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浙江省富阳市第二中学2016届高三数学上学期第二次质量检测试题 理


富阳二中 2016 届高三 10 月第二次质量检测 数学(理科)问卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? x y ? ln(1 ? 2 x ) , B ? x x ≤ x ,则 CA? B ( A ? B)= ( ▲ )
2

?

r />
?

?

?

A. ( ??, 0)

B. (? ,1]

1 2

C. ( ??, 0) ?[ ,1]

1 2

D. (? , 0]

1 2

2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ▲ )

A.

1 ? 2? 3

B.

13? 6

C.

7? 3

D.

5? 2
▲ )

3.已知 a,b∈R,下列四个条件中,使“a>b”成立的必要而不充分的条件是( A.a>b ? 1 B.a>b+1 C.| a |>| b | D.2 >2
a b

4.已知点 A 的坐标为 (4 3 ,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 为( ▲ ). A.

?
3

至 OB ,则点 B 的纵坐标

3 3 2

B.

5 3 2

C.

11 2

D.

13 2

85 21 5.等比数列{an}的首项为 2,项数为奇数,其奇数项之和为 ,偶数项之和为 ,这个等比数 32 16 列前 n 项的积为 Tn(n≥2),则 Tn 的最大值为(▲) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D.2

6.能够把椭圆 C

x2 y2 ? ? 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f ( x) 称为椭圆 C 的 4 8
5? x 5? x
-1-

“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是( ▲ ) A. f ( x) ? x ? x
3 2

B. f ( x) ? 1n

C. f ( x) ? sin x ? cos x

D. f ( x) ? e ? e
x

?x

7.设 a, b ? R ,关于 x , y 的不等式 | x | ? | y |? 1 和 ax ? 4by ≥ 8 无公共解,则 ab 的取值范围是 ( ▲ ) B. ? ?8,8? C. ? ?4, 4? D. ? ?2, 2?

A. ? ?16,16?

8. 抛物线 y 2 ? 2 x 的内接 ? ABC 的三条边所在直线与抛物线 x2 ? 2 y 均相切,设 A,B 两点的 纵坐标分别是 a , b ,则 C 点的纵坐标为( ▲ ) A. a ? b B. ? a ? b C. 2a ? 2b D. ?2a ? 2b

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.命题 p : ?x0 ? R , 2 0 ≤ 0 ,命题 q : ?x ? (0, ??), x ? sin x ,其中真命题的是 ▲ ;命题
x

p 的否定是 ▲ ;
10. 设函数 f ( x) ? ?

??2 x 2 ? 1 ( x ≥ 1) ? ,则 f ( f (4)) = ▲ , 若 f ( a ) ? ?1 ,则 a ? ? ?log 2(1 - x)( x ? 1)

▲ ;

11.函数 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ?1 的最小正周期是 ▲ ,单调递减区间是 ▲ ; 12.若 a ? log4 3 ,则 2 ? 2
a ?a

?

▲ ;

BD 所成角的大小 13. 在正三棱柱 ABC - A 1 , D 是 CC1 中点,则 CA 1与 1B 1C1 中,若 AB=BB
是 ▲ ; 14 .若正实数 x , y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,且不等式 ( x ? 2 y)a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立,
2

则实数 a 的取值范围是 ▲ ; 15.已知数列 ?an ? 前 n 项的和为 Sn , (1) 若 a1 ? 1, an ? an?1 ? 2n ?1,则 S49 =
n ?

▲ ;

(2) 若 a1 ? 1 ,an+1 ? an ? 2 (n ? N ) ,则 S2015 = ▲ ; (3) 若

an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 S

40

? ▲ 。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15 分)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,
-2-

已知 ( 3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC . (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 sin B ? p sin C ,且 ?ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)如图,在四面体 ABCD 中,已知∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2, (Ⅰ) 求证:AC⊥BD; (Ⅱ)若平面 ABD⊥平面 CBD,且 BD= 5 ,求二面角 C-AD-B 的余弦值。

2

18. (本小题满分 14 分)如图所示,椭圆 C : 于点 A .

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 AB : y ? x ? 1 相切 2 2 a b

(I)求 a , b 满足的关系式,并用 a , b 表示点 A 的坐标; (II)设 F 是椭圆的右焦点,若 ?AFB 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形,求椭圆 C 的标 准方程.

-3-

(第 18 题图)

19.(本小题满分 15 分)已知 a ? R ,设函数 f ( x) ? x | x ? a | ? x . (Ⅰ) 若 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若 a ? 1 ,对于任意的 x ? [0, t ] ,不等式 ?1 ? f ( x) ? 6 恒成立,求实数 t 的最大值及此 时 a 的值.

20. (本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,其右顶点为 ? ? 2,0? ,上、下 a 2 b2
1 ,过椭圆的右焦点 F 的直线交椭圆于 ? , ? 两点 2

顶点分别为 ?1 , ?2 .直线 ??2 的斜率为 ( ? , ? 均在 y 轴右侧) .

? ? ? 求椭圆的方程; ? ?? ? 设四边形 ???1?2 面积为 S ,求 S 的取值范围.

-4-

-5-

富阳二中 2016 届高三数学(理科)参考答案 题 号 答 案 1 C
x

2 B ;

3 A

4 D

5 D

6 B

7 A

8 B

9. q ; ?x ? R , 2 ?0 11.

10. 5;1 或 12. 14.

? ,[
0

3? 7? ? k? , ? k? ] ,( k ? Z .); 8 8

1 ; 2

4 3 ; 3

13. 90 ; 15. 1177; 2
1009

a ? ?3或a ?

5 ; 2

- 3 ;820。

16. 解(Ⅰ) 由题意得

3sin B sin C ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 3 cos B sin C ? 4 cos B cosC

? ? 3 sin(B ? C) ? 3 cos(B ? C) ??????????????(4 分)
? tan( B ? C ) ? ? 3 ? B ? C ? ?A? 2? 3

?
3

??????????????(7 分)

(Ⅱ) p ?

sin B sin(120? ? C ) 3 1 ? ? ? ???????????(10 分) sin C sin C 2 tanC 2

? ?ABC 为锐角三角形,且 A ?

?
3

?
?

?
6

?C ?

?
2

? tanC ?

3 ??????????????(14 分) 3

1 ? p ? 2 .??????????????(15 分) 2 17.(I)证明(方法一) :∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD .
∴ ?ABD ? ?CBD . ∴ AD ? CD .?????????2 分 取 AC 的中点 E ,连结 BE, DE ,则 BE ? AC , DE ? AC . ????????????????????????3 分 又∵ BE ? DE ? E , ??????????????4 分

BE ? 平面 BED , BD ? 平面 BED ,
∴ AC ? 平面 BED , ??????????????5 分 ∴ AC ? BD ??????????????????6 分 (方法二) :过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .连接 AH .?1 分

-6-

∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∴ ?ABD ? ?CBD .∴ AH ⊥ BD .???????3 分 又∵ AH ? CH ? H ,??????????????4 分

AH ? 平面 ACH , CH ? 平面 ACH ,
∴ BD ⊥平面 ACH .??????????????5 分 又∵ AC ? 平面 ACH , ∴ AC ? BD .?????????????????6 分 (方法三) : AC ? BD ? ( BC ? BA) ? BD ??????2 分

? BC ? BD ? BA ? BD

????????????3 分

? BC ? BD cos?CBD ? BA ? BD cos?ABD ???4 分
? 2 BD cos 60? ? 2 BD cos 60? ? 0 ,????????5 分
∴ AC ? BD .?????????????????6 分 (II)解(方法一) :过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .则 CH ? 平面 BCD , 又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD =BD , ∴ CH ⊥平面 ABD . ??????????????8 分 过 H 做 HK ⊥ AD 于点 K ,连接 CK . ??????9 分 ∵ CH ⊥平面 ABD ,∴ CH ⊥ AD ,又 HK ? CH ? H , ∴ AD ⊥平面 CHK ,∴ CK ⊥ AD .???????10 分 ∴ ?CKH 为二面角 C ? AD ? B 的平面角. ????11 分 连接 AH .∵ ?ABD ? ?CBD ,∴ AH ⊥ BD .
? ∵ ?ABD ? ?CBD ? 60 , AB ? BC ? 2 ,

∴ AH ? CH ? ∴ AD ?

3 , BH ? 1 .∵ BD ?

5 3 ,∴ DH ? . ???12 分 2 2

21 AH ? DH 3 7 ∴ HK ? .??????????13 分 ? 2 AD 7

∴ tan?CKH ? ∴ cos ?CKH ?

CH 21 ? ,????????????????14 分 HK 3
30 . 10
30 .????????????15 分 10

∴二面角 C ? AD ? B 的余弦值为

(方法二) :由(I)过 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ,连接 CH

-7-

∵ ?ABD ? ?CBD ,∴ CH ⊥ BD . ∵平面 ABD ⊥平面 BCD , ∴ AH ⊥ CH .??????????7 分 分别以 HC, HD, HA 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系.??????8 分
? ∵ ?ABD ? ?CBD ? 60 , AB ? BC ? 2 ,

∴ AH ? CH ? ∵ BD ?

3 , BH ? 1 .

5 3 ,∴ DH ? .????????????9 分 2 2

3 ? A(0, 0, 3), C ( 3, 0, 0), B(0, ?1, 0), D(0, , 0) .?10 分 2
可得 AC ? ( 3,0,? 3) , CD ? ( ? 3 , 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

3 ,0) .???11 分 2

? n ? AC ? 3 x ? 3 z ? 0 ? ,取 y ? 2 , 3 n ? CD ? ? 3 x ? y ? 0 ? 2 ?

得一个 n ? ( 3,2, 3) .????????????????????12 分 取平面 ABD 的法向量为 m ? (1,0,0) .??????????????13 分

cos n, m ?

n?m | n || m |

?

3 10

?

30 .??????????????14 分 10

∴二面角 C ? AD ? B 的余弦值为

30 .?????????????15 分 10

? x2 y2 ? ?1 ? ? a 2 b2 18. 解: (I)联立方程组 ? 消元得: 1 ? y ? x ?1 ? ? 2
1 ( a 2 ? b 2 ) x 2 ? a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ①????????????????2 分 4

Q 相切

1 ?V? a 4 ? 4( a 2 ? b 2 )(a 2 ? a 2b 2 ) ? 0 4
2 2

得:

a2 ? b 2 ? 1 ② ?4 分 4

将②代入①式得: x ? a x ?

a4 ?0 4

解得 x A ? ?

a2 2

yA ? ?

a2 ? 1 ? b2 4

? A(?

a2 2 , b ) ?????????????????????????6 分 2
-8-

(II)解法 1:? F 到直线 AB 的距离 d ?
2

|c?2| , ? ?AFB 是等腰直角三角形 5

? | AF |? 2d

2 ? a2 ? 2(c ? 2) 2 ? ? c ? ? ? ? b2 ? ? ?????????11 分 2 ? 5 ?

由②可得: a ?
2
2

4 ? 4c 2 2 4 ? c 2 ,b ? 代入上式得: 5 5
2

? 2c 2 ? 5c ? 2 ? ? 4 ? c 2 ? 2(c ? 2) 2 2 ? ? 得 c ? 1 即 c ? 1 ?????13 分 ? ? ? ? 5 5 ? ? ? 5 ?
又? a ?
2

4 ? 4c 2 2 4 ? c 2 ,b ? 5 5

? a2 ?

8 5

b2 ?

3 5

? 椭圆的标准方程为:

5x2 5 y 2 ? ? 1 ?????????????14 分 8 3

解法 2:? F (c,0) ? k AF

b2 ?2b 2 ? ? 2 a2 a ? 2c ? ?c 2

? AF ? BF ? kBF

1 a 2 ? 2c ?? ? k AF 2b2

? 直线 BF 的方程为 y ?

a 2 ? 2c ( x ? c) ????????????8 分 2b 2

? a 2 ? 2c y ? ( x ? c) ? 2 a 2 ? 2c 1 a 2 ? 2c ? b 2 2b 2 ? a 2c ? 2c 2 ? 2 b ? ( x ? c ) ? x ? 1 ? x ? 由? 2b 2 2 2b 2 2b 2 1 ? y ? x ?1 ? ? 2
解得: xB ?

a2 c

yB ?

a 2 ? 2c 2c

? B(

a 2 a 2 ? 2c , ) ??????11 分 c 2c
2

?| AF |?| BF |

? a 2 ? 2c ? a2 a2 ? ( ? ? c) 2 ? b 4 ? ( ? c) 2 ? ? ? 2 c ? 2c ?

(a 2 ? 2c)2 ? 4b 4 (a 2 ? 2c) 2 ? 4b 4 ? 4 4c 2
a2 ? b2 ? 1 又? 4
? a2 ? 8 5
b2 ?

解得 c ? 1 ???????13 分

3 5

? 椭圆的标准方程为:

5x2 5 y 2 ? ? 1 ????????????14 分 8 3
-9-

解法 3:由方法二得 B(

a 2 a 2 ? 2c , ) ?????????????????11 分 c 2c

分别过 A, B 做 x 轴的垂线,垂足分别为 A?, B?

? ?AFB 是等腰直角三角形 ? | AA? |?| FB?|
又 Q | FB? |? xB ? c ?

a2 b2 ? c ? , | AA? |? yA ? b2 c c

?

b2 ? b2 得 c ? 1 ????????????13 分 c a2 ? b2 ? 1 4
? a2 ? 8 5
b2 ? 3 5

又?

? 椭圆的标准方程为:

5x2 5 y 2 ? ? 1 ????14 分 8 3
2 ? ?? x , x ? 1, , ????????????????3 分 2 x ? 2 x , x ? 1, ? ?

19. (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ?

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, 0) , (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) . ??6 分

2 ? ?? x ? (a ? 1) x, x ? a, (II) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? (a ? 1) x, x ? a.

①当 a ? ?1 时, a ?

a ?1 a ?1 ? ? 0 , f ( x) 在 [0, t ] 单调递增, f ( x)min ? f (0) ? 0 2 2

f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? (a ?1)t ,由题意得 f ( x)max ? 6 ,即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 ,
(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 解得 0 ? t ? , 2
令 m ? ?(a ? 1) ? 0 , h(m) ?

m2 ? 24 ? m 12 在 [0, ??) 单调递减, ? 2 m2 ? 24 ? m

所以 h(m)max ? h(0) ? 6 ,即当 a ? ?1 时, tmax ? 6 .??????????9 分 ②当 ?1 ? a ? 0 时,

a ?1 a ?1 a ?1 ?a?0? ] 单调递减, , f ( x ) 在 [0, 2 2 2

在[

a ?1 a ?1 (a ? 1)2 1 , ?? ) 单调递增, f ( x)min ? f ( )?? ? [? , 0) , 2 2 4 4
- 10 -

满足 f ( x)min ? ?1 , f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? (a ? 1)t ,由题意得 f ( x)max ? 6 , 即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 ,解得 0 ? t ?

(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 , 2

令 m ? a ? 1 ? 0 , h(m) ?

m ? m2 ? 24 在 (0,1] 单调递增, 2

所以 h(m)max ? h(1) ? 3 ,即当 a ? 0 时, tmax ? 3 . ???????????12 分 ③当 0 ? a ? 1 时,

a ?1 a ?1 a ?1 ?0?a? ] 单调递减, , f ( x ) 在 [0, a ], [a, 2 2 2

在[

a ?1 a ?1 (a ? 1) 2 1 , ?? ) 单调递增, f ( x) min ? f ( )?? ? [?1, ? ) , 2 2 4 4

满足 f ( x)min ? ?1 , f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? (a ? 1)t ,由题意得 f ( x)max ? 6 , 即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 ,解得 0 ? t ?

(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 , 2

m ? m2 ? 24 同②得 h(m) ? 在 (1, 2] 单调递增, 2
所以 h(m)max ? h(2) ? 1 ? 7 ,即当 a ? 1 时, tmax ? 1 ? 7 , 综上所述, tmax ? 1 ? 7 ,此时 a ? 1 .?????????????????15 分

20.

- 11 -

- 12 -


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