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2.2.2直接证明与间接证明3


反证法

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王戎七岁的时候,曾和小朋友一起玩 耍,看见路边上李树结满了李子,把树枝 都压弯了。很多小朋友都争着跑过去摘李 子,只有王戎没有动。别人问他为什么, 他说:“树长在路边却有很多李子,那一 定是苦的。”摘下来一尝,才相信的确是 这样的。这就是著名的“道旁李苦”的故 事。请问:王戎是如何断定李子是苦的呢?

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反证法:

假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。

反证法的思维方法:
正难则反

例1用反证法证明:

如果a>b>0,那么 a > b

证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b
若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾,

故假设不成立,结论 a > b成立。

反思1:
用反证法证题的一般步骤是什么?
(1)假设命题的结论不成立;即假设结论的反面成立 。

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 。

练一练: 已知a≠0,证明x的方程ax=b有 且只有一个根。
证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,

不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0
∴a = 0

∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0
与已知a ≠ 0矛盾,

故假设不成立,结论成立。

例2 求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,

∴ m = 2n
2

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n

∴ m = 2n
2 2

2

2

∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4k = 2n ,即n = 2k ∴n2也是偶数, 这与m,n互质矛盾!

2

假设不成立,故

2 是无理数。

练一练:

反思2:
1、用反证法证明时,导出矛盾有那几种可能?
(1)与原命题的条件矛盾; (2)与定义、公理、定理等矛盾; (3)与结论的反面成立矛盾。

2、你认为反证法的使用情形有那些?
(1)难于直接使用已知条件导出结论的命题; (2)唯一性命题; (3)“至多”或“至少”性命题; (4)否定性或肯定性命题。

说明:常用的正面叙述词语及其否定:
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于(>) 小于 (<) 是 都是

不等于 至多有 一个 至少有 两个

小于或 大于或 等于(≤) 等于(≥) 不是
至少有 一个 一个也 没有 任意的 所有的

不都是 至多有n 个 任意 两个

否定

某个

某些

至少有n 某两个 +1个

思考:


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