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广东省广州市2008年高三教学质量抽测数学试题(文科)


秘密★ 秘密★启用前

广东省广州市 2008 年高三教学质量抽测 数学试题(文科) 数学试题(文科)
2008.1

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答选择题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科目填写在答题 卡上,并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式: 参考公式: 锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) .

小题, 在每小题给出的四个选项中,只有一项 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 合题目要求的. 合题目要求的. 1.集合 M = {2, 4, 6} 的真子集的个数为 A.6
2

B.7

C.8

D.9

2.不等式 x ? 3 x + 2 < 0 的解集是 A. x x < ?2或x > ?1 C. x ?2 < x < ?1

{

}

B. x x < 1或x > 2 D. x 1 < x < 2

{

}

{

}
B. ( 0, π )

{

}
D. (π , 2π )

3.函数 y = cos x 的一个单调递增区间为 A. ? ?

? π π? , ? ? 2 2?

C. ?

? π 3π ? , ? ?2 2 ?
-1-

4.已知等比数列 {an } 的前三项依次为 a ? 1 , a + 1 , a + 4 ,则 an = A. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n

B. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n

C. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n?1

D. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n?1

5.抛物线 y 2 = 4 x 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 的横坐标 x = A.1 B.2 C.3 D.4

6.设复数 z 满足 iz = 2 ? i ,则 z = A. ?1 ? 2i B. ?1 + 2i C. 1 ? 2i D. 1 + 2i

7.已知向量 a = (1,1) , b = ( 2, n ) ,若 a + b = a b ,则 n = A. ?3 C.1 B. ?1 D.3

8.如图 1 所示,是关于闰年的流程,则以下年份是 闰年的为 A.1996 年 B.1998 年 C.2010 年 D.2100 年 9.已知 α , β 是平面, m , n 是直线,给出下列命题 ①若 m ⊥ α , m ? β ,则 α ⊥ β . ②若 m ? α , n ? α , m

β ,n

β ,则 α

β.

③如果 m ? α , n ? α , m 、n 是异面直线,那么 n与α 相交. ④若 α I β = m , n ∥ m ,且 n ? α , n ? β ,则 n ∥ α 且 n ∥ β . 其中正确命题的个数是 A.4 10.函数 f ( x ) = B.3 C.2 D.1

log 2 x ? 1 ,若 f ( x1 ) + f ( 2 x2 ) = 1 (其中 x1 、 x2 均大于2),则 f ( x1 x2 ) 的最小值为 log 2 x + 1
B.

A.

3 5

2 3

C.

4 5

D.

5? 5 4

只能选 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 是选做题,考生只能选做一题, 填空题:本大题共 小题, ~ 是选做题,考生只能 做一题 两题全答 两题全答的,只计算前一题得分. 只计算前一题得分. 11.某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已知女
-2-

生抽了 95 人,则该校的女生人数应是

人. . y

x2 y 2 12.已知双曲线 ? = 1 的离心率为 2,则实数 m = 4 m

y = ?x + 8
P

13.如图 2 所示,函数 y = f (x ) 的图象在点 P 处的切线方程是

y = ? x + 8 ,则 f ( 5 ) =

, f ′ ( 5) =

. O 图2 5

x

14 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 点 (1, 0 ) 到 直 线

D

ρ ( cos θ + sin θ ) = 2 的距离为



15.(几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题)如图 3 所示, AB 与 CD 是 几何证明选讲选做题

O 的直径,

A

F O E C 图3

B P

AB ⊥ CD ,P 是 AB 延长线上一点, PC 交 O 于点 E , DE 交 连 连 AB 于点 F ,若 AB = 2 BP = 4 ,则 PF =


小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 已知射手甲射击一次,命中 9 环(含 9 环)以上的概率为 0.56,命中 8 环的概率为 0.22,命中 7 环 的概率为 0.12. (1)求甲射击一次,命中不足 8 环的概率; (2)求甲射击一次,至少命中 7 环的概率.

17.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a = 2 , c = 3 , cos B = (1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值.

1 . 4

18.(本小题满分 14 分) 如图 4 所示, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形,PD ⊥ 平面 ABCD ,PD = AB = 2 ,E ,

F ,G 分
别为 PC 、 PD 、 BC 的中点.
-3-

图4

(1)求证: PA

平面 EFG ;

(2)求三棱锥 P ? EFG 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 已知曲线 Γ 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2 (1)求曲线 Γ 的方程; (2)设过 ( 0, ?2 ) 的直线 l 与曲线 Γ 交于 C 、 D 两点,且 OC ? OD = 0 ( O 为坐标原点),求直线 l 的方程.

(

)

(

3, 0 的距离之和为 4.

)

uuur uuur

20.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ?

1 3 x + 2ax 2 ? 3a 2 x + 1, 0 < a < 1. 3

(1)求函数 f ( x ) 的极大值; (2)若 x ∈ [1 ? a,1 + a ] 时,恒有 ? a ≤ f ′( x ) ≤ a 成立(其中 f ′ ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数),试确 定实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 中, a1 = 2 , a2 = 3 ,其前 n 项和 Sn 满足

S n +1 + S n ?1 = 2 S n + 1 ( n ≥ 2 , n ∈ N* ).
(1)求数列 {a n } 的通项公式;

-4-

(2)设 bn = 4 + ( ?1)
n

n ?1

λ ? 2a (λ 为非零整数, n ∈ N* ),试确定 λ 的值,使得对任意 n ∈ N* ,
n

都有 bn +1 > bn 成立.

-5-

广东省广州市 2008 年高三教学质量抽测 数学试题(文科) 数学试题(文科) 参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 说明 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A 9 C 10 B

10.方法 1:由 f ( x1 ) + f ( 2 x2 ) = 1 ,得 . :

log 2 x1 ? 1 log 2 ( 2 x2 ) ? 1 + = 1, log 2 x1 + 1 log 2 ( 2 x2 ) + 1

即 log 2 x2 =

4 . log 2 x1 ? 1 4 ≥ 5, log 2 x1 ? 1

于是 log 2 ( x1 x2 ) = log 2 x1 + log 2 x2 = log 2 x1 +

所以 f ( x1 x2 ) =

log 2 ( x1 x2 ) + 1

log 2 ( x1 x2 ) ? 1

= 1?

2 2 ≥ . log 2 ( x1 x2 ) + 1 3 log 2 x1 ? 1 log 2 ( 2 x2 ) ? 1 + = 1, log 2 x1 + 1 log 2 ( 2 x2 ) + 1

方法 2:由 f ( x1 ) + f ( 2 x2 ) = 1 ,得 :

即 log 2 x2 =

4 . log 2 x1 ? 1

于是 log 2 ( x1 x2 ) = log 2 x1 + log 2 x2 = log 2 x1 + 则 f ( x1 x2 ) =

4 log 2 2 x1 ? log 2 x1 + 4 = , log 2 x1 ? 1 log 2 x1 ? 1

log 2 ( x1 x2 ) ? 1 t 2 ? 2t + 5 = (其中 t = log 2 x1 > 1 ),再利用导数的方法求解. log 2 ( x1 x2 ) + 1 t2 + 3

小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.
-6-

11.760

12.12

13.3;-1

14.

2 2

15.3

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共 小题, 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查互斥事件等基础知识,考查运算求解能力) 本小题主要考查互斥事件等基础知识,考查运算求解能力 本小题主要考查互斥事件等基础知识 解:记“甲射击一次,命中 7 环以下”为事件 A ,“甲射击一次,命中 7 环”为事件 B ,由于在一次射 击中, A 与 B 不可能同时发生,故 A 与 B 是互斥事件, (1)“甲射击一次,命中不足 8 环”的事件为 A + B , 由互斥事件的概率加法公式, P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0.12 + 0.1 = 0.22 . 答:甲射击一次,命中不足 8 环的概率是 0.22.…………………………………6 分 (2)方法 1:记“甲射击一次,命中 8 环”为事件 C ,“甲射击一次,命中 9 环(含 9 环)以上” 方法 : 为事件 D ,则“甲射击一次,至少命中 7 环”的事件为 A + C + D , ∴ P ( A + C + D ) = P ( A ) + P ( C ) + P ( D ) = 0.12 + 0.22 + 0.56 = 0.9 . 答:甲射击一次,至少命中 7 环的概率为 0.9.…………………………………12 分 方法 2:∵“甲射击一次,至少命中 7 环”为事件 A , : ∴ P ( A) = 1 ? P ( A) =1-0.1=0.9. 答:甲射击一次,至少命中 7 环的概率为 0.9.…………………………………12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识,考查运算求解能力) 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识,考查运算求解能力 本小题主要考查正弦定理 解:(1)由余弦定理, b = a + c ? 2ac cos B ,………………………………………2 分
2 2 2

得 b = 2 + 3 ? 2 × 2 × 3×
2 2 2

1 = 10 ,…………………………………………………4 分 4

∴ b = 10 .……………………………………………………………………………6 分
(2)方法 1:由余弦定理,得 cos C = 方法

a2 + b2 ? c 2 ,………………………………8 分 2ab 4 + 10 ? 9 10 = ,………………………10 分 8 2 × 2 × 10

=
∵ C 是 ?ABC 的内角, ∴ sin C = 1 ? cos C =
2

3 6 .………………………………………………………12 分 8
-7-

方法 2:∵ cos B =

1 ,且 B 是 ?ABC 的内角, 4

∴ sin B = 1 ? cos B =
2

15 .………………………………………………………8 分 4

根据正弦定理,

b c = ,……………………………………………………10 分 sin B sin C

得 sin C =

c sin B = b



15 4 = 3 6 . ……………………………………………12 分 8 10

18.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力 本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、 本小题主要考查空间中线面关系 象能力 和运算求解能力) 和运算求解能力 (1)证法 1:如图,取 AD 的中点 H ,连接 GH , FH , 证法 ∵ E , F 分别为 PC , PD 的中点,∴ EF ∵ G , H 分别为 BC , AD 的中点,∴ GH ∴ EF

CD . CD .
H

GH .

∴ E , F , H , G 四点共面.………………………………………………………………2 分 ∵ F , H 分别为 DP, DA 的中点,∴ PA ∵ PA ? 平面 EFG , FH ? 平面 EFG , ∴ PA 平面 EFG .……………………………………………………………………6 分

FH .……………………………………4 分

证法 2:∵ E , F , G 分别为 PC , PD, BC 的中点, ∴ EF ∵ CD

CD , EG AB ,∴ EF

PB .……………………………………………………………2 分 AB .
平面 PAB . …………………5 分

∵ PB I AB = B , EF I EG = E ,∴平面 EFG ∵ PA ? 平面 PAB ,∴ PA

平面 EFG . …………………………………………6 分

(2)解:∵ PD ⊥ 平面 ABCD , GC ? 平面 ABCD ,∴ GC ⊥ PD . 解 ∵ ABCD 为正方形,∴ GC ⊥ CD . ∵ PD I CD = D ,∴ GC ⊥ 平面 PCD .……………………………………………8 分

-8-

1 1 1 1 PD = 1 , EF = CD = 1 ,∴ S ?PEF = EF × PF = .……………10 分 2 2 2 2 1 ∵ GC = BC = 1 , 2 1 1 1 1 ∴ VP ? EFG = VG ? PEF = S ?PEF ? GC = × × 1 = .…………………………………14 分 3 3 2 6
∵ PF =

19.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识,考查分类与整合、数形结合的数学思想方法,以及抽象概 本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识,考查分类与整合、数形结合的数学思想方法, 本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识 括能力、运算求解能力 括能力、运算求解能力) 解:(1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,………………………………1 分 其中 a = 2 , c =

3 ,则 b = a 2 ? c 2 = 1 .………………………………………2 分
x2 + y 2 = 1 .………………………………………………4 分 4

所以动点 M 的轨迹方程为

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.………………………………………5 分 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD = 0 ,∴ x1 x2 + y1 y2 = 0 .……………………………………………7 分 ∵ y1 = kx1 ? 2 , y2 = kx2 ? 2 , ∴ y1 y2 = k x1 ? x2 ? 2k ( x1 + x2 ) + 4 .
2

uuur uuur

∴ (1 + k ) x1 x2 ? 2k ( x1 + x2 ) + 4 = 0 .………… ① …………………………9 分
2

? x2 2 ? + y = 1, 由方程组 ? 4 ? y = kx ? 2. ?
得 1 + 4k 2 x 2 ? 16kx + 12 = 0 .…………………………………………………11 分

(

)

16k 12 , x1 ? x2 = , 2 1 + 4k 1 + 4k 2 12 16k 2 代入①,得 (1 + k ) ? ? 2k ? +4=0. 2 1 + 4k 1 + 4k 2
则 x1 + x2 = 即 k = 4 ,解得, k = 2 或 k = ?2 .………………………………………………13 分
2

所以,直线 l 的方程是 y = 2 x ? 2 或 y = ?2 x ? 2 .………………………………14 分 20.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化、数形结 本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化、 本小题主要考查函数与导数的概念 合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识 合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识)
-9-

2 2 解:(1)∵ f ′( x) = ? x + 4ax ? 3a ,且 0 < a < 1 ,…………………………………1 分

当 f ′( x ) > 0 时,得 a < x < 3a ;当 f ′( x ) < 0 时,得 x < a或x > 3a ; ∴ f (x ) 的单调递增区间为 (a,3a ) ;

f (x) 的单调递减区间为 (?∞, a ) 和 (3a,+∞) .…………………………………3 分
故当 x = 3a 时, f (x ) 有极大值,其极大值为 f ( 3a ) = 1 . …………………4 分
2 2 2 (2)∵ f ′ ( x ) = ? x + 4ax ? 3a = ? ( x ? 2a ) + a , 2

当0 < a <

1 时, 1 ? a > 2a , 3

∴ f ′( x) 在区间 [1 ? a,1 + a ] 内是单调递减.…………………………………………6 分

′ ] ∴ [ f(x)max = f ′ (1-a ) = ?8a 2 + 6a ? 1,

′ ] [ f(x)min = f ′ (1+a ) = 2a ? 1 .

??8a 2 + 6a ? 1 ≤ a, ′( x) ≤ a ,∴ ? ∵ ?a ≤ f ?2a ? 1 ≥ ? a.
此时, a ∈? .…………………………………………………………………………9 分 当

1 ′ ] ≤ a < 1 时, [ f(x)max = f ′ ( 2a ) =a 2 . 3

? ?0 ≤ a ≤ 1, ?a 2 ≤ a, ? 1 ? ? ∵ ? a ≤ f ′( x ) ≤ a ,∴ ? 2a ? 1 ≥ ? a, 即 ?a ≥ , ……11 分 3 ? ? 2 ??8a + 6a ? 1 ≥ ? a. ? 7 ? 17 7 ? 17 ≤a≤ . ? 16 ? 16
此时,

1 7 + 17 ≤a≤ .……………………………………………………………13 分 3 16

综上可知,实数 a 的取值范围为 ? ,

? 1 7 + 17 ? ? .…………………………………14 分 16 ? ?3

21.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法, 本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法, 本小题主要考查等差数列 以及抽象概括能力、运算求解能力 以及抽象概括能力、运算求解能力) 解:(1)由已知, ( S n +1 ? S n ) ? ( S n ? S n ?1 ) = 1 ( n ≥ 2 , n ∈ N ), …………………2 分
*

即 an +1 ? an = 1 ( n ≥ 2 , n ∈ N ),且 a2 ? a1 = 1 .
*

- 10 -

∴数列 {a n } 是以 a1 = 2 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴ an = n + 1 .……………………………………………………………………………4 分 (2)∵ an = n + 1 ,∴ bn = 4 + ( ?1)
n n ?1

λ ? 2n +1 ,要使 bn +1 > bn 恒成立,
n ?1

∴ bn +1 ? bn = 4
n

n +1

? 4 n + ( ?1) λ ? 2n + 2 ? ( ?1)
n n ?1

λ ? 2n +1 > 0 恒成立,

∴ 3 ? 4 ? 3λ ? ( ?1) ∴ ( ?1)
n ?1

2n +1 > 0 恒成立,

λ < 2n?1 恒成立.……………………………………………………………6 分
n ?1

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 λ < 2

恒成立,…………………………………………7 分

n ?1 当且仅当 n = 1 时, 2 有最小值为 1,

∴ λ < 1 .………………………………………………………………………………9 分 (ⅱ)当 n 为偶数时,即 λ > ?2
n ?1

恒成立,………………………………………10 分

当且仅当 n = 2 时, ?2n ?1 有最大值 ?2 , ∴ λ > ?2 .……………………………………………………………………………12 分 即 ?2 < λ < 1 ,又 λ 为非零整数,则 λ = ?1 . 综上所述,存在 λ = ?1 ,使得对任意 n ∈ N ,都有 bn +1 > bn .…………………14 分
*

- 11 -


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