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上海市延安中学2009学年高三第一学期质量监控考试数学试卷(理)


上海市延安中学 2009 年度第一学期质量监控考试 高三年级数学试卷(理科) 高三年级数学试卷(理科)
填空题( 只要求直接填写结果, 一、 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 否则一律得零分. 分,否则一律得零分. 1.若点 A( x, y ) 是 300° 角终边上异于原点的一点, 则 2.不等式 arccos

( x ? 1) >

13.已知 y = f ( x ) 是偶函数,当 x > 0 时, f ( x ) = x + 成立,则 n ? m 的最大值是 .

4 ,且当 x ∈ [ ?3, ?1] 时,n ≤ f ( x ) ≤ m 恒 x

14 . 对 于 在 区 间 [ a , b] 上 有 意 义 的 两 个 函 数 f ( x ) 和 g ( x ) , 如 果 对 任 意 x ∈ [ a , b] , 均 有

| f ( x ) ? g ( x ) | ≤ 1 , 那么我们称 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b] 上是接近的. f ( x ) = log 2 (cx + 1) 与 若 g ( x ) = log 2 x 在闭区间 [1 , 2] 上是接近的,则 c 的取值范围是


π
3

y 的值为 x



的解是

. .

3. 已知集合 M = { y | y = 2 x , x ∈ R} ,N = { y | y = ? x 2 + 2 x + 2, x ∈ R} , M ∩ N = 则

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论, 选择题( 选择题 、 、 、 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的, 其中有且只有一个结论是正确的, 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 选对得 4 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) 一律得零分. ,一律得零分 不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) 一律得零分. , 15.已知 x 为实数,则“

4.若等差数列 {an } 中,公差 d = 2 ,且 a1 + a2 + ? + a100 = 200 ,则 a5 + a10 + a15 + ? + a100 的值 . 是 5.已知在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C = 3 : 2 : 4 ,则角 C 的值为 .

1 < 1 ”是“ x > 1 ”的 x





则函数 g ( x ) 6. 已知函数 y = g ( x ) 的图像与函数 f ( x) = ( x ? 1) 2 ( x ≤ 0) 的图像关于直线 y = x 对称, 的解析式为 g ( x ) = 7.已知 cot α = . .

1 2 , tan(α ? β ) = ? ,则 tan( β ? 2α ) = 2 3

8.经测试,甲、乙两台机器分别运行一个小时出现故障的概率为 0.15 和 0.1 ,则在生产流水线上 同时运行这两台机器,一小时内不出现故障的概率为 . 9.函数 y =

log 0.5 (?2 x + x 2 ) 的单调递减区间是
n


2

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16.甲、乙两人射击,每人每射四次记录一次成绩,共记录了两人各自 6 次这样的成绩,成绩如 下(单位:环) 甲: 37 , 38 , 30 , 27 , 35 , 31 ; 乙: 36 , 29 , 38 , 34 , 28 , 33 ; 根据数据,分析下列说法中正确的是 ( ) (A)甲比乙的平均水平高 (B)乙比甲的平均水平高 (C)甲、乙两人平均水平相当,但甲比乙稳定 (D)甲、乙两人平均水平相当,但乙比甲稳定 17.设方程 2
?x

10.在二项式 (1 + x) ( n > 1, n ∈ Ν ) 的展开式中,含 x 项的系数记为 an ,则
*

= lg x 的两个根为 x1 , x 2 ,则
(B) x1 x 2 = 1 (C) 0 < x1 x 2 < 1

( (D) x1 x 2 > 1



(A) x1 x 2 < 0

1 1 1 lim( + + ? + ) 的值为 n →∞ a a3 an 2



18.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn =

S1 + S 2 + ? + S n ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,……, an 的 n

π π 11 . 已 知 函 数 f ( x ) = 2 sin ω x (ω > 0) 在 区 间 ? ? , ? 上 的 最 小 值 是 ?2 , 则 ω 的 取 值 范 围 ? 3 4? ? ? 是 .
12.在等比数列 {an } 中, a1 = sec θ ( θ 为锐角),且前 n 项和 Sn 满足 lim S n =
n →∞

……,a401 的 “理想数” 2010 , 为 那么数列 6 ,a1 ,a2 , ……, “理想数” 已知数列 a1 ,a2 , ,

a401 的“理想数”为
(A) 2016 (B) 2011 (C) 2010 (D) 2009





1 ,那么 θ 的取值范 a1

围是

. 高三 数学 第 1 页(共 8 页) 高三 数学 第 2 页(共 8 页)

三、解答题(共 78 分) 解答题( 19. 本题满分 12 分)求函数 y = 2 cos( x + (本题满分

23. 本题满分 18 分,其中第 1 小题 3 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 8 分) (本题满分 其中第

π
4

) cos( x ? ) + 3 sin 2 x 的值域和最小正周期. 4

π

给出函数封闭的定义:若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0 ,都有函数值 f ( x 0 ) ∈ D , 称函数 y = f ( x) 在 D 上封闭.

20. 本题满分 14 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (本题满分 其中第 某学校举办一场以“为希望工程献爱心”为主题的图书义卖活动,同学甲随机地从 10 本书中 买两本,假设每本书被甲同学买走的概率相同,已知这 10 本书中有 3 本单价定为 10 元,4 本单 价定为 15 元,3 本单价定为 20 元,记甲同学买这两本书所付金额为 ξ (元) .求: (1)随机变量 ξ 的分布列; (2)随机变量 ξ 的期望 Eξ 和方差 Dξ .

(1)若定义域 D1 = ( 0 , 1 ) ,判断函数 g ( x ) = 2 x ? 1 是否在 D1 上封闭,并说明理由; (2)若定义域 D2 = (1 , 5 ] ,是否存在实数 a ,使得函数 f ( x) = 求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (3)利用(2)中函数,构造一个数列 {xn } ,方法如下:对于给定的定义域 D2 = (1,5] 中的 x1 , 令 x2 = f ( x1 ) , x3 = f ( x2 ) , … , xn = f ( xn ?1 ) , … 在 上 述 构 造 数 列 的 过 程 中 , 如 果

5x ? a 在 D2 上封闭?若存在, x+2

xi (i = 1, 2, 3, 4?) 在定义域中,构造数列的过程将继续下去;如果 xi 不在定义域中,则构造
21. 本题满分 16 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 10 分) (本题满分 其中第 数列的过程停止. ①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列 {xn } ,求实数 a 的取值范围. ②如果取定义域中任一值作为 x1 ,都可以用上述方法构造出一个无穷数列 {xn } ,求实数 a 的取值 范围.

a 2 b2 ( a + b ) a b (1)已知 a , b , x , y 是正实数,求证: + ≥ ,当且仅当 = 时等号成立; x y x+ y x y
2

1 9 (2)求函数 f ( x ) = + 的最小值,并指出取最小值时 x 的值. 2 3 ? tan x 8 + sec 2 x

22. 本题满分 18 分. 其中第 1 小题 3 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 9 分) ( 已知函数 f ( x ) = x ( x ? ) 的定义域为 (n, n + 1) ( n ∈ Ν ) f ( x ) 的函数值中所有整数的个 ,
*

1 2

数记为 g ( n) . (1)求出 g (3) 的值; (2)求 g ( n) 的表达式; (3)若对于任意的 n ∈ Ν ,不等式 (Cn + Cn + ? Cn )l ≥ g ( n) ? 25 (其中 Cn , i = 1, 2,3,? , n 为
*

0

1

n

i

组合数)都成立,求实数 l 的最小值.

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2009 年度第一学期质量监控考试(理)参考答案 年度第一学期质量监控考试(
1. ? 3 4. 120 7. ? 2. [0, ) 5. π ? arccos 8. 0.765

Dξ = (20 ? 30) 2 ×

3 2

3. (0, 3]

1 4 1 4 + (25 ? 30) 2 × + (30 ? 30) 2 × + (35 ? 30) 2 × 15 15 3 15 1 80 + (40 ? 30) 2 × = …… 14 分 15 3
2 2 2

1 4

6. 1 ?

x ( x ≥ 1)

4 7

9. (2,1 + 2] (或 (2,1 + 2) ) 12. (0,

( ya ? xb ) a 2 b2 ( a + b ) a 2 b2 ( a + b ) ? = ≥ 21. (1) 解: 因为 + , 所以 + , 当且仅当 ya ? xb = 0 , x y x+ y xy ( x + y ) x y x+ y


10. 2 13. ?1 15.B

3 11. ω ≥ 2
14. [0,1] 16.D 17.C

π
4

)

a b = 时等号成立; x y
2

…… 6 分

18.B

(1 + 3) 1 9 12 32 4 (2)因为 + = + ≥ = ,…… 11 分 2 2 2 2 2 2 3 ? tan x 8 + sec x 3 ? tan x 8 + sec x 3 ? tan x + 8 + sec x 3
1 3 1 9 2 = ,即 tan x = 0 时等号成立,所以函数 f ( x ) = + 2 2 2 3 ? tan x 8 + sec x 3 ? tan x 8 + sec 2 x 4 的最小值等于 ,此时 x = kπ , k ∈ Z . …… 16 分 3
当 22.解: (1)因为 n = 3 时函数 f ( x ) 的值域为 ( (2)设 f ( x ) 的值域为 A . 因为 f ( n) = n( n ? ) = n ?
2

19.解:因为 y = 2 cos( x +

π

= 2 sin(2 x + ) 6
所以函数 y = 2 cos( x + 最小正周期为 π .

π

) cos( x ? ) + 3 sin 2 x = cos 2 x + cos + 3 sin 2 x …… 3 分 4 4 2
…… 6 分

π

π

π

) cos( x ? ) + 3 sin 2 x 的值域为 [?2, 2] , 4 4

π

…… 9 分 …… 12 分

15 ,14) ,所以 g (3) = 6 . 2

…… 3 分

20.解: (1) ξ 的所有可能值为 20 , 25 , 30 , 35 , 40 .

P (ξ = 20) =

C32 C 1C 1 4 1 C 2 C1C1 5 1 = , P (ξ = 25) = 3 2 4 = , P (ξ = 30) = 4 + 3 2 3 = = 2 2 C10 15 C10 15 C10 C10 15 3
…… 5 分

1 2

1 1 3 1 n , f (n + 1) = (n + 1) 2 ? (n + 1) = n 2 + n + 2 2 2 2
2

1 ° 当 n = 2k ( k ∈ N* ) 时, f ( n) = f (2k ) = 4k 2 ? k , f ( n + 1) = f (2k + 1) = 4k + 3k +

1 .因为 2

1 1 C4C3 4 C32 1 P (ξ = 35) = 2 = , P (ξ = 40) = 2 = 15 C10 C10 15

f (n) 、 f (n + 1) ? A ,则此时 A 中的最小正整数是 4k 2 ? k + 1 ,最大正整数是 4k 2 + 3k ,
所以 g ( n) = (4k 2 + 3k ) ? (4k 2 ? k + 1) + 1 = 4k = 2n . 2 ° 当 n = 2k ? 1 ( k ∈ N ) 时, f ( n) = f (2k ? 1) = (2k ? 1) ?
* 2

∴随机变化 ξ 的概率分布为

…… 6 分

ξ
P

20

25

30

35

40

1 3 (2k ? 1) = 4k 2 ? 5k + , 2 2

1 15

4 15

1 3

4 15

1 15
…… 6 分 …… 10 分

f (n + 1) = f (2k ) = 4k 2 + 3k +
2

1 = 4k 2 ? k ,因为 f (n) 、 f (n + 1) ? A ,则此时 A 中的最小正整 2
2

数是 4k ? 5k + 2 ,最大正整数是 4k ? k ? 1 , 所以 g ( n) = (4k 2 ? k ? 1) ? (4k 2 ? 5k + 2) + 1 = 2(2k ? 1) = 2n . 综合 1 ° 、2 ° 可得: g (n) = 2n (n ∈ N* ) . …… 9 分

1 4 1 1 (2) Eξ = 20 × + 25 × + 30 × + 40 × = 30 15 15 3 15

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(3)不等式 (Cn + Cn + ? Cn )l ≥ g ( n) ? 25 可化为 l ≥ (2n ? 25)( ) .
0 1 n

1 2

n

…… 12 分

设 an = (2n ? 25)( ) (n ∈ N ) ,由于
n

1 2

*

1 1 1 1 an +1 ? an = (2n ? 23)( ) n +1 ? (2n ? 25)( ) n = ( ) n +1 (2n ? 23 ? 4n + 50) = ( ) n +1 (?2n + 27) 2 2 2 2
所以当 n ≤ 13 时, an +1 > an ,当 n ≥ 14 时, an +1 < an . 可得当 n = 14 时 (2n ? 25)( ) 取得最大值为
n

…… 15 分

1 2

3 3 ,所以 l 的最小值为 .…… 18 分 16384 16384
…… 3 分

23.解: (1)因为 g ( ) = 0 ? ( 0 , 1) ,所以 g ( x ) 在 D1 上不封闭. (2) f ( x ) =

5x ? a 10 + a = 5? x+2 x+2
…… 5 分 …… 7 分

1 2

1 ° 当 10 + a = 0 时,在 (1 , 5] 上 f ( x ) = 5 ,此时 f ( x ) 在 D2 上封闭. 2 ° 当 10 + a < 0 时,在 (1 , 5] 上 f ( x ) > 5 ,此时 f ( x ) 在 D2 上不封闭.

3 ° 当 10 + a > 0 时, f ( x ) 在 (1 , 5] 上单调递增.要使 f ( x ) 在 (1 , 5] 上封闭,必有 ?

? f (1) ≥ 1 ? f (5) ≤ 5

? a ∈ (?10, 2] .
所以,当 a ∈ [ ?10, 2] 时, f ( x ) 在 (1 , 5] 上封闭. (3)○若构造的数列 {xn } 为常数列,只需 x ∈ (1,5] 时, f ( x ) = x 有解, 1

…… 9 分 …… 10 分 …… 13 分

5x ? a 3 9 = x 有解,即 a = ? x 2 + 3 x = ?( x ? ) 2 + 在 x ∈ (1,5] 时有解. x+2 2 4 9 9 2 因为 x ∈ (1,5] 时, ? x + 3 x ∈ [ ?10, ] ,所以 a ∈ [ ?10, ] 4 4


…… 15 分

2 ○若构造的数列 {xn } 为无穷数列,则需要 f ( x) 在区间 (1,5] 上封闭,即 a ∈ [?10, 2] . …… 18 分

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