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湖南省师大附中2013届高三第四次月考数学文试题


湖南师大附中 2013 届高三月考(四)

数学(文)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.如果复数 z ? (a ? i)(1 ? i) 为纯虚数,那么实数 a 等于 A.2 B

.1 C.0 D.-1

2.函数 f ( x) ?| x | ? cos x在(??, ??) 内 A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无究多个零点 3.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm) ,则该几何体的表面积为

A.12π cm2

B.15π cm2

C.24π cm2

D.36π cm2

4.已知三条不重合的直线 m,n,l,两个重合的平面 ? , ? ,有下列四个命题 ①若 m / / n, n ? ? , 则m / /? ; ②若 l ? ? , m ? ? , 且 l / / m, 则? / / ? ;

③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? , 则? / / ? ;④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? . 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 5.已知函数 f ( x) ? ?

C.3

D.4

??2 x(?1 ? x ? 0) ? , 则下列图象错误的是 ? x (0 ? x ? 1) ?

6. P 是双曲线 点

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点, M, 分别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4和( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 点 N 9 16
D.0

上的动点,则|PM|—|PN|的最小值为 A.3 B.2 C.1 7.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是 A. f ( x) ? x2 C. f ( x) ? e x B. f ( x) ?

1 x

D. f ( x) ? sin x

8.如图,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线是线段 AB 交于 圆内一点 D,若 OC ? xOA ? yOB ,则 A. x ? y ? ?1 B. ?1 ? x ? y ? 0 C. 0 ? x ? y ? 1 D. x ? y ? 1 9.如图,一个树形图依据下列规律不断生长,1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点,1 个实 心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点,则第 11 行的实心圆点的个数是

??? ?

??? ?

??? ?

A.21 B.34 C.55 D.89 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡中对应题号的横线上。 10.将某班的 60 名学生编号为:01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本,且 随机抽得的一个号码为 04,则剩下的四个号码依次是 。 11.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如图所示,垂直放置 的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE=α ,∠ADE=β ,该小组已经测 得一组,α ,β 的值,tanα =1.24,tanβ =1.20,据此算出 H= m。 12.在数列 {an } , a1 ? a, a2 ? b, 且an?2 ? an?1 ? an (n ? N ), 设数列 {an } 中
*

的前 n 项和为 S n , 则 S2013 =



13.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c满足f (1) ? 0, 且a ? b ? c, 则
2

c 的取值范围为 a



14.设 f ( x) ? lg(

2 ? a) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0的x 的取值范围是 1? x
*



15.设 X n ? {1, 2,3,?, n}(n ? N ), 对X n 的任意非空子集 A,定认 f ( A) 为 A 中的最大元素,当 A 取遍 X n 的所有非空子集时,对应的 f ( A)的和为Sn ,则 (1)S2= (2) Sn ? ; 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 如图,一个几何体由圆柱 ADD1A1 和三棱锥 E—ABC 组合而成,点 A,B,C 在⊙O 的圆周 上,E,A,D 三点共线,已知 AB⊥AC,AB=AC,AE=AD=1,BC=2。 (1)求证:AC⊥BD; (2)求三棱锥 C—BDE 的体积。

17. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? 2 3 cos
2

?x
2

? sin ? x ? 3( ? ? 0) 在一个周期内的图象如图, 为最高点, A B,

C 为图象与 x 轴的交点,且 BA ? CA ? 0. (1)求 ? 的值及 f ( x ) 的值域; (2)若 f ( x0 ) ?

??? ??? ? ?

8 10 2 , 且x0 ? (? , ), 求f ( x0 ? 1) 的值。 5 3 3

18. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1. (1)设集合 P ? {1, 2,3}和Q(?1,1, 2,3, 4) ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函 数 y ? f ( x)在区间 ??) 上是增函数的概率; [1,

?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设点 ( a, b)是区域 ? x ? 0 内的随机点,记 A ? { y ? f ( x) 有两个零点,其中一个大 ?y ? 0 ?
于 1,另一个小于 1},求事件 A 发生的概率。

19. (本小题满分 13 分) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为 一组蜂巢的截面图,其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢, 按此规律,以 f ( n) 表示第 n 个图的蜂巢总数。

(1)试给出 f (4), f (5)的值,并求 f ( n) 的表达式(不要求证明) ; (2)证明:

1 1 1 1 4 ? ? ??? ? (n ? N * ). f (1) f (2) f (3) f ( n) 3

20. (本小题满分 13 分) 已知 a ? R,函数f ( x) ? x2 ? ax ? 2 ? ln x. (1)若函数 f ( x)在[1, ??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

[ (2)若 a ? 1, 且对于区间 ,1] 上任意两个自变量 x1 , x2 , 都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c ,求实数 c 的
取值范围。 (参考数据: ln 3 ? 1.0986 )

1 3

21. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0)的准线为l , 焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,圆

M 与 y 轴相切, 过原点 O 作倾斜角为 且|AO|=|BO|=2。 (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程;

?
3

的直线 n, 交直线 l 于点 A, 交圆 M 于不同的两点 O, B,

(2)若点 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S,T,求证:直线 ST 恒过一个定点,并 求该定点的坐标。

???? ??? ? ?

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