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2017两角和与差的余弦公式教案1.doc


两角和与差的余弦公式教学设计

【教学三维目标】

1.知识与技能目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程, 熟记两角和与差的余弦公式,运用两角和与差的余弦公式,解决相关 数学问题;培养学生严密而准确的数学表达能力;培养学生逆向思维 和发散思维能力;

2 过程与方法目标 :通过对公式的推导提高学生研究问题、分 析问题、解决问题能力;体会公式探求中从特殊到一般的数学思想, 同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感、态度、价值观目标: 通过观察、对比体会数学的对称 美和谐美,培养学生良好的数学表达和思考的能力,学会从已有知识 出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】 C 级

【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程,特别是一般

性的推广。

【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡,充分挖掘学 生的思考和探究能力,以达到对公式的深入理解和灵活运用。

【教材分析】 这节内容是教材必修 4 的第三章 《三角恒等变换》 第一节,是高考的重点考点,历年高考必考内容,一般在填空或解答 题第 15 题出现。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量 的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上, 进一步研究用单角 的三角函数表示的两角和与差的三角函数."两角差的余弦公式"在教 科书中采用了一种易于教学的推导方法, 即先借助于单位圆中的三角 函数线,推出α ,β ,α -β 均为锐角时成立.对于α ,β 为任意角 的情况,教材运用向量的知识进行了探究.同时,补充了用向量的方 法推导过程中的不严谨之处,这样,两角差的余弦公式便具有了一般 性。

【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生,数学表达 能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期, 学生对探索未知世界有 主动意识,对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生 活,储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法,这为 本节课的学习建立了良好的知识基础。

【学具准备】 小黑板

圆规

【学法设计】 独立思考,生生交流探究,小组合作

【知识链接】 诱导公式

平面向量的数量积

一、 产生对公式的需求 引入新课 钟)

(1 分

首先让学生通过具体实例消除对 "cos( α - β )=cos α -cos β " 的误 解,说明两角和(差)的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对 公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。

二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论 钟)

(8 分

独立思考以下问题:

(1)向量的数量积



(2)单位圆上的点的坐标表示

由图可知: (

),

(

)则

问题 1 :

问题 2 :由 出发,你能推广到对任意的两个角都成立吗?

问题 3 :两角和与差的余弦公式推导

(一)两角差的余弦公式



如果 ,那么



实际上,当 为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转 化 ,使 。

综上所述, ,对于任意的角 都成立。

根据两角差的余弦公式,你可以猜猜

提示:令

(二)两角和的余弦公式(学生回答)

结论:

注:

1.公式中两边的符号正好相反(一正一负) ;

2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后;

3.式子中α 、β 是任意的。

4 式子的逆用,变形用

正因为α 、β 的任意性,所以赋予 C(α +β )公式的强大生命力

三. 互相交流,小组活动 公式应用闯关

(12 分

钟)

第一关:小试身手

请用特殊角分别代替公式中α 、β ,你能求哪些非特殊角的值 呢?(选择的特殊角可以是 30°60°45°等)

(1) ;(2) ;(3) ;……

问题预测:学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求 cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至 可能有的同学会说他验证了 cos30°=sin60°…….(让同学感受获得 公式后的第一份喜悦) 由于初学公式的应用, 我选择其中之一作示范。

第二关:再接再厉

若β 固定,分别用

代替α ,你将会发现什么结论呢?

设计意图:引导同学发现余弦的诱导公式可用 C(α ±β )公式得 到证明: 初步让学生发现 C(α ±β )公式是诱导公式的推广。 (从而 让同学感受获得公式后的第二份喜悦)

第三关:各显神通

倘若让你对 C(α ±β )公式中的α 、β 自由赋值,你又将发现什 么结论呢?

(1) ;(2)

(3)

(4)

……

问题预测: 可能有的同学发现 cos2α =cos(α +α )=cos2α -sin2α , 这是以后要学的二倍角公式, 还有的同学发现: cosα =cos[(α +β )β ]=cos( α + β )cos β +sin( α + β )sin β , 甚 至 有 调 皮 的 同 学 发 现 cos0=cos( α - α )=cos2 α +sin2 α =1 , 这 就 无 意 中 证 明 了 平 方 关 系,……, (据此,让同学感受到 C(α ±β )公式的强大功能) 。 (必 要时,教师可适当提示) 。

注:按课本编排未必能让同学注意公式中α ,β 的任意性, (而正 是因α 、β 的任意性,所以才赋予 C(α +β )公式的强大生命力) 。于

是我设计上述三个有层次的 A ,B,C 级的问题,留时间先让同学用特 殊角自由赋值,逐渐摸索、尝试,不断总结、归纳。这样更能使同学 亲自感受公式的强大功能,并掌握赋值法。

四.师生共同活动 钟)

数学运用

(10 分

1.例题:知 ,求 的值。

解:由

,得

又由 ,得

由余弦的和角公式得

注意:注意角 、 的象限,也就是符号问题.

2.变式练习 能力提高

解:由

,得

又由 ,则 得

由余弦得差角公式得

五.达标检测: 分钟)

(10

(1)cos80°cos20°+sin80°sin20°,初步学会逆用公式。

(2)cos130°cos5°-sin130°sin5°

(3)cos215°-sin215°,

为二倍角公式埋下伏笔。

(4)cos80°cos35°+cos10°cos55°,逐步学会把不符合公式 结构变形使之符合。

(5) (2004 全国高考题)设 ,若 ,则 ,利用高考题的引用让 学生串连三角函数的相关知识。

⑴.

⑵. -

⑶.

⑷.

⑸.

六.学习反思 钟)

(2 分

知识网建构:

七. 课堂总结: 分钟)

(2

1、牢记公式的结构特点,学会逆用公式。不符合公式结构特点 的,常通过诱导公式变形使之符合。

2、强调公式中α 、β 的任意性,是本节内容的主线,它赋予了 公式的强大生命力。

注:逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深 的练习,加强学生对公式的理解和应用,引导学生积极参与思维,培 养学生观察,比较等思维能力,同时渗透了一种化归思想。

八. 作业布置

1. 教材第 94 页,感受理解第 1,2. 3 题

2. 探究:知道了 ,你觉得 也有类似的规律吗?

九. 板书设计

课题:3.1.1 两角和与差的余弦

两角差的余弦公式

两角和的余弦公式

例题

变式练习

十. 【教学反思】

两角差的余弦公式是任意角三角函数知识的延伸, 是后继内容两 角和与差的正弦、余弦、正切,以及二倍角公式的知识基础。 之前 我在新旧教材中都讲过这个内容,经过这次培训,我又对这一内容进 行了设计,重新备课。就之前与之后的教学,我进行了反思。

一、 反思教学理念:新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合, 关注学生的发展。知识可以通过传授获得,技能可以通过训练掌握。 态度和情感价值观需要学生参与获得。这样,课堂教学中,要重视学

生的参与、体验过程。但老师的指导作用也不可忽视,没有老师的引 导,学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。教师通过创设激 发学生学习欲望的数学情境,营造积极的活跃的学习氛围,才能使学 生参与我们的教学中来。

二、反思教学过程:

(一)创设问题情境:之前旧教材的教学,我们只关注公式的应 用,而轻视公式的由来,这样符合公式的发生发展过程。这次的教学 设计我从如何解决一个实际问题出发,调动学生的思维与学习积极 性,抓住学生的兴趣。

(二)两角差的余弦公式的探究过程:之前旧教材的教学是用两 点间的距离公式来推导两角和的余弦,再赋值得到两角差的余弦公 式,这一过程中对学生的思维训练不是很多。而新教材采用了一种学 生易于接受的推导方法,即先用数形结合的思想,借助于单位圆中的 三角函数线,推出α ,β ,α -β 均为锐角时公式成立。对于α ,β 为任意角时的情况,教材运用向量的知识进行了探究,使得公式的得 出成为一个纯粹的代数运算过程,学生易于理解和掌握,同时也有利 于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。 我采用了新教材的 思路。

(三)两角差的余弦公式的简单应用。除了课本上的例题、习题, 我补充了课堂练习、及课后作业,针对性较强。


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