当前位置:首页 >> 数学 >>

饶平二中 2007届高三文科数学第一轮复习 不等式


饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习

不等式

(四)不等式的证明 一、知识归纳
1.证明不等式的常用方法: (1)比较法 ①作差比较法步骤:作差—变形—判定符号 ②作商比较法步骤:作商—变形—确定与 1 的大小关系 (2)分析法:从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件代替前面的不等式,可简称为 “执果索因” 。 (3)综合法:由已知条件出发,根据不等式的基本性质或基本不等式,逐步推理,推导出 要求证的不等式。 在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用。 几个重要不等式: ①当 a,b∈R 时,a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时等号成立) ②当 a,b∈R 时,

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) (当且仅当 a=b 时等号成立) 2 2

③当 ab>0 时,

b a ? ? 2 (当且仅当 a=b 时等号成立) a b
a?b 2 ) 2

④当 a,b∈R 时, a ? b ? 2 ab (当且仅当 a=b 时等号成立) 等价变形: ab ? (
+

⑤当 a,b,c∈R 时, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

2.不等式证明的其他方法:反证法,放缩法,数学归纳法,判别式法,构造法等。 二、例题分析: 例 1 已知 a,b,c?R+,求证 a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2?6abc

例 2.已知 x, y, a, b ? R ,且 x ? y ? 1, a ? b ? 1 , 求证: | ax ? by |? 1
2 2 2 2

不等式的证明

第 1 页(共 8 页)

饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习
a

不等式
b

例 3. (1)已知 a, b ? R ? ,且 a ? b ? 1 求证: 2 ? 2 ? 3 (2)已知 a , b 是互不相等的正数,设函数 f (n) ? a n ? b n ,且 f (3) ? f (2) 求证: 1 ? a ? b ?

4 3

例 4.已知 x>0,y>0 且 x+y>2,求证

1? y 1? x 中至少有一个小于 2. , x y

三、练习题: (一) 、选择题 1.若 b<0<a, d<c<0,则 A. ac<bd B.

2.对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式 ① log a (1 ? a ) ? log a (1 ?
1? a 1? 1 a

a b ? c d

C. a+c>b+d

D. a-c>b-d

1 ) a

② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ④a
1? a

1 ) a

?a ③a 其中成立的是 A.①与③ B.①与④ 3.已知 a ? 2, b ? 2, 则有
A. ab ? a ? b
2

?a

1?

1 a

C.②与③ C. ab ? a ? b

D.②与④ D. ab ? a ? b

B . ab ? a ? b
2

4. a, b ? R ,那么“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”的 A.充要条件 B.必要但不充分条件 C.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件
不等式的证明 第 2 页(共 8 页)

饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习

不等式

5.已知 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项一定成立的是 A. ab>ac B. c(b-a)<0 C. cb2<ab2 D. ac(a-c)>0 6.已知下列不等式:① x 2 ? 3 ? 2x( x ? R) ;② a5 ? b5 ? a3b2 ? a 2b3 (a, b ? R) ; ③ a 2 ? b2 ? 2(a ? b ?1) 其中正确的个数为: A. 0 B. 1 C. 2 7.设 a>0, b>0,则以下不等式中不恒成立 的是 .... D. 3
2

1 1 ? ) ≥4 a b 2 2 C. a ? b ? 2 ≥ 2a ? 2b
A. ( a ? b)( 8.已知 a、b ? R ? ,则

B. a ? b ≥ 2ab
3 3

D.

a?b ≥ a ? b

a ?b a 2 ? b2 2ab 中最大的为 , ab , , 2 2 a ?b
C.

A.

a?b 2

B. ab

a2 ? b2 2

D.

2 ab a?b

(二) 、填空题

a?m 的大小关系为_________________。 b?m 1 10.已知 0<2a<1,若 A=1+a2, B= , 则 A 与 B 的大小关系是 ___ . 1? a 1 1 b a 11.若 ? <0,已知下列不等式:①a+b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④ ? >2, a b a b 1, 9. a ? b ? 0,m ? 0 ,则 , a b
其中正确的不等式的序号为 (三) 、解答题: 12.已知 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,求证: .

a b ? d c

13. 设 0 ? a ? b且a ? b ? 1, 请按照从小到大的顺序排列

1 , b,2ab, a 2 ? b 2 (写出比较过程) . 2

不等式的证明

第 3 页(共 8 页)

饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习

不等式
2

14.求证 a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ?

?

??

?

15.已知 a、b、c 不全相等的正数,求证: ab ? bc ? ca ? a ? b ? c

16.已知 a>b>c,求证:

1 1 4 ≥ ? a ?b b?c a?c

17.设 0 ? a, b, c ? 1,求证: (1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a 不可能同时大于

1 4

18.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c (b,c 为实数) ,方程 f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 , x2 ,且满足

x1 ? 0, x2 ? x1 ? 1。
(1)求证: b ? 2(b ? 2c)
2

(2)设 0 ? t ? x1 ,求证: f (t ) > x1 .

不等式的证明

第 4 页(共 8 页)

饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习

不等式

(四)不等式证明参考答案
例 1 已知 a,b,c?R+,求证 a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2?6abc 证法 1:比较法

? a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc=a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c
=b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2

? a,b,c?R+
且(a-c) 2?0,(b-c) 2?0,(a-b) 2?0} 从而 a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2?6abc 证法 2:分析法 要证 a2b+ab2a2c+ac2+b2c+bc2?6abc

? b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2?0

a b a c b c ? ? ? ? ? ?6 c c b b a a a c b c b a 而 ? ? 2, ? ?2, ? ? 2 c a c b a b a b a c b c ? ? ? ? ? ? ?6 c c b b a a

? a,b,c?R+,故只要证明

即证原不等式成立 证法 3:综合法

a c a c b a ? ?2, ? ?2, ? ?2 c a c a a b a b a c b c ? ? ? ? ? ? ?6 c c b b a a

? a,b,c?R+?

即证原不等式成立 例 2.已知 x, y, a, b ? R ,且 x 2 ? y 2 ? 1, a 2 ? b2 ? 1 , 求证: | ax ? by |? 1 分析 1:依绝对值的性质,只需证明 ? 1 ? ax ? by ? 1 ,可用综合法。 证明 1:? ax ?

a2 ? x2 b2 ? y 2 a 2 ? x2 b2 ? y 2 , by ? ? ax ? by ? ? ?1 2 2 2 2
2 2

2 2 2 又 (a ? x) ? 0 ? a ? x ? ?2ax ,同理 b ? y ? ?2by

不等式的证明

第 5 页(共 8 页)

饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习

不等式

a 2 ? x2 b2 ? y 2 ? ? ax ? by ? ?1 ? ax ? by ? 1 则 ?1 ? ? 2 2
即 | ax ? by |? 1 证明 2:分析法:要证 | ax ? by |? 1 ,只需证 (ax ? by) 2 ? 1 即 (ax ? by) 2 ? (a 2 ? b2 )(x 2 ? y 2 ) , 两边展开即只需证 2abxy ? a 2 y 2 ? b2 x 2 即 (ax ? by) 2 ? 0 故原不等式成立。 例 3. (1)已知 a, b ? R ? ,且 a ? b ? 1 求证: 2 ? 2 ? 3
a b

(2)已知 a , b 是互不相等的正数,设函数 f (n) ? a n ? b n ,且 f (3) ? f (2) 求证: 1 ? a ? b ?

4 3
a b a 1? a

证明: (1)分析法:由 a ? b ? 1 得 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2

? 3 ? 22 a ? 3 ? 2a ? 2 ? 0

? 1 ? 2a ? 2 ? 0 ? a ? 1? a, b ? R ? 且 a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 1
故原不等式成立。 (2)由 f (n) ? a n ? b n ,且 f (3) ? f (2) ,得 a ? b ? a ? b
3 3 2 2

又 a , b 是互不相等的正数,故 a ? ab ? b ? a ? b
2 2

?(a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,
由 ab ? 0 ,得 (a ? b) 2 ? (a ? b) ? 0 ? a ? b ? 1

a?b 2 1 1 ) ? (a ? b) 2 ,则有 (a ? b) 2 ? (a ? b) ? (a ? b) 2 2 4 4 4 4 得 a ? b ? ,所以有 1 ? a ? b ? 成立。 3 3
又 ab ? ( 例 4.已知 x>0,y>0 且 x+y>2,求证

1? y 1? x , 中至少有一个小于 2. x y

证明: (反证法)假设

1? y 1? x ? 2, 且 ? 2, x y
不等式的证明 第 6 页(共 8 页)

饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习

不等式

? x ? 0, y ? 0 ,?1 ? x ? 2 y , 1 ? y ? 2 x ,则 2 ? ( x ? y) ? 2( x ? y)
于是, x ? y ? 2 这与题设 x+y>2 矛盾。故命题成立。 三、练习题: (一) 、选择题 1. C. 2. D.3.A. 4.C. 5.A. 6.C. (二) 、填空题 9._

7. B. 8.C. .

a a?m < <1___ b b?m

10. A<B,

.

11. ①,④,

(三) 、解答题: 12.已知 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,求证:

a b ? d c

证明:? c ? d ? 0 ,?

1 1 a b a b ? ? 0 ,又 a ? b ? 0 ,? ? ? 0 ,则 ? d c d c d c 1 , b,2ab, a 2 ? b 2 (写出比较过程) . 2

13. 设 0 ? a ? b且a ? b ? 1, 请按照从小到大的顺序排列 解:? 0 ? a ? b且a ? b ? 1

?b ?

1 ? a ? 0且a 2 ? b 2 ? 2ab 2

a2 ? b2 ?

( a ? b) 2 1 ? ? 2ab; ? b ? (a 2 ? b 2 ) ? a(b ? a) ? 0,?b ? a 2 ? b 2 2 2
1 ? 2ab 2

?b ? a2 ? b2 ?

14.求证 a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ?

?

??

?

2

证明: (分析法)要证原不等式成立,只需证明: a d ? b c ? 2abcd ,
2 2 2 2

即证 (ad ? bc) ? 0
2

因为 (ad ? bc) ? 0 成立,故原不等式成立。
2

15.已知 a、b、c 不全相等的正数,求证: ab ? bc ? ca ? a ? b ? c
? 证明:? a, b, c ? R ? ab ?

a?b b?c c?a , bc ? , ca ? 2 2 2

又 a、b、c 不全相等,则上述三式的等号不同时成立。 故有 ab ? bc ? ca ? 16.已知 a>b>c,求证:

a?b b?c c?a ? ? ? a?b?c 2 2 2

1 1 4 ? ≥ a ?b b?c a?c
不等式的证明 第 7 页(共 8 页)

饶平二中

2007 届高三文科数学第一轮复习

不等式

证明:? a ? b ? c,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0

? (a ? c)(

1 1 1 1 ? ) ? [( a ? b) ? (b ? c)]( ? ) a ?b b?c a ?b b?c 1 ? 2 (a ? b)(b ? c) ? 2 ?4 (a ? b)(b ? c)
1 4

17.设 0 ? a, b, c ? 1,求证: (1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a 不可能同时大于 证明: (反证法)假设 (1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a 同时大于 则 故 但 即

1 4 1 1 1 (1 ? a )b ? , (1 ? b)c ? , (1 ? c) a ? 2 2 2 3 (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? 2 (1 ? a) ? b (1 ? b) ? c (1 ? c) ? a (1 ? a)b ? , (1 ? b)c ? , (1 ? c)a ? 2 2 2 (1 ? a) ? b ? (1 ? b) ? c ? (1 ? c) ? a 3 ? (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? 2 2

故命题成立。

18.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c (b,c 为实数) ,方程 f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 , x2 ,且满足

x1 ? 0, x2 ? x1 ? 1。
(1)求证: b ? 2(b ? 2c)
2

(2)设 0 ? t ? x1 ,求证: f (t ) > x1 .

2 (1)证明:由 f ( x) ? x ,得 x ? (b ? 1) x ? c ? 0 ,? x1 ? x2 ? 1 ? b, x1 ? x2 ? c

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? (1 ? b) 2 ? 4c ? b 2 ? 2b ? 1 ? 4c
?b 2 ? 2b ? 1 ? 4c ? 1 , b2 ? 2(b ? 2c)
(2)证明: (比较法) :? x1 是方程 f ( x) ? x 的根,? x1 ? f ( x1 ) 则 f (t ) ? x1 ? f (t ) ? f ( x1 ) ? (t ? bt ? c) ? ( x1 ? bx1 ? c)
2 2

? (t ? x1 )(t ? x1 ) ? b(t ? x1 ) ? (t ? x1 )(t ? x1 ? b) ? (t ? x1 )(t ? 1 ? x2 ) ? 0 ? t ? x1 ?t ? x1 ? 0 ,又 x2 ? x1 ? 1,则 t ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0
故 f (t ) ? x1 ? 0 ,? f (t ) ? x1
不等式的证明 第 8 页(共 8 页)


相关文章:
广东饶平二中高三数学高考一轮复习:简单不等式的解法
广东饶平二中高三数学高考一轮复习:简单不等式的解法_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。(二)简单不等式的解法(一) 知识归纳 1. ax ? b 的解法 当 a ?...
更多相关标签: