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2017届高考数学大一轮总复习 三角函数、三角恒等变形、解三角形 计时双基练22 正弦定理与余弦定理 文


计时双基练二十二

正弦定理与余弦定理
)

A 组 基础必做 1. 已知△ABC, sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ 2, 则此三角形的最大内角的度数是( A.60° C.120° B.90° D.135°

解析 依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶ 2,且 c 最大。 设 a=k,b=k,c= 2k(k>0), 由余弦定理得,cos C=

k2+k2-? 2k?2 =0, 2 2k

又 0°<C<180°,所以 C=90°。 答案 B 2.(2016·石家庄模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c。sin A,sin

B,sin C 成等比数列,且 c=2a,则 cos B 的值为(
A. C. 1 4 2 4 B. D. 3 4 2 3

)

解析 因为 sin A,sin B,sin C 成等比数列,所以 sin B=sin Asin C,由正弦定理

2

a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 得 b =ac,又 c=2a,故 cos B= = = 。 2 2ac 4a 4
2

答案 B 3.(2016·唐山模拟)在△ABC 中,若 b=2,∠A=120°,三角形的面积 S= 3,则三 角形外接圆的半径为( A. 3 C.2 3 ) B.2 D.4

1 2 2 2 解析 由面积公式,得 S= bcsin A,代入得 c=2,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A 2 =2 +2 -2×2×2cos 120°=12,故 a=2 3,由正弦定理,得 2R= = sin A
2 2

a

2 3 3 2

,解得 R

=2,故选 B。 答案 B 1 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos C+ c=b,则∠A=( 2 )

1

A. C.

3π 4 π 4

B. D.

2π 3 π 3

1 解析 由正弦定理得 sin Acos C+ sin C=sin B。因为 sin B=sin(A+C)=sin Acos 2

C+cos Asin C,所以 sin C=cos Asin C。又 sin C≠0,所以 cos A= ,因为 0<∠A<π ,
π 所以∠A= 。故选 D。 3 答案 D 5.在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于( A. C. 3 2 3 或 3 2 由已知及正弦定理得 B. D. 3 4 3 3 或 2 4 )

1 2

1 2

解析

AB
sin C



AC
sin B

,sin C=

AB·sin B 3 = ,C=60°或 C= AC 2

1 3 120°。 当 C=60°时,A=90°,△ABC 的面积等于 AB·AC= ; 当 C=120°时, A=30°, 2 2 1 3 3 3 △ABC 的面积等于 AB·AC·sin A= 。因此,△ABC 的面积等于 或 。 2 4 2 4 答案 D 6.在△ABC 中,若 sin B·sin C=cos ,且 sin B+sin C=sin A,则△ABC 是( 2 A.等边三角形 C.等腰三角形 解析 因为 sin Bsin C=cos = 2
2 2

A

2

2

2

)

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

A 1+cos A
2



所以 2sin Bsin C=1+cos [π -(B+C)] =1-cos(B+C) =1-cos Bcos C+sin Bsin C, 即 cos Bcos C+sin Bsin C=1, 所以 cos(B-C)=1。 因为 B,C 是△ABC 的内角, 所以 B-C=0,即 B=C。 又因为 sin B+sin C=sin A,即 b +c =a 。
2
2 2 2 2 2 2

所以 A=90°。 故△ABC 为等腰直角三角形。 答案 D sin 2A 7.(2015·北京卷)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________。 sin C sin 2A 2sin Acos A a 4 4 解析 在△ABC 中,由正弦定理知, = =2cos A· =2cos A× = sin C sin C c 6 3 36+25-16 3 sin 2A 4 3 cos A,再根据余弦定理,得 cos A= = ,所以 = × =1。 2×6×5 4 sin C 3 4 答案 1 8. (2015·福建卷)若锐角△ABC 的面积为 10 3, 且 AB=5, AC=8, 则 BC 等于________。 1 1 3 解析 由 S△ABC= |AB|·|AC|·sin A= ×5×8·sin A=10 3,得 sin A= 。∵△ 2 2 2

ABC 为锐角三角形,∴A=60°。由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos 60°=25
1 +64-2×5×8× =49,∴BC=7。 2 答案 7 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b, 则 =________。 解析 因为 bcos C+ccos B=2b,所以由正弦定理可得 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin

a b

B,
即 sin(B+C)=2sin B, 所以 sin(π -A)=2sin B,即 sin A=2sin B。 于是 a=2b,即 =2。 答案 2 10.(2015·天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c。已知△ABC 1 的面积为 3 15,b-c=2,cos A =- 。 4 (1)求 a 和 sin C 的值; π? ? (2)求 cos?2A+ ?的值。 6? ? 解 1 15 1 (1)在△ABC 中,由 cos A=- ,可得 sin A= 。由 S△ABC= bcsin A=3 15, 4 4 2

a b

得 bc=24,又由 b-c=2,解得 b=6,c=4。 由 a =b +c -2bccos A,可得 a=8。
3
2 2 2



a c 15 = ,得 sin C= 。 sin A sin C 8

π? π π 3 1 ? 2 (2)cos ?2A+ ? = cos 2A·cos - sin 2A·sin = (2cos A - 1) - ×2sin 6? 6 6 2 2 ?

A·cos A=

15-7 3 。 16

11.(2015·湖南卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A,且 B 为钝角。 π (1)证明:B-A= ; 2 (2)求 sin A+sin C 的取值范围。 解 sin A a sin A (1)证明:由 a=btan A 及正弦定理,得 = = ,所以 sin B=cos A, cos A b sin B

?π ? 即 sin B=sin? +A?。 ?2 ?
π π π ?π ? 又 B 为钝角,因此 +A∈? ,π ?,故 B= +A,即 B-A= 。 2 2 2 ?2 ? π? π ? ? π? (2)由(1)知,C=π -(A+B)=π -?2A+ ?= -2A>0,所以 A∈?0, ?,于是 sin A 2? 2 4? ? ? π 12 9 2 +sin C=sin A+sin -2A=sin A+cos 2A=-2sin A+sin A+1=-2sin A- + 。 2 4 8 π 2 因为 0<A< ,所以 0<sin A< , 4 2 因此 1?2 9 9 2 ? <-2?sin A- ? + ≤ 。 4? 8 8 2 ?

由此可知 sin A+sin C 的取值范围是?

? 2 9? , ?。 ? 2 8?

B 组 培优演练 1.(2016·太原模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a,b,c 成等比数列,且 a -c =ac-bc,则 A. C. 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2

c 的值为( bsin B
B.

) 3 2

D. 3
2 2 2

解析 由题意知 b =ac,又 a -c =ac-bc,∴b +c -a =bc。在△ABC 中,由余弦定 理得 cos A=

b2+c2-a2 bc 1 bsin A 2 = = ,∴∠A=60°。由正弦定理得 sin B= ,又 b =ac, 2bc 2bc 2 a
4



c ac 1 2 3 = = = 。 bsin B b2sin 60° sin 60° 3
答案 C 2.在三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a>b>c,a <b +c ,则角 A
2 2 2

的取值范围是( A.? C.?

) B.?

?π ,π ? ? ?2 ? ?π ,π ? ? ?3 2?
2 2 2

?π ,π ? ? ?4 2?

? π? D.?0, ? 2? ?
b2+c2-a2 >0,所以 A 为锐角,又因为 a>b>c,所以 2bc
2?

解析 因为 a <b +c ,所以 cos A=

?π π ? A 为最大角,所以角 A 的取值范围是? , ?。 ?3
答案 C 2 2 → → 3.(2015·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中,若 BC=2,sinA= ,则AB·AC的最大值 3 为( A. ) 1 3 B. 4 5

C.1

D.3

1 2 2 2 解析 设 BC=a,AC=b,AB=c,由余弦定理,得 a =b +c -2bc× =4,由基本不等 3 4 1 → → 式可得 4≥ bc,即 bc≤3,所以AB·AC=bccosA= bc≤1。 3 3 答案 C 4.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c +b)sin C。 (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状。 解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c
2 2 2 2

即 a =b +c +bc。 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A。 1 故 cos A=- ,∵A∈(0°,180°),A=120°。 2 (2)由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, 3 2 变形得 =(sin B+sin C) -sin Bsin C, 4
5
2 2 2 2 2 2

1 又 sin B+sin C=1,得 sin Bsin C= , 4 1 上述两式联立得 sin B=sin C= , 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°, 故 B=C=30°, 所以△ABC 是等腰的钝角三角形。

6


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