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淮安市2007-2008学年度高一年级第一学期期末调查测试 数 学 试 卷


淮安市 2007-2008 学年度高一年级第一学期期末调查测试

数 学 试 卷
分钟。 本试卷满分共 160 分;考试时间 120 分钟。

2008.1

本大题共 小题, 只要求写出结果,不必写出计算和推理过程) 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。只要求写出结果,不必写出计算和推理过程)

1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},若集合 A、B 均为 U 的子集,且 CU A = {1, 2, 4,5, 7} ,

B = {2, 4, 6,8} ,则 A ∩ B =
2.函数 y =

. . . . .

lg( x ? 3) 的定义域是 x?4

3.函数 f ( x ) = 3cos(2 x +

π

4

) 的最小正周期为

4.若函数 f ( x ) = 2 x 2 ? mx + 3 在 [ ?2, +∞ ) 上是增函数,则实数 m 的取值范围是 5.设 m = log 3 5 , n = log 3 3 , p = log 3 4 ,则 m,n,p 由大到小的顺序为 6. 要得到函数 y = sin( 2 x ? = . .

π
3

) 的图象, 只需将 y=sin2x 的图象向右平移 ? (0 < ? < 2π ) 个单位, 则 ?

7.方程 log 2 ( x + 4) = 3 x 实根的个数是

?10 x 8.设 g ( x) = ? ?lg x
9.已知函数 f ( n) = sin

x≤0 ? ? 1 ?? ,则 g ? g ? ? ? = x>0 ? ? 2 ??

.

nπ , (n ∈ Z ) ,则 f (1) + f (2) + ??? + f (2008) = 6

(化成最简形式). .

10.若函数 y = sin 2 x + a cos 2 x 的图象关于直线 x = ?

π

8

对称,则常数 a 的值为

11.已知四边形 ABCD 中, AB = (6,1), BC = ( x, y ), CD = ( ?2, ?3) ,若 BC ∥ DA ,则 x 与 y 之间 的关系是 12.已知 sin α + cos α = 13.已知函数 f ( x ) = ? .(用 x 表示 y)

1 (0 < α < π ) ,则 cos 2α 的值是 5

.

?( 3a ? 1) x + 5a , x < 1 ? , 若 f ( x ) 是 R 上的减 x ≥1 ?log a x , ?
. A C B

函数,则实数 a 的取值范围是

14.用绳子 AC 和 BC 吊一重物,绳子与竖直方向的夹角分别是 30°和 60°,若绳子 AC 和 BC 能承受的最大拉力分别为 150N 和 100N, 则此重 物的重量不能超过 N.

高一数学试题

第 1 页 共 10 页

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = (1)计算: [ f (1)] ? [ g (1)] ;
2 2

2 x + 2? x 2 x ? 2? x , g ( x) = , 2 2

(2)证明: [ f ( x)] ? [ g ( x)] 是定值.
2 2

16. (本小题满分 14 分)已知弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离 S 与 t 的函数 关系为: S = A sin(ωt + ? ), ( A > 0, ω > 0,| ? |<

π

2

, t ≥ 0) ,
2

s

右图是其图象的一部分,根据图象解答下列问题: (1)求小球振动时的振幅和周期; (2)求 S 关于 t 的函数解析式.

2
O -2

π
8

5π 8

t

高一数学试题

第 2 页 共 10 页

17. (本小题满分 15 分)已知: sin(α + β ) =

π <α ?β <

3π , 求 sin 2α 的值。 2

3 5 π , cos(α ? β ) = ? , 且 < α + β < π , 5 13 2

高一数学试题

第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 15 分)已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a = ( 3, ?1) , (Ⅰ)若 c = 2 a ,且 c // a ,求 c 的坐标; (Ⅱ)若 12a + 7b 与 a ? b 垂直,且 b 与 a 的夹角为 120°,求 b .

高一数学试题

第 4 页 共 10 页

高一数学试题

第 5 页 共 10 页

19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x ) = a ? b , 其中向量 a = (2 cos x,1), b = (cos x, 3 sin 2 x), x ∈ R . (1)求 f ( x ) 的表达式,并给出一个 f ( x ) 取得最大值时的 x 值; (2)求出函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 若关于 x 的方程 f ( x ) = m ( x ∈ [ ?

π π

, ] )有解,求 m 的取值范围. 4 3

高一数学试题

第 6 页 共 10 页

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = lg ? (1)判别 f ( x ) 的奇偶性; (2)判断 f ( x ) 是 (?3, 3) 上的单调性;

? 3? x ? ? ,其中 x ∈ (?3, 3) , ? 3+ x ?

(3) 是否存在这样的负实数 k , f ( k ? cos θ ) + f (cos 2 θ ? k 2 ) ≥ 0 对一切 θ ∈ R 恒成立, 使 若存在, 求出 k 的取值集合;若不存在,说明理由.

命题: 杨文举 审校: 冯建国
高一数学试题 第 7 页 共 10 页

冯建国 尚月如 蔡如生

淮安市 2007-2008 学年度高一年级第一学期期末调查测试

数学试卷参考答案与评分标准 数学试卷参考答案与评分标准
一、填空题(本题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. {6} 2. {x x > 3, 且x ≠ 4} 3., π 4. {m m ≤ ?8}

5.m>p>n

6.

π
6
-1

7.

2

8.

1 2 7 25

9.

3 + 3 2

10.

11. y = ?

1 x 2

12. ?

13. {a

1 1 ≤a< } 8 3

14. 100 3

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90) 15. (本小题满分 14 分) (1)∵ [ f (1)]2 ? [ g (1)]2 = ([ f (1)] + [ g (1)])([ f (1)] ? [ g (1)])

= 2×

1 =1 . 2

……………………6 分

[ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2 = ([ f ( x)] + [ g ( x)])([ f ( x)] ? [ g ( x)]) =( 2 x + 2? x 2 x ? 2? x 2 x + 2? x 2 x ? 2? x + )( ? ) = 2 x ? 2? x = 1 为定值. 2 2 2 2
……………………………14 分 ……………………………………3 分 ……………………………………6 分 ……………………………………8 分

∴本题得证. 16. (本小题满分 14 分) (1)由题设知,振幅 A=2, 周期 T=π, (2) ? ω = 2 ∴ S = 2sin(2t + ? ) , 又t =

π
8

时, S = 2 ,即 sin(

π
4

+?) = 1? ? =

π
4



…………………………11 分 …………………………14 分

∴ S = 2sin(2t +

π
4

), (t ≥ 0) .

17. (本小题满分 15 分)∵ sin(α + β ) =

3 π 4 , < α + β < π ,∴ cos(α + β ) = ? ,…………3 分 5 2 5 5 3π 12 ∵ cos(α ? β ) = ? , π < α ? β < ,∴ sin(α ? β ) = ? , …………6 分 13 2 13
…………………………………9 分 ………………………12 分

∴ sin 2α = sin[(α + β ) + (α ? β )]

= sin(α + β ) cos(α ? β ) + cos(α + β ) sin(α ? β )

高一数学试题

第 8 页 共 10 页

3 5 4 12 33 = × (? ) + (? ) × (? ) = . 5 13 5 13 65
18. (本小题满分 15 分) (Ⅰ) c = 2 a = 2 3 + 1 = 4 , 设 c = ( x, y ) ,则∵ c // a , ∴? 且 c =4

……………………………………15 分 ……………………………………2 分

? ? ? x = ?2 3 ? x = 2 3 ?? 或? 2 2 ?y = 2 ? y = ?2 ? x + y = 16 ? ? ?

?? x ? 3 y = 0 ?

……………………………………6 分

∴ c = ( ?2 3, 2)或(2 3, ?2) . (Ⅱ)∵( 12a + 7b )⊥( a ? b ) · ∴( 12a + 7b )( a ? b ) = 12a ? 5a ? b ? 7b = 0 ∴ 7 b + 5 a b cos120 ? 12 × 4 = 0 即 7 b ? 5 b ? 48 = 0 ? (7 b + 16)( b ? 3) = 0 ∵ b > 0 ? 7 b + 16 > 0 ,∴ b = 3
2 2
2 2

……………………………………7 分

……………………9 分 ……………………11 分 ……………………13 分 ……………………15 分 ………………………………2 分

19. (本小题满分 16 分) (1) f ( x) = a ? b = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x

= 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x = 2(

3 1 π sin 2 x + cos 2 x) + 1 = 2 sin(2 x + ) + 1 …………………… 4 分 2 2 6

当 f ( x ) 取得最大值 3 时, sin(2 x + 取 x = kπ +

π
6

) = 1,

π
6

, k ∈ Z 中的任一值均可以,如 x =

π
6 ≤ x ≤ kπ +

……………………… 6 分

(2) 由 2kπ ?

π
2

≤ 2x +

π
6

≤ 2k π +

π
2 ? ?

得 kπ ?

π
3

π
6
………………………………10 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? kπ ? (3)∵ x ∈ [ ?

π
3

, kπ +

π?
6? ?

(k ∈ Z )

π π

π π 5π , ] ,∴ 2 x + ∈ [? , ] 4 3 6 3 6

……………………… 12 分

??

3 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 , 2 6

…………………………………14 分

此时 2 sin(2 x +

π
6

) + 1 ∈ [1 ? 3, 3] ,故 m ∈ [1 ? 3, 3] 时方程有解.

……………………16 分

20. (本小题满分 16 分)

高一数学试题

第 9 页 共 10 页

(1)∵ f ( ? x ) = lg ?

? 3+ x ? ? 3? x ? ? = ? lg ? ? = ? f ( x) , ? 3? x ? ? 3+ x ?

∴ f ( x ) 是偶函数.

………………5 分

(2)任取 x1 , x2 ∈ ( ?3,3), 且x1 < x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) = lg ?

? 3 ? x1 ? ? 3 ? x2 ? ? ? lg ? ? ? 3 + x1 ? ? 3 + x2 ?
………………………8 分

= lg

(3 ? x1 )(3 + x2 ) 9 + 3( x2 ? x1 ) ? x1 x2 = lg (3 + x1 )(3 ? x2 ) 9 + 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2

∵ 9 + 3( x2 ? x1 ) ? x1 x2 > 9 + 3( x2 ? x1 ) ? x1 x2 >0 ∴

9 + 3( x2 ? x1 ) ? x1 x2 >1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x1 ) > f ( x2 ) 9 + 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2
………………………10 分

∴ f ( x) 是 (?3, 3) 上的减函数; (通过 f ( x ) = lg ?

? 6 ? ) ? 1? 说明单调性给全分。 ? x+3 ?

(3)∵ f ( k ? cos θ ) ≥ - f (cos 2 θ ? k 2 ) = f ( k 2 ? cos 2 θ ) ∵ f ( x) 是 (?3, 3) 上的减函数

?k < 0 ??3 < k ? cos θ < 3 ? ∴? 恒成立 ?3 < cos 2 θ ? k 2 < 3 ? ?k ? cos θ ≤ k 2 ? cos 2 θ ?
由 k ? cos θ ≤ k ? cos θ ? k ? k ≤ cos θ ? cos θ 恒成立
2 2 2 2

……………………………………12 分

1 1 ? (cos θ ? ) 2 , 4 2 1 ∵ cos θ ∈ [ ?1,1] ,∴ y ∈ [ ?2, ] 4 y = cos θ ? cos 2 θ =
∴ k ? k 2 ≤ ?2 ? (k ? 2)( k + 1) ≥ 0 ? k ≤ ?1 …………………………………14 分

?k < 0 ? ?2 < k < 2 ? ?? ? ? 3 < k ≤ ?1 , ?? 3 < k < 3 ?k ≤ ?1 ?
∴存在这样的 k,取值集合是: {k ? 3 < k ≤ ?1} . …………………………16 分

高一数学试题

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