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哈三中2013-2014学年度高三学年第三次验收考试数学试卷(理)


哈三中 2013-2014 学年度高三学年第三次验收考试数学试卷(理)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1. 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? (
2



A. (1, 2)

B. [1, 2)

C. (1, 2]

D. [1, 2]

2. 已知 a ? R ,若复数 z ? A. 13 B. 13

a ? 2i 为纯虚数,则 | 3 ? ai |? ( ) 1? i
C. 10 D. 10 )ks5u D. ? 3 )

3. 已知 ? ? ?0, ? ? , cos(? ? A.

3 3

2 ,则 tan 2? ? ( 3 2 3 3 B. ? 3 或 ? C. ? 3 3 )??

?

4. 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于( A.30 B.45 C.90 D.186

5. 已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 A. ? ? ?1 或 ? ? 1 C. ? ? ?

?

?

?
3

,则 a ? ? b 与 ? a ? b 互相垂直的充要条件是(

?

?

? ?



B. ? ? ?

1 1 或? ? 2 2

3 3 或? ? 2 2

D. ? 为任意实数 )

6. 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积等于 ( A.

160 3

B.160 D. 88 ? 8 2 )

C. 64 ? 32 2

7.下面几个命题中,假命题是(
a b

A.“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1”的否命题; B.“ ?a ? (0, ? ?) ,函数 y ? a x 在定义域内单调递增”的否定; C.“ ? 是函数 y ? sin x 的一个周期”或“ 2? 是函数 y ? sin 2 x 的一个周期” ; D.“ x 2 ? y 2 ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的必要条件. 8.下列函数中在区间 (1,??) 上为增函数,且其图像为轴对称图形的是( A. y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 B. y ? cos x C. y ? lg | x ? 1 | )

D. y ? x 3 ? 3x 2 ? 3x

9. 如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知 ?A?ED 是△ ADE 绕 DE 旋转过程 中的一个图形,下列命题中,错误的是( ) A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有平面 A?GF ⊥平面 BCDE C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直 10. △ABC 中,角 A B,C 的对边为 a,b,c ,向量 m ? ( 3, 1),n ? (cos A, A) , ? sin , 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A,B 的大小分别为( A. )

π π 2π π π π π π B. C. , D. , , , 3 6 6 3 3 3 3 6 1 n? 11.设 a n ? sin , S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,在 S1 , S 2 , ?, S1 0 中,正数的个数是( 0 n 25
A.25 12.函数 f ( x) ? ? 1 B.50 C.75 D.100



? 1 ? x ? 1 , x ? ?0,2? ? ,则下列说法中正确命题的个数是( ) f ( x ? 2), x ? ?2,?? ? ?2 ?

① 函数 y ? f ( x) ? l n x ? 1) 有 3 个零点; (

k 3 恒成立,则实数 k 的取值范围是 [ , ? ?) ; x 2 ③ 函数 f (x) 的极大值中一定存在最小值;
② 若 x ? 0 时,函数 f ( x) ? ④ f ( x) ? 2 k f ( x ? 2k ) , (k ? N) ,对于一切 x ?[0, ? ?) 恒成立. A.1 B.2 C.3 D.4

第 II 卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13 . 等 比 数 列 ?a n ? 满 足 a1 , a5 是 方 程 x ? 82 x ? 81 ? 0 的 两 个 根 , 且 a1 ? a5 , 则 a3 ?
2

__________________.

? y ? x?7 ? 14. 不等式组 ? y ? ? x ? 11 表示的平面区域为 D , 若对数函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 上存在区域 D 上 ? y ? ?2 x ? 14 ?
的点,则实数 a 的取值范围是__________. 15.已知 ?ABC 的外接圆圆心为 O , AB ? 2 , AC ? 3 ,则 AO ? BC =_______________. 16. 空间中一点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC ,两两所成的角为 60? ,在射线 PA, PB, PC 上分别取点

M , N , Q ,使 PM ? 1, PN ? 2, PQ ? 3 ,则三棱锥 P ? MNQ 的外接球表面积是______________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17. (本小题满分 10 分)ks5u 函 数 f ? x? ? a ?b ?

? ?

? ? 3 , a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (cos ? x, ? cos ? x) , 其 中 ? ? 0 , 点 2

? x1 , 0 ? , ? x2 , 0 ? 是函数 f ? x ? 图像上相邻的两个对称中心,且 x1 ? x2
(1)求函数 f ? x ? 的表达式;

?

?
2

(2)若函数 f ? x ? 图像向右平移 m ? m ? 0 ? 个单位后所对应的函数图像是偶函数图像, 求 m 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 M 位于 y 轴的右侧,且与直线 x ? y ? 0 相切. (1)求圆 M 的方程; (2)若圆 M 与曲线 C : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同交点,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 是菱形,其对角线 AC ? 4, BD ? 2 ,直线 AE , CF 都 与平面 ABCD 垂直, AE ? 1, CF ? 4 . (1)求证:平面 EBD ? 平面 FBD ; (2)求直线 AB 与平面 EAD 所成角的正弦值; (3)求四棱锥 E ? ABCD 与四棱锥 F ? ABCD E 公共部分的体积. D A C B

F

20. (本小题满分 12 分) 数列 ?a n ?的前 n 和为 S n ,且满足 an ? Sn ? 1 n ? N ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ?n ? 理由; (3)设 bn ?

?

?

? ?

3? ? ? 为等差数列,若存在,求出 ? 的值,若不存在,说明 2n ?

2

n ?1

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . (an ? 1)( an?1 ? 1)

21. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? BC , 且 AB ? BC ? 2 ,点 N 为 B1C1 的中点,点 P 在棱 A1C1 的运动 (1)试问点 P 在何处时, AB ∥平面 PNC ,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下,且 AA ? AB ,直线 B1C 与平面 BCP 的成角的正弦值为 1 求二面角 A ? BP ? C 的大小.

10 , 10

B1

N

C1

P
A1

B A
22. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? m( x ? 2 x) (m ? R)
2

C

(1)若 m ? ?1 时,求证: f (x) 在定义域内单调递减; (2)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

理科 CBCCA 13----16 题 17 题 18 题

C D CD A 9

DB

?0,1? ? ?1,3?
?
6 ) 1 ? 12

5 10? 2

cos( ? 2x

(1)( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ? 14 ? ? 14 ? ? (2)? ? ,0 ? ? ? 0, ? ? ? 7 7 ? ? ? ? ?
19 题

4 5 16 (3) 15 (2)
20 题

1 2n 1 、ks5u (2) 3 1 1 (3) ? n ?1 3 2 ?1 (1)
21 题

(1) 中点 ( 2) 120 ?
22 题
(2) m ? ? 1 2

讨论 m ? 0 ,显然 f ( x) ? 0 (舍)

f ?( x) ? ln( x ? 1) ? (1 ? 2m) ? 2mx

1 m ? ? , f ?( x) ? ln( x ? 1) ? (1 ? 2m) ? 2mx ? x ? (1 ? 2m) ? 2mx ? ( x ? 1)(2m ? 1) 2
f ?( x) ? 0, f ( x) ? f (0) ? 0 ,符合题意

?

1 ? 1 ? 2m ? ? 1 ? 2m ? ? m ? 0 ,令 T ( x) ? f ?( x) ,对 T (x) 求导知, f (x) 在 ? 0, ? 单调递增,存在 x0 ? ? 0, ?, 2 ? ? 2m ? ? ? 2m ?

f ( x0 ) ? f (0) ? 0 (舍)


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