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《导数的四则运算法则》导学案


第4课时 导数的四则运算法则

导.学. 固. 思

1.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则. 2.能通过运算法则求出导数并解决相应问题.

3.经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的
乐趣,激发学生的学习热情.

导.学. 固. 思

你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写 出推导过程.

导.学. 固. 思

问题1

基本初等函数的导数公式表: ①若 f(x)=c,则 f'(x)= 0 ; ②若 f(x)=xα(α∈Q),则 f'(x)= α xα -1 ; ③若 f(x)=sin x,则 f'(x)= cos x ; ④若 f(x)=cos x,则 f'(x)= -sin x ; x x a ⑤若 f(x)=a ,则 f'(x)= ln a (a>0); x x e ⑥若 f(x)=e ,则 f'(x)= ;1 xlna (a>0,且 a≠1); ⑦若 f(x)=logax,则 f'(x)= 1 ⑧若 f(x)=ln x,则 f'(x)= x .

导.学. 固. 思

问题2

导数运算法则 ①[f(x)±g(x)]'= ②[f(x)·g(x)]'=
f (x ) ③[ ]'= g (x )

f'(x)±g'(x)

;

f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
[g (x )]
2

f '(x )·g (x )- f (x )·g '(x )

(g(x)≠0) .

④从导数运算法则②可以得出 [cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=cf'(x) , 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导 数,即[cf(x)]'= cf'(x) .

导.学. 固. 思

问题3

运用导数的求导法则,可求出多项式 f(x)=a0+a1x+…+arxr+…+anxn 的导数. 1 r-1 n-1 a +…+na 1+2a2x +…+rarx nx f'(x)= .

问题4

导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些? (1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形: 若 y=f1(x)±f2(x)±…±fn(x), 则 y'= f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x) . (2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b 为常数). (3)[f(x)±c]'=f'(x).

导.学. 固. 思

1

函数 y=lg x 的导数为( C A.
1 x

). C.
1 xln 10
1 xln 10

B. ln 10
1 xln a

1 x

D.
.

1 xlg e

【解析】∵(logax)'=

,∴(lg x)'=

2

曲线y=x3在x=α处的导数为12,则α等于( B
A.±4 B.±2 C.2
2

).

D.4
2

【解析】 y'=3x ,∵y'|x=α =12,∴3α =12,解得 α =±2,选 B.

导.学. 固. 思

3

函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于
2 2 3 2

4

.

【解析】 ∵y=(x+1) (x-1)=(x -1)(x+1)=x +x -x-1, 3 2 2 ∴y'=(x )'+(x )'-(x)'-(1)'=3x +2x-1,∴y'|x=1=4.
4

求下列函数的导数.
π (1)y=sin(x+ ); 2

(2)y=log 1 x2-log 1 x.
2 2

【解析】(1)∵y=sin(x+ )=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x.
2

π

(2)∵y=log 1 x -log 1 x=2log 1 x-log 1 x=log 1 x (x>0),
2

2

2

2

2

2

∴y'=(log 1 x)'=
2

1 xln

1 =2

1

xln 2

.

导.学. 固. 思

求函数的导数 求下列函数的导数: (1)f(x)=a2+2ax-x2;
2

(2)f(x)=
2

xsin x . ln x

【解析】(1)f'(x)=(a +2ax-x )'=2a+2x. (2)f'(x)=(
xsin x ln x

)'=

(xsin x )' sin x+xcos x (ln x )'

=

1 x

=xsin x+x cos x.

2

导.学. 固. 思

[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?
[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题 的自变量是 x,a 是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作 分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导 数乘以分子的积. 于是,正确解答为: 2 2 (1)f'(x)=(a +2ax-x )'=-2x+2a. (2)f'(x)=(
xsin x ln x (ln x ) sin xln x+xcos xln x -sin x ln 2 x

)'=

(xsin x )'ln x -xsin x (ln x )'
2

=

.

导.学. 固. 思

求曲线的切线方程 已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线 的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1,l2 和 x 轴所围成的三角形的面积.
【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3. ∴直线 l1 的方程为 y=3(x-1)=3x-3. 2 2 设直线 l2 过曲线 y=x +x-2 上的点 P(x0,x0 +x0-2), 2 则直线 l2 的方程为 y-(x0 +x0-2)=(2x0+1)(x-x0). ∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=- .
3 2 1 3 22 9

∴直线 l2 的方程为 y=- x- .

导.学. 固. 思

(2)解方程组

y = 3x-3,

6 得 1 22 5 y = - x- , y=- . 3 9 2 22 3 125 12

x= ,

1

又直线 l1,l2 与 x 轴的交点分别为(1,0),(- ,0). ∴所求三角形面积为 S= ×|- |×(1+ )=
2 2 3 1 5 22

.

导.学. 固. 思

导数公式的综合应用 2 已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y =x 相交于 A,B 两点,O 为坐标 原点,试在直线 AB 左侧的抛物线上求一点 P,使△ABP 的面积 最大.
【解析】∵|AB|为定值, ∴三角形面积最大,只需 P 到 AB 的距离最大, ∴点 P 是与 AB 平行且与抛物线相切的切线的切点. 设点 P(x0,y0),由题意知点 P 在 x 轴上方的图像上, 即 P 在 y= x上,∴y'= 又∵kAB= ,∴
2 1 1 1 2 x0 2 1 2 x

.

= ,得 x0=1.

由 y0= x0 ,得 y0=1,∴P(1,1).

导.学. 固. 思

求下列函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2)(x+3); (2)y=1+sin
cos ; 2 2 ln (3)y= -2x. +1

【解析】(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]' =[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)' =[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) 2 =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x +12x+11.

导.学. 固. 思

(法二)y=(x +3x+2)(x+3)=x +6x +11x+6,y'=3x +12x+11. (2)y=1+ sin x,
2 1 1 2

2

3

2

2

y'= cos x. (3)y'=( = = =
ln x x+1

)'-(2x)' -2xln 2

1 ·(x+1)-ln x x 2

(x+1)
2

1+ -ln x (x+1)

1 x

-2xln 2 -2xln 2.

x+1-xln x x (x+1)
2

导.学. 固. 思

(1)求曲线 y=xcos x 在 x= 处的切线方程; (2)求曲线 y=
π 2

π 2

2x 在点(1,1)处的切线方程. x 2 +1
π 2

【解析】(1)y'=x'cos x+x·(cos x)'=cos x-xsin x, y'|x=π =- ,切点为( ,0),
2

∴切线方程为 y-0=- (x- ),即 2π x+4y-π =0.
2 2

π

π

2

(2)y'=

2(x 2 +1)-2x ·2x (x 2 +1) 2 -2 4 2x x 2 +1
2

=

2-2x 2 (x 2 +1)
2

,

y'|x=1=

=0,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率 k=0. 在(1,1)处的切线方程为 y=1.

因此曲线 y=

导.学. 固. 思

点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
【解析】根据题意设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=e 相切于点 P0(x0,y0),该切点即为与 y=x 距离最近的点,如 图. 则在点 P0(x0,y0)处的切线斜率为 1,即 y'|x=x 0 =1. ∵y'=(ex)'=e , x ∴ex 0 =1,得 x0=0,代入 y=e ,得 y0=1,即 P0(0,1). ∴d=
|1 | 2
x x

= .
2

2

导.学. 固. 思

1.曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2
x

A ).

C.e

1 D. e

【解析】由条件得 y'=e ,根据导数的几何意义,可得 k=y'|x=0=e0=1.

2.曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l, 则直线 l 的倾斜角的范围是( A ).
π 3π A.[0, ]∪[ ,π) 4 4 π 3π C.[ , ] 4 4

B.[0,π) D.[0, ]∪[ , ]
π 4 π 3π 2 4

导.学. 固. 思

【解析】∵(sin x)'=cos x, ∵kl=cos x, ∴-1≤kl≤1,∴α l∈[0, ]∪[ ,π ).
4 4 π 3π

3.设函数 f(x)=logax,f'(1)=-1,则 a=
【解析】∵f'(x)= ∴f'(1)=
1 ln 1 ln

1 e

.

,

=-1,
1 e

∴ln a=-1,∴a= .

4.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的一条切线,求 k 的值.

导.学. 固. 思

【解析】设切点坐标为(x0,y0). ∵y=ln x,∴y'= .
x 1 1

∴f'(x0)= =k.
x0

∵点(x0,y0)既在直线 y=kx 上,也在曲线 y=ln x 上, y0 = kx0 ,① ∴ y0 = ln x0 ,② 把 k= 代入①式得 y0=1,
x0 1

再把 y0=1 代入②式求出 x0=e. ∴k= = .
x0 e 1 1

导.学. 固. 思


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