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黑龙江省大庆市第一中学2016届高三数学第三次模拟考试试题 理


黑龙江省大庆市第一中学 2016 届高三数学第三次模拟考试试题 理
一.选择题 1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A ? B ) ? ( A. {x | x ? 0} 2.复数 B. {x | x ? 1} ) C. ?i C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} )

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i

A. ?

3 i 5

B. i

3 5

D. i )

3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( A.2 C.4 B.3 D.5

4.已知 tan? ? 0, sin ? ? ?

3 , 则sin 2? ? ( 3
C.



A.

2 2 3

B.-

2 2 3

2 3

D.-

2 3


5.“双曲线 C 的渐近线为 y ? ? 2 x ”是“双曲线 C 的离心率为 3 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.下列说法中正确的是: A.若命题

p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0
2

B.命题“若圆 C : ?x ? m ? 1? ? ( y ? m)2 ? 1 与两坐标轴都有公共点,则实数 m ? [0,1]”的逆否命题为真命题
2

? ? 2 ? 3x ,若变量 x 增加一个单位,则 y 平均增加 3 个单位 C.已知相关变量 ( x, y) 满足回归方程 y

D.已知随机变量 X ~ N (2,? 2 ) ,若 P( X ? a) ? 0.32 ,则 P( X

? 4 ? a) ? 0.68

?x ? y ? 1 ? 0 ? 7.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? 2 y ? 0 ?
A、 ? 4 B、 5 C、 4 D、无最小值



8.已知正三棱锥 P ? ABC 的外接球的半径为 2,且球心在点 A,B,C 所确定的平面上,则该正三棱锥的表面
1

积是( A、 3 2 ? 3

) B、 3( 15 ? 3) C、 3 15 ? 3 2 D 3( 2 ? 3 ) )

9.奇函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若 f ( x ? 2) 为偶函数,且 f (1) ? 1, 则f (8) ? f (9) ? ( A.-2 B.-1 C.0 D.1

10.已知 A(a,2), B(1, b) 为平面直角坐标系中第一象限的两点,C (4,?1) ,O 为坐标原点,若 OA 与OB 在 OC 方向上的投影相同,则 2 A. 3 B.3

a ? b 的最大值为(
C. 2 3 D.6



11.已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA? OB ? 6 (其中 O 为坐标 原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是( A. 3 B. )

3 13 2

C.

17 2 8

D. 10

12.已知函数 的是( A. k

f ( x) ? x 3 ? kx(k ? R) ,若关于 x 的方程 f ( x) ? ln x ? 2ex2 有唯一解,则下列说法中正确

) B.函数

1 ? ?e e
f ( x) 在 ?0, e? 上单调递减

f ( x) 的图象在点( 0, f (0) )处的切线的斜率为 e 2 ?
D.函数

1 e

C.函数

f ( x) 在 ?0, e? 上的最大值为 2e 3 ? 1

二.填空题 13.某几何体是由大小相同的正方体木块堆成的,其正视图、侧视图均如右图 几何体最少 由_________块木块堆成. .. 所示,则此

14.若 (9 x ?

1 3 x

)n

(n ? N * ) 的展开式中第 3 项的二项式系数为 36,则其展开式中的常数项为__________

15.设 函 数

2 y ? f ( x) 在 其 图 象 上 任 意 一 点 ( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 为 y ? y0 ? (3x0 ? 6x0 )( x ? x0 ), 且

f (3) ? 0 ,则不等式

x ?1 为________ ? 0 的解集 .. f ( x)

16.设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 2, AB 边上的中线长为 2 ,且

b ? a cos C ? c sin A ,则 ?ABC 中最长的边的边长为_________
三.解答题

2

?1? 17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn ? ?an ? ? ? ?2?
(1)求证:数列 ?bn ?是等差数列 (2)设 cn ? log2

n ?1

? 2(n ? N * ) ,数列 ?bn ?满足 bn ? 2n an

? 2 ? 25 n * ,数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn ? ( n ? N ) 的 n 的最大值。 21 an c c ? n n?2 ?

18.(本小题满分 12 分)某数学兴趣小组有男生 30 人,女生 20 人,给所有同学几何题和代数题各一题,让各 位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位:人)

(Ⅰ)根据以上数据计算并判断,能否有 97.5%的把握认为“爱好几何”与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间 在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记 A,B 两女生中被抽 到的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X )

附表及公式:

P( K 2 ? k )

0 .15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AD ? AB , AB // DC ,

AD = DC = AP = 2 ,AB = 1 , 点 E 为棱 PC 的中点.
(Ⅰ)证明 BE ? DC ; (Ⅱ)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ? AC , 求二面角 F - AB - P 的余弦值.
3

20.(本小题满分 12 分)已知圆 E : ( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) , P 是圆 E 上任意一点,线段 PF 的 垂直平分线和半径 PE 相交于点 Q (1)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程 (2)过点 C ( ?2,0) 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,若 l1 , l2 分别与轨迹 ? 相交于点 A, B ,直线 AB与x 轴交于点

M ,过点 M 作直线 l 交轨迹 ? 于 G , H 两点,求 ?OGH 面积的最大值。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R) (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性 对数的底数)都成立,求实数 m 的取值范围。

(2)若存在 x0 ? ?0,1? ,使得对任意的 a ? ?? 2,0?,不等式 2mea (a ? 1) ? f ?x0 ? ? a 2 ? 2a ? 4 (其中 e 为自然

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB ,交圆于 A 、

B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC .

(1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

23. (本题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 : ?

? x ? b cos? ? x ? a ? a cos? ( ? 为参数,实数 a ? 0 ) ,曲线 C 2 : (? ? ? y ? b ? b sin ? ? y ? a sin ?
π )与 2

为参数,实数 b ? 0 ).在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l : ? ? ? ( ? ? 0, 0 ? ? ?

C 1 交于 O 、 A 两点,与 C 2 交于 O、B 两点.当 ? ? 0 时, | OA |? 1 ;当 ? ?
(1)求 a , b 的值;

π 时, | OB |? 2 . 2
4

(2)求 2 | OA | 2 ? | OA | ? | OB | 的最大值.

24. (本题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数

f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 1 的解集 A 满足 ? ?1,1? ? A .
9 1 1 1 ? ? ? m0 ,求证: a ? 2b ? 3c ? . 2 a 2b 3c

(1)求实数 m 的取值范围 B; (2)若 a, b, c ? ? 0, ?? ? , m0 为 B 中的最小元素且

5

大庆一中高三下学期第三次模拟考试 数学答案(理科) 一.选择题 DCCBD 二.填空题 5; 三.解答题 84; BCBDC BD

?? ?,0? ? ?0,1?? ?3,??? ;
n ?1

2 2或4

?1? 17. (1 ) ? S n ? ? an ? ? ? ?2? 1 ? a1 ? 2

? 2, 令n ? 1, 可得S1 ? -a1 ? 1 ? 2 ? a1

?1? 当n ? 2时,S n -1 ? -an ?1 ? ? ? ?2?
n ?1

n?2

?1? ? 2,? an ? S n ? S n -1 ? ? an ? an ?1 ? ? ? ?2?

n ?1

?1? ? 2an ? an ?1 ? ? ? , 即2 n an ? 2 n ?1 an ?1 ? 1 ?2? n ? bn ? 2 an ,即当n ? 2时,bn - bn-1 ? 1,又? b1 ? 2a1 ? 1 ? 数列?bn ?是以1为首项, 1为公差的等差数列 ? bn ? 1 ? (n ? 1 ) ? n ? 2 n an ? an ? n 2n
n 2 2 1 1 ? log2 2 n ? n,? ? ? ? , an cn cn ? 2 n(n ? 2) n n ? 2

(2) .cn ? log2

1 ? 1 1 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2 n ?1 n ? 2 ? 3? ? 2 4? ? 3 5? ?n n?2? 25 ? Tn ? ? 整理得: 13n 2 ? 45n ? 100 ? 0 21 20 (13n ? 20)(n ? 5) ? 0 ? ? ? n ? 5, 又 ? n ? N * ? nmax ? 4 13

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 18.(Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2

2

2

所以根据统计有 97.5% 的把握认为“爱好几何”与性别有关.) (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为 ? 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y

?5 ? x ? 7 (如图所示) ?6 ? y ? 8
y

1 ? 1? 1 1 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2 2? 2 8

即乙比甲先解答完的概率为

1 . 8
1 O 1 x

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有

6

C8 2 ? 28 种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都
被抽到有 C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ?
X 的分布列为:

15 12 3 1 , P ( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? 28 28 7 28

? E( X ) ? 0 ?

15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2 .

19.法一:

?1?? PA ? 平面ABCD, AD ? AB,?以AB, AD, AP分别为x, y, z轴正方向建立空间直角 坐标系
向 量

BE ? (0,1,1), DC ? (2,0,0),



BE ? DC ? 0

. 所 以

BE ? DC .

(2).向量

BC ? (1,2,0), CP ? (?2,?2,2), AC ? (2,2,0), AB ? (1,0,0). 由 点 F

在棱

PC

上,设

CF ? ? CP ,0 ? ? ? 1.
故 BF

? BC ? CF ? BC ? ? CP ? (1 ? 2? ,2 ? 2? ,2? ) .由 BF ? AC ,得 BF ? AC ? 0 ,因此,

2(1 ? 2? ) ? 2(2 ? 2? ) ? 0 ,解得 ? ?
即 BF

3 . 4

?n ? AB ? 0, 1 1 3 ? (? , , ). 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 FAB 的法向量,则 ? 1 2 2 2 ?n1 ? BF ? 0,

x?0 ? ? 1 1 3 即? .不妨令 z ? 1, 可得 n1 ? (0,?3,1) 为平面 FAB 的一个法向量.取平面 ABP 的 ? x ? y ? z?0 ? ? 2 2 2
法向量 n2 则 cos

? (0,1,0) ,
n1 ? n2 ?3 3 10 ? ?? . n1 ? n2 10 10 ? 1
7

n1 , n2 ?

易知,二面角 F

? AB ? P 是锐角,所以其余弦值为

3 10 . 10
点, 形

法二: (1)取 PD 中点 M,连接 EM,AM.由于 E,M 分别为 PC,PD 的中 故 EM//DC,且 EM=

1 DC,又由已知,可得 EM//AB 且 EM=AB,故四边 2

ABEM 为平行四边形,所以 BE//AM. 因为 PA ? 底面 ABCD, 故 PA ? CD, 而 CD ? DA, 从而 CD ? 平面 PAD, AM ? 平面 PAD,于是 CD ? AM,又 BE//AM,所以 BE ? CD. 因为

(2)如图,在三角形 PAC 中,过点 F 作 FH//PA,交 AC 与 H.因为 PA ? 底面 ABCD,故 FH ? 底面 ABCD,从而 FH ? AC. 又 BF ? AC, AC ? 平面 FHB,因此 AC ? BH. 在地面 ABCD 内,可得 CH=3HA,从 CF=3FP. 在平面 PDC 内,作 FG//DC 交 PD 于 G,于是 DG=3GP.由于 DC//AB, 故 GF//AB, 所以 A,B,F,G 四点共面. 由 AB ? PA,AB ? AD, AB ? 平面 PAD, 故 AB ? AG.所以 ? PAG 为二面角 F-AB-P 的平面角. 在 ? PAG 中,PA=2,PG= 得 而 得

1 2 0 PD= , ? APG= 45 ,由余弦定理可 4 2
.所以,二面角 F-AB-P 的余弦值为



AG=

10 3 10 , cos?PAG ? 2 10

3 10 10

19.

8

21.解: (1)

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 f ' ( x) ? ? 2 x ? 2a ? ( x ? 0), 记 g ( x) ? 2x 2 ? 2ax ? 1. x x
f ( x) 在(0,+ ? )上单调递增;

(i)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ( x) ? 1 ? 0 ,函数 (ii)当 0 ? a ? (iii)当 a ?

2 时,因为 ? ? 4(a 2 ? 2) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0,??) 上单调递增;

? x?0 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ,解得 x ? ( 2 时,由 ? , ), g ( x ) ? 0 2 2 ?

所以函数

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 f ( x) 在区间 ( , ) 上单调递减, 2 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ), ( ,??) 上单调递增. 2 2
9

在区间 (0,

(2)由(1)知当 a ? 所以当 x ?

?? 2,0? 时,函数 f ( x) 在区间 ?0,1? 上单调递增,
0

?0,1?时,函数 f ( x) 的最大值是 f (1) ? 2 ? 2a ,对任意的 a ? ?? 2,0? ,都存在 x ? ?0,1?,
a

使得不等式 2me

(a ? 1) ? f ( x0 ) ? a 2 ? 2a ? 4成立,

等价于对任意的 a ? 即对任意的 a ?

?? 2,0? ,不等式 2me
a

a

(a ? 1) ? f ( x0 ) max ? a 2 ? 2a ? 4 都成立.

?? 2,0? ,不等式 2me
a

(a ? 1) ? a 2 ? 4a ? 2 ? 0 都成立,

记 h(a) ? 2me

(a ? 1) ? a 2 ? 4a ? 2 ,由 h(0) ? 0 ? 2m ? 2 ? m ? 1,

h' (a) ? 2mea (a ? 1) ? 2mea ? 2a ? 4 ? 2(a ? 2)(mea ? 1) ,
由 h' (a) ? 0 得 a
2

? ?2 或 a ? ? ln m ,因为 a ? ?? 2,0? ,所以 2(a ? 2) ? 0 ,

①当1 ? m ? e 时, ? ln m ? (?2,0) ,且 a ? (?2,? ln m) 时, h' (a) ? 0 ,

a ? (? ln m,0) 时, h' (a) ? 0 ,所以 h(a) min ? h(? ln m) ? ln m ? (2 ? ln m) ? 0 ,
所以 a ?

?? 2,0? 时, h(a) ? 0 恒成立;
2

②当 m ? e 时, h' (a) ? 2(a ? 2)(e 此时 h(a ) 在 所以 a ?

a?2

? 1), 因为 a ? ?? 2,0? ,所以 h' (a) ? 0 ,
2 ?2

?? 2,0?上单调递增,且 h(?2) ? 2e e

(?1) ? 4 ? 8 ? 2 ? 0 ,

?? 2,0? 时, h(a) ? h(?2) ? 0 成立;
2

③当 m ? e 时, h(?2) ? ?2

m ? 2 ? 0, h(0) ? 2m ? 2 ? 0 , e2

所以存在 a0 ? (?2,0) 使得 h' (a0 ) ? 0 ,因此 h(a) ? 0 不恒成立. 综上, m 的取值范围是 (1, e
2

).

22.【解析】 (1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? ,又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , BN PN ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA .∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . (5 分) (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP ,∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. (10 分)
2 2 ∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴

23.
10

24.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用,意在考查代数变形能力. 【解析】 (1)因为 f ( x ? 2) ? m ? | x | ,所以 f ( x ? 2) ? 1 等价于 x ? m ?1 ,由 ? ?1,1? ? A 知 A 是非空集合,所 以 1 ? m ? x ? m ? 1 ,结合 ? ?1,1? ? A 可得 m ? 1 ? 1 ? m ? 2 ,即 实数 m 的取值范围是 ? 2, ?? ? (5 分) (2)由(1)知 m0 ? 2 ,所以

1 1 1 ? ? ?2 a 2b 3c
2

1 1 1 ? 9 1 ?1 1 1 ? ? ? 2b ? ? 3c ? ? ? ?? a? ∴ a ? 2b ? 3c ? ? a ? 2b ? 3c ? ? ? ? ? 2 . (10 分) 2 a 2b 3c ? ? a 2b 3c ? ?

11


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