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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第55课 立体几何中的探究性问题


考纲要求
掌握立体几何中的常见的探究性问题.

典例剖析
考点1 探究平行问题
【例 1】如图,四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE , AE ? EB ? BC ,

F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE .
(1)求证: AE ? BE ; (2)设 M 在线段 AB

上,且满足 AM ? 2MB ,试在线段 CE 上确定一点

N ,使得 MN ∥平面 DAE .

【解析】 (1)证明 ∵ AD ? 平面 ABE , AD ∥ BC ,

∴ BC ⊥平面 ABE , ∵ AE ? 平面 ABE ,∴ AE ? BC . 又∵ BF ? 平面 ACE , AE ? 平面 ACE , ∴ AE ? BF , ∵ BF ? BC ? B ,∴ AE ? 平面 BCE , 又∵ BE ? 平面 BCE ,∴ AE ? BE .

(2)在 ?ABE 中,过 M 点作 MG ∥ AE 交 BE 于 G 点. 在 ?BEC 中,过 G 点作 GN ∥ BC 交 EC 于 N 点,连接 MN . 则由比例关系易得 CN ? ∵ MG ∥ AE ,

1 CE . 3

MG ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE ,
∴ MG ∥平面 ADE . 同理, GN ∥平面 ADE . ∵ MG ? GF ? G , ∴平面 MGN ∥平面 ADE . 而 MN ? 平面 MGN ,∴ MN ∥平面 ADE . ∴ N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点.

【变式】如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,

AB ∥ CD ,且 AB ? 2CD ,在棱 AB 上是否存在一点 F ,使平面 C1CF ∥
平面 ADD1 A1 ?若存在,求点 F 的位置;若不存在,请说明理由.

D1 A1

C1 B1

D A

C B

F

【解析】存在这样的点 F ,使平面 C1CF ∥平面 ADD1 A1 , 此时点 F 为 AB 的中点,证明如下: ∵ AB ∥ CD , AB ? 2CD ,∴ AF // CD ,

?

∴四边形 AFCD 是平行四边形,∴ AD ∥ CF , 又 AD ? 平面 ADD1 A1 , CF ? 平面 ADD1 A1 , ∴ CF ∥平面 ADD1 A1 , 又 CC1 ∥ DD1 , DD1 ? 平面 ADD1 A1 , CC1 ? 平面 ADD1 A1 , ∴ CC1 ∥平面 ADD1 A1 , ∵ CC1 ? CF ? C ,∴ C1CF ∥平面 ADD1 A1 .

考点2 探究垂直问题
【例 2】如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,其他四个侧 面都是等边三角形, AC 与 BD 的交点为 O . (1)求证: SO ? 平面 ABCD ; (2)已知 E 为侧棱 SC 上一个动点. 试问对于 SC 上任意一点 E ,平面 请加以证明; 若不垂直, 请说明理由. BDE 与平面 SAC 是否垂直?若垂直,
S
E A B O C

D

【解析】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, AC ? BD ? O , ∴O 是 AC , BD 中点. 由已知, SA ? SC , SB ? SD , ∴ SO ? AC , SO ? BD , 又 AC ? BD ? O ,∴ SO ? 平面 ABCD .
(2)对于 SC 上任意一点 E ,平面 BDE ? 平面 SAC . 证明如下:由(1)知 SO ? 面ABCD , 而 BD ? 面ABCD ,∴ SO ? BD . 又∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AC ? BD . ∵ AC ? SO ? O ,∴ BD ? 面SAC . 又∵ BD ? 面BDE ,∴平面 BDE ? 平面 SAC .

【变式】 (2012 门头沟一模)已知边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面外有一点 P ,

PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? 2 , E 是 PC 上的一点.
(1)求证: AB //平面 PCD ; (2)求证:平面 BDE ? 平面 PAC ; (3)线段 PE 为多长时, PC ? 平面 BDE ?
P

E

A B C

D

【解析】 (1)证明:正方形 ABCD 中, AB // DC , ∵ AB ? 平面 PCD , DC ? 平面 PCD , ∴ AB //平面 PCD .
(2)证明:正方形 ABCD 中, AC ? BD , ∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BD , 又 P A? A C ? ,∴ BD ? 平面 PAC , A

∵ BD ? 平面 BDE , ∴平面 BDE ? 平面 PAC .

(3)由(2)可知 BD ? PC , ∴只需 BE ? PC ,便可得 PC ? 平面 BDE , 在 Rt ?PBC 中, BC ? 2 , PB ? 2 2 , PC ? 2 3 ,

PB 2 4 3 ? ∴ PE ? . PC 3

归纳反思
对立几命题条件的探索常采用: 1.先猜后证,即先观察与尝试给出条件再给出证明. 2.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件, 再证明充分性.


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