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第四章 圆与方程小结与复习(学生用)


第四章

圆与方程小结与复习(学生用)
【学习探究】

【知识归类】 1.圆的两种方程 (1)圆的标准方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,表示_____________.
(2)圆的一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
①当 D +E -4F>0 时,方程 ② 表示(1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示__________;
2 2

2

2

2 2 ②当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D E , y ? ? ,即只表示_______; 2 2

③当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程_____________________________________________.
2 2

综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆. 2.点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

(1)( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在_____; (2)( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在______;
2 2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在______.
2

3.直线与圆的位置关系 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心

(?

D E , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: 2 2
(1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C ______; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C ________; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C ________. 4.圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 _______; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 ______;

(3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 ____; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 ___;

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(5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 ______. 5.空间直角坐标系 任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角 坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标. 空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式________________. 【题型归类】 题型一:求圆的方程 例 1 .求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长 和圆心坐标.

题型二:圆的切线问题 例 2 .过圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3),向圆引两条切线切点为 A、B. 求经过两 切点的直线 l 方程.

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变式练习:自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 m 所在直线与圆 C:x 2 + y 2 -4x-4y +7 = 0 相切,求光线 L、m 所在的直线方程.

题型三:与圆有关的动点轨迹问题
2 例 3.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求 2

线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

【思想方法】 1.数学思想:数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法,借助图形可以将问 题生动直观地加以解决,避免了一些代数上的繁琐的运算.同时等价转化和.函数的思想也 是常用的思想,如联立直线和圆的方程组,用判别式或韦达定理加以解决 2.数学方法: 圆的方程的求解,主要利用待定系数法,要适当选取圆的方程的形式, 与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程,已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形 式.

【自我检测】
1.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2,2) ,半径为 2 的圆,则 a、b、c 的值 依次为( ) . (B)-2、4、4; (C)2、-4、4; ) . (D)2 (D)2、-4、-4

(A)2、4、4;

2.直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长为( (A) 2 2 (B)4 (C) 4 2

3.点 (1,1)在圆( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 4 的内部,则 a 的取值范围是( ) .
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(A) ? 1 ? a ? 1

(B) 0 ? a ? 1

(C) a ? ?1或a ? 1

(D) a ? ?1 ) .

4.自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为( (A)
5

(B)

3

(C)

10

(D) 5 ) .

5.已知 M (-2,0), N (2,0), 则以 MN 为斜边的直角三角形直角顶点 P 的轨迹方程是( (A) x 2 ? y 2 ? 2 (B) x 2 ? y 2 ? 4 (C) x 2 ? y 2 ? 2( x ? ?2) 6.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( (A) 1,-1 (B)2,-2 (C)1 (D)-1

(D) x 2 ? y 2 ? 4( x ? ?2) ) .

7.过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( (A) y ? 3x (B) y ? ? 3x (C) y ?

) .

3 3 x (D) y ? ? x 3 3
) .

8.过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( (A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4

(D)(x+1)2+(y+1)2=4 ) .

9.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角是( (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

10.M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与 该圆的位置关系是( (A)相切 (B)相交 ) . (C)相离 (D)相切或相交

2 2 11.已知圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若 ?APB ? 90? .

求 m 的值.

12.已知直角坐标平面内点 Q(2,0),圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的 比等于常数 λ(λ>0),求动点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

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