' ( x ) + f ' ( x ) ? 2 f ( x ) = 0 及 f ' ( x ) + f ( x ) = 2e x ,则 f (x ) =________。 (10)



2

0

x 2 x ? x 2 dx ________。
? ? z? ________。 ? y ? (2,1,1)
2

(11) grad ? xy +

(12)设

∑ = {(x, y, z ) x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, 则 ∫∫ y ds = ________。

T

(13)设 X 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵 E ? xx 的秩为________。

2

(14)设 A, B, C 是随机事件, A, C 互不相容, P ( AB ) =

? 1 1 , P (C ) = ,则 P ( AB C ) = ________。 2 3

小题, 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明 解答应写出文字说明、 三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明、证明过程或 解答题: 请将解答写在 ... 演算步骤. 演算步骤 (15) (本题满分 10 分) 证明: x ln

1+ x x2 + cos x ≥ 1 + , ?1 < x < 1 1? x 2

(16) (本题满分 10 分)

x2 + y2 求 f ( x, y ) = xe ? 的极值。 2
(17) (本题满分 10 分) 求幂级数



n =0

4n 2 + 4n + 3 2n x 的收敛域及和函数 2n + 1

(18) (本题满分 10 分) 已知曲线 L : ?

? x = f (t ) ? π? π? ? ? 0 ≤ t < ? ,其中函数 f (t ) 具有连续导数,且 f (0) = 0 , f (t ) > 0? 0 < t < ? 。 2? 2? ? ? y = cos t ?

若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1,求函数 f (t ) 的表达式,并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无 边界的区域的面积。 (19) (本题满分 10 分) 已知 L 是第一象限中从点 ( 0, 0 ) 沿圆周 x 2 + y 2 = 2 x 到点 ( 2, 0 ) ,再沿圆周 x 2 + y 2 = 4 到点 ( 0, 2 ) 的曲线 段,计算曲线积分 J = 3 x ydx + x + x ? 2 y dy 。
2 2 L



(

)

(20) (本题满分 10 分)

?1 ? 0 设A=? ?0 ? ?a
(Ⅰ)求 A

a 0 0? ?1? ? ? ? 1 a 0? ?1 ,b = ? ? ?0? 0 1 a? ? ? ? 0 0 1? ?0?

(Ⅱ)已知线性方程组 Ax = b 有无穷多解,求 a ,并求 Ax = b 的通解。

? 1 0 1? ? ? (21) (本题满分 10 分)三阶矩阵 A = 0 1 1 , AT 为矩阵 A 的转置,已知 r ( AT A) = 2 ,且二次型 ? ? ? ?1 0 a ? ? ?
f = xT AT Ax 。
1)求 a

2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。 (22) (本题满分 10 分) 已知随机变量 X , Y 以及 XY 的分布律如下表所示,

X P Y P XY P 0 7/12

0 1/2 0 1/3 1 1/3

1 1/3 1 1/3 2 0

2 1/6 2 1/3 4 1/12

求: (1) P ( X = 2Y ) ; (2) cov ( X ? Y , Y ) 与 ρ XY . (23) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N ? , σ 2 与 N ? , 2σ 2 ,其中 σ 是未知参数且 σ > 0 , 设 Z = X ?Y , (1) 求 z 的概率密度 f z , σ 2 ; (2) 设 z1 , z2 ,? zn 为来自总体 Z 的简单随机样本,求 σ 的最大似然估计量 σ ;
2

(

)

(

)

(

)

2

(3) 证明 σ 为 σ 的无偏估计量。
2

2

4


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