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乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 6 D 7 D 8 C 9 C 10 D 11 A 12 C

1.选 C.【解析】∵ A ? {1, 2,3, 4}, , B ? {2, 4,6,8} ,∴ A 2.选 B.【解析】∵

B ? {2, 4},故选 C.

2i ?1 ? i ? 2i 2i ? 2 ? ? ? ?1 ? i 故选 B. 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

3.选 A.【解析】∵ a ? b, b ? b ? 1 ,∴ a > b - 1 .故选 A. 4.选 B. 【解析】①错,②对,③对,④错. 故选 B. 5.选 B. 【解析】如图正方形面积为 1 ,阴影部分面积为 ∴P ?

1 , 4

1 .故选 B. 4

6.选 D.【解析】 y ' = e x + xe x ,切线的斜率 k = 2e ,∵此切线与直线 ax + by + c = 0 垂直,
∴直线 ax + by + c = 0 的斜率 -

a 1 a 1 =,∴ = . 故选 D. b 2e b 2e

7.选 D.【解析】 f (x ) =

骣 p 3 sin 2x + cos 2x = 2sin ? 2x + ÷ ÷, ? ? 桫 6÷

当 2k p -

p ? 2x 2

p ? 2k p 6

p (k 2

轾 kp Z) ,即 x ? 犏 犏 臌

p p , kp + (k 3 6

Z) 时 f (x ) 单调递

轾 p kp + , kp 增,同理 x ? 犏 犏 臌 6

2p (k 3

Z) 时, f (x ) 单调递减.故选 D.

8.选 C.【解析】如图该几何体为一三棱锥,设外接球半径为 r 由题意得: r = 1 ∴ S球 =4p r 2 = 4p ,故选 C. 9.选 C.【解析】执行第一次运算 r = 91, m = 119, n = 91 , 执行第二次运算 r = 28, m = 91, n = 28 ,执行第三次运算 r = 7, m = 28, n = 7 ,执行第 四次运算 r = 0 输出 n = 7 .故选 C. 10.选 D.【解析】∵ cos B = 由面积公式得: 42 ? ∴ b ? 6 2 ,∴

3 4 , ∴ sin B = , 又∵ a ? 10 , D A BC 的面积为 42 , 5 5

1 3 ? 10 ? c ? ,∴ c ? 14 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 72 , 2 5

a b = = 10 2 .故选 D. sin A sin B

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案第 1 页(共 7 页)

11.选 A.【解析】 F2 (c ,0),渐近线方程为 y =

b b x , y = - x 直线 AB 的方程为: a a

ìy =- x +c ? ? y = - x + c ,设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) 依题意知, A , B 分别满足 ? , í b ? y = x ? ? a ?
ì y =- x+c ? ? ac ac ? ,x 2 = , ∵ F2 A ? AB ,∴ F2 B = 2F2 A , ,得 x 1 = í b ? a + b a - b y =- x ? ? a ?


ac - c= a- b

骣 ac 2? - c÷ ÷ ? ÷,化简得 b = 3a .故选 A. ? 桫 a+ b

骣 1÷ 骣 1 ÷ x+ ÷ , 0÷对称,则函 12.选 C.【解析】∵ f ? 为奇函数,则函数 y = f (x ) 的图像关于点 ? ? ? ÷ ? ? 桫 2 桫 2 ÷

骣 1 ÷ ,1÷对称,故函数 g (x ) 满足 g (x ) + g (1- x ) = 2 . 数 y = g (x ) 的图象关于点 ? ? ? 桫 2 ÷
骣 1鼢 骣 2 + g + 设 S =g 珑 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 16 16 + g 骣 骣 15 15 鼢 骣 14 + g + ,倒序后得 S =g 珑 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 桫 16 16 16 + g 骣 1 ,两式相 桫 16

轾骣 轾骣 1鼢 骣 15 2鼢 骣 14 加后得 2S = 犏 g珑 +g +犏 g珑 +g + 鼢 鼢 珑 珑 鼢 鼢 珑 珑 犏 犏 桫 桫 16 16 16 16 臌桫 臌桫
∴ S =15 .故选 C. 二、填空题 13.填

轾骣 15 鼢 骣 1 +犏 g珑 +g =15 2 , 鼢 珑 鼢 珑 犏 桫 16 16 臌桫

24 3 24 4 .【解析】∵ cos a = - , sin a = - ,∴ sin 2a = 2sin a cos a = 25 5 25 5

14.填 18 .【解析】∵ ?C ? 90? ,∴ CA ?CB ? 0 ,∵ BM ? 2 AM ,∴ CM ? CB ?

2 CM ? CA ,∴ CM ? 2CA ? CB ,∴ CM ?CA
ì ? 1 - 2x ? 15.填 ? ??,0? .【解析】 f (x ) = í x ? ? ?2 - 1
若a < b

?

?

(2CA + CB)?CA

2CA = 18

2

(x 0) (x > 0)

0 ,由 f (a) = f (b ) 得 1 - 2a = 1 - 2b ,得 a = b ,与 a ? b 矛盾;

若 0 < a < b ,由 f (a) = f (b ) 得 2a - 1 = 2b - 1 ,得 a = b ,与 a ? b 矛盾; 若 a < 0 < b ,由 f (a) = f (b ) 得 1 - 2a = 2b - 1 ,得 2a + 2b = 2 , 而 2a + 2b > 2 2a ?2b

2 2a+ b ∴ 2a + b < 1 = 20 ,∴ a + b < 0

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案第 2 页(共 7 页)

16.填 4 .【解析】依题意知,直线 AB 的斜率 k 存在,且 k ? 0 , F (1,0),Q (- 1,0) 设其方程为 y = k (x - 1) 代入 y 2 = 4x 有 k 2 x 2 - (2k 2 + 4)x + k 2 = 0 设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) , 则 x 1x 2 = 1 , 又 y 12 = 4x 1 , ∴ y 12 y 22 = 16x 1x 2 = 16 , y 22 = 4x 2 , 而 y 1 , y 2 异号,∴ y 1 y 2 = - 4 ,∵ FA = (x1 - 1, y1 ), QB = (x2 + 1, y2 ) ,又∵ QB ^ AF , 故 (x1 - 1, y1 )?(x2 即 x1 x2 + (x1 - x2 ) + y1 y2 - 1 = 0 ,将 x 1x 2 = 1 ,y 1 y 2 = - 4 1. y2 ) = 0 ,

代入,有 1 + (x 1 - x 2 )- 4 - 1 = 0 ,∴ x 1 - x 2 = 4 ,又 AF = x 1 + 1, BF = x 2 + 1 , ∴ AF - BF = 4 三、解答题 17. (12 分)

S 1 = 2a1 + 1- 3 , (Ⅰ) 当 n =1 时, 得 a1 = 2 , 由 S n = 2an + n - 3 得 S n + 1 = 2an + 1 + n + 1- 3 ,
两式相减,得 an + 1 = 2an + 1 - 2an + 1 ,即 an + 1 = 2an - 1,∴ an + 1 - 1 = 2(an - 1) ,而

a1 - 1 = 1 ,∴数列 {an - 1}是首项为 1,公比为 2 的等比数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an - 1 = 1?2n - 1 ∴ Tn =(1? 20

…6 分

2n - 1 ,即 an = 2n - 1 + 1 , nan = n (2n - 1 + 1) = n ?2- 1

n

1) + (2? 21 2? 21
2? 21
2? 21 2? 22

2) + (3? 22

3) +

+ (n ?2n- 1

n) + n)

= (1? 20
= (1? 20
令 Vn = 1? 20 则 2Vn = 1? 21

3? 22
3? 22
3? 22 3? 23

+ n ?2n- 1 ) (1 + 2 + 3 +
+ n ?2n- 1 )
+ n 2n- 1 + n 2n
1? (1 2n ) 1- 2

n(n + 1) 2

两式相减得 - Vn = 1 + 21 + 22 + ∴V n = n ?2n

+ 2n- 1 - n ?2n =

n ?2n

2n - 1 - n 2n
…12 分

∴T n = (n - 1)2n + 2n + 1 = (n - 1)2n + 1 ,

n (n + 1) +1 2

18. (12 分) (Ⅰ)连结 A C ∵四边形 A BCD 是菱形,∴ AB ? BC 又∵ ? ABC 60 ,∴ D A BC 是等边三角形, ∵ M 是 BC 中点, ∴ AM ^ BC , ∵ PA ^ 平面 A BCD , BC ? 平面 ABCD ,
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∴ PA ? BC ,在平面 PMA 中 AM ∴平面 PBC ^ 平面 PMA ;

PA ? A ,∴ BC ^ 平面 PMA
…6 分

(Ⅱ)取 AB 中点 E ,连结 NE ,则 NE // PA ,∴ NE ^ 平面 A BCD , NE ?

1 6 , PA ? 2 2

过点 E 作 AD 的垂线,交 DA 延长线于点 F ,连结 NF ,易知 NF ? DA , 在 Rt ?EFA 中, AE ? 1, ?EAF ? 60?, ∴ EF ?

3 2

在 Rt ?NEF 中, NE ? ∴ S?AND ?

3 6 3 , EF ? , ?NEF ? 90?, ∴ NF ? 2 2 2

1 1 3 3 1 AD ? NF ? ? 2 ? ? , S?ABD ? AB ? AD sin ?BAD ? 3 2 2 2 2 2

设点 B 到平面 AND 的距离为 d ,由V N - ABD = V B - AND , 得 ? NE ? S ?ABD ?

1 3

1 6 3 ? d ? S ?AND ,即 ? 3 ? d ? ,∴ d ? 2 3 2 2
…12 分

∴点 B 到平面 A ND 的距离为 2 . 19. (12 分)

(Ⅰ) 上半年的数据为:43, 44, 48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76,

83,84,87,88,91,93 其“中位数”为 65 ,优质品有 6 个,合格品有 10 个,次品有 9
个.下半年的数据为: 43, 49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,

72,73,77,79,81,88,92 其“中位数”为 65 ,优质品有 9 个,合格品有 11 个,次品有
5 个.则这个样本的 50 件产品的利润的频率分布表为: 利润 10 5 -5 (Ⅱ)由题意得: 上半年 下半年 优质品 非优质品 频数 15 21 14 频率 0.3

0.42 0.28
…6 分

6 19 25
2

9 16 25

15 35 50

50 ? ? 6 ?16 ? 9 ?19 ? 6 K ? ? ? 0.857 25 ? 25 ?15 ? 35 7
2

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案第 4 页(共 7 页)

由于 0.857 ? 3.841 所以没有 95% 的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. …12 分 20.(12 分) (Ⅰ)已知椭圆

x2 y 2 + = 1 的右焦点为 F (1,0) ,∴ a 2 - b 2 = 1 a 2 b2

又直线 y = x -

ì ? y = x- 7 ? ? ? ∴方程组 í x 2 有且仅有一个解, 7 与椭圆有且仅有一个交点, y2 ? + =1 ? 2 2 ? b ? ?a

即方程 (b2 + a 2 ) x 2 - 2 7a 2 x + 7a 2 - a 2b2 = 0 有且仅有一个解 ∴ D = 28a 4 - 4(a 2 + b2 )(7a 2 - a 2b2 ) = 0 ,即 a 2 + b 2 = 7 ,又∵ a 2 - b 2 = 1 , ∴ a 2 = 4,b 2 = 3 ,∴椭圆的标准方程是

x2 y 2 + = 1; 4 3

…5 分

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y = k (x - 4) , A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) 把直线方程代入椭圆的方程,得关于 x 的一元二次方程:

(3+4k 2 )x 2 得: -

32k 2 x + 64k 2 - 12 = 0 ,由 D = (32k 2 ) - 4(3 + 4k 2 )(64k 2 - 12) > 0

2

32k 2 64k 2 - 12 1 1 x x = , < k < ,由韦达定理得: x 1 + x 2 = 1 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 2 2

∵点 A , B 在直线上,∴ y1 = k (x1 - 4) , y2 = k (x2 - 4) 又∵ FA ?FB

0 ,∴ (x 1 - 1)(x 2 - 1)+y 1 y 2 =0

即 (x 1 - 1)(x 2 - 1)+y 1 y 2 =x 1x 2 - (x 1 + x 2 ) + 1+ k 2 (x 1x 2 - 4(x 1 + x 2 )+ 16) = 0 即 (1+k 2 )

64k 2 - 12 32k 2 - (4k 2 + 1) + 16k 2 + 1 = 0 2 2 3 + 4k 3 + 4k

化简得: k 2 = 21. (12 分)

1 ,∴ k = 8

2 2 (x ∴所求直线 l 的方程为: y = ? 4 4

4) …12 分

骣 1÷ 1 1+ ÷ (Ⅰ)∵ f ? ∵ x ? 0, ∴ 1 ? ? 0 , ( x) = ln ( x + 1)- ln x = ln ? ? ÷ ? 桫 x x
∴ ln ?1 ?

? ?

1? ' ? ? 0 , f ? x ? ? 0 ∴函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??? 上单调递增. x?

…4 分

(Ⅱ)令 g (x ) = f (x ) - a (x + 1) , g ⅱ ( x) = f ( x) - a = ln(1 +

1 )- a , x 1 1 ( x) = 0 ,得 x = a 令 g? ,∵ a ? ln 2 ∴ e a - 1 1 ,∴ 0 < a 1, e - 1 e - 1 1 1 ( x) ? 0 , x > a ( x) < 0 则当 0 < x 时, g ? 时, g ? a e - 1 e - 1

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案第 5 页(共 7 页)

纟 1 骣1 ú为增函数,在区间 ? ,+ ∴函数 g ( x ) 在区间 ? ?0,a ? a ? ? è e - 1ú 桫 e - 1 ? 骣1 ÷ 骣1 ∴ max g (x ) = g ? ,而 g 珑 ÷ ? 珑 a ÷ ? 珑 x>0 桫 桫 e - 1 ea ∴当 a ? ln 2 时,对 " x > 0 g (x )

÷ ÷ ÷为减函数;

骣 1 1 鼢 = ln 1 + a - a = ln a 鼢 鼢 桫 e - 1 1 e - 1

0

0 , f (x ) ? a (x 1) 成立.

1)
…12 分

故当 a ? ln 2 时,对 " x > 0 , f (x ) ? a (x

22. (10 分) CBA (Ⅰ)连结 BC ,∵ CD 是圆的切线, AC 是弦∴ ? DCF DFC ,∴ ? DFC CBA , ∵ DF = DC ,∴ ? DCF ACB =90 ,∴ D ACH ∽ D A BC , 又∵ CH ^ A B , 邪 CBA ,∴ ? ACH DFC ,∴ DE // CH ; ∴ ? ACH

D

M F

C

…5 分 A E (Ⅱ)设 AD 与半圆交于点 M ,连结 BM ,∵ CD 是圆的切线,∴ AMB =90 ,∴ DAED ∽ DAMB , DC 2 = DA DM ,又∵ DE ^ AB , 邪

H

B

AE AM ,∴ AE ?AB DA AM , = DA AB ∴ DA 2 - DF 2 = DA 2 - DC 2 = DA 2 - DA DM


= DA ?(DA
23.(10 分)

DM ) = DA ?AM

AE AB .

…10 分

ì ? x = cos q (Ⅰ)圆 C 的参数方程为 ? ( q 为参数) ; í ? ? ? y = 1 + sin q ì ? x= t 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ; í ? ? ? y= 3
…5 分

(Ⅱ)圆 C 的极坐标方程为 r = 2sin q ,直线 l 的极坐标方程为 r sin q = 3 ,设 M 点的极坐 标为 (r 1,q) , N 点的极坐标为 (r 2,q) 依题意有: r 1 = 2sin q , r 2 sin q = 3 ,

ON = r 1 r 2 = 2sin q ? ∴ OM 鬃
24.(10 分)

3 sin q

6 为定值.
y

…10 分

ì ? ? x- 2 ? ? ? ? ? (Ⅰ) f (x ) = ? í - 3x ? ? ? ? - x+2 ? ? ? ? ?

1 2 1 - 1? x ,其图像如图所示. 2 x<- 1 x

-1

o

1 2

x

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案第 6 页(共 7 页)

令 f (x )=0 解得 x 1 = 0, x 2 = 2 ,∴ f ( x) < 0 的解集为 {x 0 < x < 2} (Ⅱ)如图,当 x < - 1 时, f ? x ? ? 3 ,要使 f (x) > f (a ) ,需且只需 f (a) ? 3 ,

…5 分

而 f ? a ? ? 3时,有 ?3a ? 3 ,或 ? a ? 2 ? 3 ,即 a ? ?1 ,或 a ? 5 ,得 - 1 #a 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

5.

…10 分

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案第 7 页(共 7 页)


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