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新课标下高中数学概念教学的实践与思考


新课标下高中数学概念教学的实践与思考
广东东莞实验中学 黄芳芳 523120

新一轮课程改革把培养人的创新能力放在重要位置, 重视知识传授的过程,强调各科目 在学生个性发展、 提高素质和健全人格上的作用。 数学教学是实现这一教育目的的重要途径 之一,而数学概念是数学思维的细胞 ,是形成数学知识体系的基本要素 ,是数学基础知识的核 心。所以,数学概念教学是数学教学工作中的一项重要内容 ,是新课标下 “人人学有用的数 学 ”的前提,是提高中学数学教学质量的关键。 一、高中数学课程标准对概念教学的要求 高中数学课程标准指出 :教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握 ,对一些核 心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象 的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概 念的过程, 在初步运用中逐步理解概念的本质。 二、当前高中数学概念教学中存在的问题 长期以来 , 由于受应试教育的影响,不少教师重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱 节的现象。 有些教师仅仅把数学概念看做一个名词而已,概念教学就是对概念作解释 ,要求学 生记忆 ,而没有看到像函数、向量这样的概念, 本质是一种数学观念 ,是一种处理问题的数 学方法。一节“概念课 ”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对 概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和运用概念 ,严重影响了学生的解题质量。在新课 程理念下,研究和实践与之相适应的高中数学概念教学的范式与方法成为当务之需。那么, 作为教师应如何进行数学概念的教学呢?笔者从以下几个方面作了努力与探索, 收到了一定 的效果 三、新课标下高中数学概念课的教学 新课标下教师要更新教学理念,重视概念课教学;正确选择教学方法,改进概念课的教 学过程;精心设计问题情景,激发学生的学习兴趣;倡导学生自主探索,合作交流,优化学 生的学习方式;引导学生重视概念的学习,提高应用概念解决问题的能力。 1. 重视数学概念引入的方法 新课标指出:概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程.因此引 入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础,揭示概念形成的实际背景,要创设好的问 题情境,帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡,并引导学生把背景材料与原有认知结 构建立实质性联系. 1.1 从实际生活中,引入新概念 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”.在数学概念的引入上,尽可能地选 取学生日常生活中熟悉的事例.并且注意选取事例不在于数量的多少,关键是要贴近学生的 认识经历,能够反映概念的本质特征。 案例 1:数列极限的概念引入,从学生熟悉的砍木棍引入:战国时代哲学家庄周著的 《庄 子· 天下篇》中有这样一句话:一尺之棰,日取其半,万世不竭.意思是说:一根一尺长的 木棍,每天砍去一半,这样可以无限制的进行下去.让学生将每天剩余的木棍长度和已砍去 的木棍长度写成两个数列,并把它们的各项标在数轴上,引导学生归纳两个数列的共同点特 征: (1)都是无穷数列; (2)随着项数的无限增大,数列的项无限趋近于一个常数.从而 引出数列极限的定义。 1.2 在体验数学概念产生的过程中引入概念 数学概念的引入,应从实际出发,创设情景,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强
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的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念 ,形成感性认识,通过对一定数量感性材料的 观察、分析,提炼出感性材料的本质属性。 案例 2:在 “异面直线 ”概念的教学中,教师应先展示概念产生的背景,如长方体模型和 图形,当学生找出两条既不平行又不相交的直线时,教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异 面直线,接着提出 “什么是异面直线 ” 的问题,让学生相互讨论,尝试叙述 ,经过反复修改补充 后,给出简明、 准确、 严谨的定义:“我们把不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。 ” 在此基础上 ,再让学生找出教室或长方体中的异面直线 ,最后以平面作衬托画出异面直线的 图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识,同时也经历了概念发生发展过 程的体验。 1.3 从旧概念中引入新概念 恰当地,科学得引进新概念,直接关系到学生对概念的理解和感受。数学强调逻辑性, 几乎每一个概念都是在旧概念的基础上产生的, 当两者之间的联系比较紧密时, 只要抓住它 们之间的内在联系,就可让学生很轻松的掌握新概念。 案例 3:在教学中,许多学生望“对数”而生畏,讲解“对数”概念,应从学生熟悉的 指数幂入手,循序渐进。教学过程如下: 已知: 2 x ? 3 ,则 x=?(告诉学生 x 的值存在且唯一) ,可以引入一个符号,利用底数 2,幂 3 来表示,x= log2 3 . 同理 2 ? 16 ,可以转化成 4= log 2 16,前一种形式叫指数
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形式,后一种形式叫对数形式 至此,我们还要进一步探索,是不是所有的指数形式都可以转化成对数形式。举例说明 (1) 3
?2

?

1 → 9

? 2 ? log 3

1 (√) 9

(2)1 =1

3



1= log1 1 (×)

(3) (?0.1)

?3

? 0.001 →

? (×) log?0.1 ?? 0.001

需要强调的是:不是所有的指数形式都可以转化成对数形式。只有当底数为不等于 1 的正数时,指数形式可以转化成对数形式。反之,所有的对数形式都可转化成指数形式。经 过反复联系和比较后,学生对“log”符号不再陌生了。 经过一系列的例证,学生能自己得出结论:指数形式 a ? N (a>0 且 a≠1) 与对数形
b

式 b ? loga N 其实就是三个实数 a,b,N 之间的同一种关系的两种表现形式。 1.4 创设问题情境,引入数学概念 教师要善于恰当地创设趣味性、探索性的问题情境,激发学生概念学习的兴趣,使学生 能够从问题分析中,归纳和抽象出概念的本质特征,这样形成的概念才容易被学生理解和接 受. 案例 4:向量概念的引入,可创设这样的问题情境:一只老鼠向西逃窜 10 米,假如猫 向北或向西北方向追去,猫能追上老鼠吗?用多媒体演示这幅“猫追老鼠”的动画,这样引入 生动、有趣、自然,能激起学生学习、探讨的兴趣.进一步设问:为什么猫追不上老鼠?将 学生由“好奇”带入“小惑”的状态,接着教师指出:猫只注意到 10 米这一数量是无法追上老鼠 的,因此必须引进一个新的量— 向量,这样使学生认识到学习向量的必要性.同时得出猫不 仅要多跑 10 米,而且还要跑对方向才能追上老鼠,这样让学生解“惑”,并且初步接触向量 的两个本质特征:长度和方向,从而引出向量的概念. 二、在概念的教学中注重渗透数学思想方法 在教学实践中, 我们体会到, 只有掌握了数学思想方法的学生解决问题才有远见和洞察

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力,只有把数学思想方法渗透于教学中,才能使我们的教学充满生机,才能叩开学生思维的 大门。然而,数学思想方法常常隐含在数学概念中,应在知识发生过程中渗透数学思想。 案例 5: 如在讲授平面的概念时, 可先引导学生回忆直线的概念 (谈谈对直线的印象 ) , 然后教师因势引入平面概念,在黑板上归纳成下表: 直线 概念 抽象的理想化的“直” 无限延伸 无宽度 平面 抽象的理想化的 “平” 无限延伸 无厚度

这样类比教学显然有利于平面概念的形成,向学生渗透了类比思想。 案例 6:在椭圆定义的教学中,可改变教师画,学生看的传统做法,课前要求学生每人 准备一块纸板、 一条细绳、 两枚图钉, 课堂上让学生自己动手画椭圆, 面对自己画出的椭圆, 他们尝到了成功的喜悦,此时趁热打铁,让学生改变绳子的长度,使其(1)等于两图钉之 间的距离; (2)小于两图钉之间的距离,分别画出椭圆,在此基础上, 让学生根据画图过程, 自己得出椭圆的定义。这样,学生对椭圆定义理解得深刻,特别对定义中的 "2a>2c " 这 一条件留下了深刻的印象。 事实上, 在椭圆定义的教学中, 已无形中渗透了数形结合的思想。 再比如,异面直线所成的角,直线与平面所成的角及二面角的教学中,都是将空间问题归结 为平面问题,向学生渗透了化归思想。 三、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念 新概念的引入 ,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延 广泛等原因,很难一步到位 ,需要分成若干个层次,逐步加深提高。 案例 7:如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程: (1) 用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义; (2) 用点的坐标表示的锐角三角函数的定义; (3) 任意角的三角函数的定义。 由此概念衍生出: (1) 三角函数的值在各个象限的符号; (2) 三角函数线; (3) 同角三角函数的基本关系式; (4) 三角函数的图像与性质; (5) 三角函数的诱导公式等 三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重, 是整个三角部分的奠基石,它贯穿与 三角有关的各部分内容并起着关键作用。 “磨刀不误砍柴工 ”,重视概念教学,挖掘概念的内 涵与外延,有利于学生理解概念。 四、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系 ,如平行线段与平行向量 ,平面角与空间角,方程与 不等式,映射与函数等等,在教学中应善于寻找,分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本 质。 再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应 关系是将自变量的每一个取值 ,与唯一确定的函数值对应起来 ;另一种是高中给出的定义,是 从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原像集合中的每一个元素与像集合中唯一确 定的元素对应起来。从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的 依赖关系的重要数学模型,函数可用图像、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言 来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。 认真分析两种函数定义,其定义域与值域
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的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质 是一致的。 当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经 历一个多次接触的较长的 过程。 五、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念 数学概念形成之后,通过具体例子,说明概念的内涵, 认识概念的“原型 ”, 引导学生利 用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,此环 节操作的成功与否,将直接影响学生对数学概念的巩固,以及解题能力的形成。例如, 当我们 学习完“向量的坐标 ”这一概念之后,进行向量的坐标运算,提出问题:已知平行四边形的三 个顶点的坐标分别是 ??试求顶点的坐标。学生展开充分的讨论 ,不少学生运用平面解析 几何中学过的知识 如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等 ,结合平行四 边形的性质,提出了各种不同的解法 ,有的学生应用共线向量的概念给出了解法 ,还有一些学 生运用所学过的向量坐标的概念,把点的坐标和向量的坐标联系起来 ,巧妙地解答了这一问 题。 学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去, 从而激发了学生的好奇心以及 探索和创造的欲望 ,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外 ,教师通过反 例、错解等进行辨析,也有利于学生巩固概念。 高中数学新课标提出了与时俱进地认识 “双基 ”的基本理念 ,概念教学是 “双基 ” 教学的重要组成部分,所以, 通过数学概念教学,使学生认识概念、理解概念、掌握概念、巩 固概念,是数学概念教学的根本目的。 通过概念课教学,力求使学生明确: (1) 概念的发生、发展过程以及产生背景; (2) 概念中有哪些规定和限制的条件 ,它们与以前的什么知识有联系; (3) 概念的名称、表述的语言有何特点 (4) 概念有没有等价的叙述; (5) 运用概念能解决哪些数学问题等。 总之,在概念教学中,要根据课标对概念教学的具体要求,创造性地使用教材。对教材中干 扰概念教学的例子要更换,对脱离学生实际的概念运用问题要大胆删去,优化概念教学设计 , 把握概念教学过程,真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造 ,达到认识数学思想 和本质的目的。

参考文献:
(1)王素英. 数学教学中要重视概念教学[J]. 教学与管理, 2005,(15) (2)孙艳丽. 中学数学概念教学略谈[J]安徽教育, 2004,(12) (3)王兄,汤服成. 概念图及其在数学学习中的现实意义[J]数学教育学报, 2004,(03)

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