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周测解三角形


高二数学周测(解三角形单元测试)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在△ABC 中,三个内角∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c, 且 a∶b∶c=1∶ A.
3 ∶2∶1 3 ∶2,则

sin A∶sin B∶sin C=( C.1∶2∶
3

). D.1∶
3 ∶2 3 ∶2.

B.2∶

3 ∶1

解析:由正弦定理可得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶ 2. 在△ABC 中, a=2 A.30° 或 150° C 解析:由 a = b sin A sin B 而 b<a, ∴ 有两解,即∠A=60° 或∠A=120° . 3.
在 △ ABC 中,角 C 为最大角,且 a ? b ? c ? 0 ,则 △ ABC 是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 4.在△ABC 中,a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( )
2 2 2

b=2 2 , ∠B=45° , 则∠A 3, C.60° 或 120°

为(

).

B.60°

D.30°

,得 sin

2 2 3? a sin B 2 A= = b 2 2



3 2





A.2 5 C.2 5或 5

B. 5 D.以上都不对

bsin A 3 解析: 由于 sin B= = ,故 B=60° 或 120° . a 2 当 B=60° 时,C=90° 时,c=30° .c= a2+b2=2 5; 当 B=120° 时,C=30° ,c=a= 5. 答案: C 5.已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2x2+3x-2=0 的根,则第 三边长是( A. 20 C. 22 ) B. 21 D. 61

解析: 设长为 4,5 的两边的夹角为 θ, 1 由 2x2+3x-2=0 得:x= 或 x=-2(舍). 2 1 ∴cos θ= , 2 ∴第三边长为 答案: B 6.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( A.a=1,b=2,c=3 C.a=1,b=2,A=100° ) 1 42+52-2×4×5× = 21. 2

B.a=1,b= 2,A=30° D.b=c=1,B=45°

解析: A:a+b=3=c,不能构成三角形; B:bsin A<a<b,故有两解. C:a<b,故 A 应为锐角,而已知 A=100° ,故不能构成三角形. D:b=c=1,故△ABC 为等腰三角形, ∴C=B=45° ,∴A=90° ,故只有一解. 答案: D 7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+b2=c2+ab,则 C=( A.60° C.45° 解析: 由余弦定理得 a2+b2-c2 ab 1 cos C= = = 2ab 2ab 2 又∵C∈(0° ,180° ) ∴C=60° . 答案: A 8.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积 S△ABC= A. 3 C. 7 1 解析: 由 S= AB×AC×sin A 得 AC=1 2 由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos A =22+12-2×2×1×cos 60° =3 ∴BC= 3,故选 A. 答案: A B .3 D.7 3 ,则边 BC 的长为( 2 ) B.120° D.30° )

10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发,沿北偏东 60° 方向航 行,进行海面巡逻,当行驶半小时到达 B 处时,发现北偏西 45° 方向有一艘船 C,若 C 船位 于 A 处北偏东 30° 方向上,则缉私艇 B 与船 C 的距离是( A.5( 6+ 2)km C.10( 6+ 2)km )

B.5( 6- 2)km D.10( 6- 2)km

解析: 如图,由题意得∠BAC=30° ,∠ACB=75° , ∴ AB BC = , sin 75° sin 30°

∴BC=

10 =10( 6- 2)km. sin 75°

答案: D

在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 .在△ABC 中,已知 sin Bsin C=cos2 等腰.

三角形 ?
王新敞
奎屯 新疆

A ,则此三角形是__________三角形. 2

解析:由已知得 2sin Bsin C=1+cos A=1-cos(B+C), 即 2sin Bsin C=1-(cos Bcos C-sin Bsin C), ∴ cos(B-C)=1,得∠B=∠C, ∴ 此三角形是等腰三角形 已知锐角三角形三边长分别为 3,4,a,则 a 的取值范围为________. 解析: 由锐角三角形及余弦定理知: a >7 3 +a -4 >0 ? ? ? 2 2 2 ? 2 ?3 +4 -a >0 ??a <25? 7<a<5. ? ? ?a>0 ?a>0 1 12.在△ABC 中,若 S△ABC= (a2+b2-c2),那么角 C=___________________________. 4
2 2 2 2

解析: 根据三角形面积公式得, 1 1 S= absin C= (a2+b2-c2) 2 4 a2+b2-c2 ∴sin C= . 2ab a2+b2-c2 又由余弦定理:cos C= , 2ab π ∴sin C=cos C,∴C= . 4 答案: π 4

△ABC 中,a+b=10,而 cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根,求△ABC 周长的最小 值 . 14.10+5 3 . 解析:由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C,然后运用函数思想加以处理. ∵ 2x2-3x-2=0, ∴ x1=2,x2=-

1 . 2

又 cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根, ∴ cos C=-

1 . 2 1 )=(a+b)2-ab, 2

由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab·(- 则 c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75,

当 a=5 时,c 最小,且 c= 75 =5 3 , 此时 a+b+c=5+5+5 3 =10+5 3 , ∴ △ABC 周长的最小值为 10+5 3 . 14.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60° 方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船向正 北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的 3倍,则甲船应沿________方向前进才能尽快追 上乙船,追上时乙船已行驶了________海里. 解析: 如图所示,设两船在 C 处相遇,并设∠CAB=θ,由题 BC· sin 120° 1 意及正弦定理,得 sin θ= = , AC 2

AB· sin θ a· sin 30° ∴θ=30° .从而 BC= = =a. sin∠ACB sin?180° -120° -30° ? 即甲船应沿北偏东 30° 方向前进才能尽快追上乙船,追上时,乙船已行驶了 a 海里. 答案: 北偏东 30° a 在△ABC 中,A,B,C 是三个内角,C=30° ,则 sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C 的值是 ________. 1 解析: sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C= 2(a2+b2-2abcos C) 4R = c2 1 =sin2C= . 4R2 4 1 4

答案:

已知 A(-2,1),B(3,-2),C(2,5),则三角形 ABC 的面积=__________________ 在△ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 600 (1)求 BC 的长 (2)求 sin 2C 的值

在△ABC 中,已知 c= 3,b=1,B=30° . (1)求角 A; (2)求△ABC 的面积. 解析: (1)由 b c = 得 sin B sin C

c 3 sin C= sin B= 3×sin 30° = . b 2 ∵c>b,∴C>B,∴C=60° 或 C=120° . ∴A=90° 或 A=30° . 1 (2)S△ABC= bcsin A 2 1 3 = ×1× 3sin 90° = . 2 2 1 1 3 或 S△ABC= bcsin A= ×1× 3×sin 30° = . 2 2 4 即△ABC 的面积为 3 3 或 . 2 4
0

已知 ?ABC中,AB ? 4 3, AC ? 2 3, AD为BC 边上的中线, ?BAD ? 30 ,求 BC 的长 )在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a=2csin A. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2

解析: (1)由 3a=2csin A 及正弦定理得, a 2sin A sin A = = . c sin C 3 ∵sin A≠0,∴sin C= 3 . 2

π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3 π (2)∵c= 7,C= ,由面积公式得 3 1 π 3 3 absin = ,即 ab=6.① 2 3 2 π 由余弦定理得 a2+b2-2abcos =7, 3 即 a2+b2-ab=7, ∴(a+b)2=7+3ab.② 由①②得(a+b)2=25,故 a+b=5.

在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 bcos C=(2a-c)cos B, (Ⅰ)求∠B 的大小; (Ⅱ)若 b= 7 ,a+c=4,求△ABC 的面积. 19.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理可得 sin Bcos C=2sin Acos B-cos Bsin C, ∴ 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C). 又在三角形 ABC 中,sin(B+C)=sin A≠0, ∴ 2sin Acos B=sin A,即 cos B=

1 π ,B= . 2 3 1 acsin B, 2

(Ⅱ)∵ b2=7=a2+c2-2accos B,∴ 7=a2+c2-ac, 又 (a+c)2=16=a2+c2+2ac,∴ ac=3,∴ S△ABC=

即 S△ABC=

1 3 3 3 ·3· = 2 2 4

如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长.

19、 8 2

设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A, 且B为钝角 (1)证明: B ? A ?
?
2

(2)求 sin A ? sin C 的取值范围


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