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离散型随机变量及其分布列(三) 课后练习


专题 离散型随机变量及其分布列(三) 课后练习
主讲教师:王春辉 数学高级教师 题一: 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 则该运动员在这五场比 赛中得分的方差为_________.21*cnjy*com

0 8 9 10 3 5
2 (注:方差 s ?

图2 1 ? ( x1 ? x )

2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ? ? ? ,其中 x 为 x1,x2,…,xn 的平均数) n

题二: 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94? ?94,98? ?98,102? ?102,106? ?106,110?
8 20
42 22

8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94?
4

[21 世纪教育网

?94,98? ?98,102? ?102,106? ?106,110?
12
42

32

10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2,   t ? 94, ? y ? ?2,    94 ? t ? 102, ? 4,   t ? 102. ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.(以试验结 果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 题三: 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,…,8,其中 X≥5 为标准 A, X≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生 产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:
X1

5 0.4

6 a

7 b

8 0.1

p 且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值;

1

(Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个 样本,数据如下:【来源:21cnj*y.co*m】 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.
期望 ; 注:(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. 题四: 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 ,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在各时间段内的频率如下表: 【来源:21·世纪·教育·网】 时间(分钟) 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50 50 ~ 60

L1 的频率 L2 的频率

0.1
0

0.2 0.1

0.3 0.4

0.2 0.4
21 世纪教育网

0.2 0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站.

(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (Ⅱ)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ)的选择方案,求 X 的分布 列和数学期望.【出处:21 教育名师】 题五: 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟, 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频 率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率. (Ⅱ) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

2

题六: 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.
21*cnjy*com

(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N ) 的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列,数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 题七: 如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机 选取 3 个点, 将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”, 记该“立体”的体积为随机变量 V(如 果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).www-2-1-cnjy-com

(1)求 V=0 的概率. (2)求 V 的分布列及数学期望. 题八: 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体面 朝下的数字分别为 x1,x2,记 ξ=(x1-3)2+(x2-3)2. (1)分别求出 ξ 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 ξ 的分布列.

3

专题 离散型随机变量及其分布列(三)
课后练习参考答案
题一: 6.8 详解:

1 x ? (8 ? 9 ? 10 ? 13 ? 15) ? 11 , 5 1 s2 ? ? (8 ? 11) 2 ? (9 ? 11) 2 ? (10 ? 11) 2 ? (13 ? 11) 2 ? (15 ? 11) 2 ? ? ? ? 6.8 . 5
题二: (Ⅰ)A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3,B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 (Ⅱ) X 的分布列为

X P

-2 0.04

2 0.54

4 0.42

? X 的数学期望 2.68
详解: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 估计值为 0.42 (Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中, 其质量指标值落入区间 0.42,因此 X 的可能值为-2,2,421· cn· jy· com P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, ,0.54, ?90,94? , ?94,102? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的 100

X P

-2 0.04

2 0.54

4 0.42

? X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
?a ? 0.3, ?b ? 0.2,

题三: (Ⅰ) ?

(Ⅱ)4.8

(Ⅲ)乙厂的产品更具可购买性.

详解:(Ⅰ)因为 EX1 =6,所以 5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6, 即 6a ? 7b ? 3.2 , 4

又由

X1 的概率分布列得 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1, 即 a ? b ? 0.5 .

由?

?6a ? 7b ? 3.2, ?a ? 0.3, 解得 ? ? a ? b ? 0.5, ?b ? 0.2,

(Ⅱ)由已知得,样本的频率分布表如下: 用 这 本 的 分 布 总 体 将频率视为概率,可得等级系数 所 以 个 样

X2
f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

频 率 估 计 分布,

X 2 的概率分布列如下:
4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

X2
P

3 0.3

EX 2 ? 3? 0 ? . 3 ?

,. 1 + 7 4 ?0 . 2 ?+ 5 ?0 . 2?+ = 6 0

0 . 1 + 8

0 . 1

4 . 8

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (Ⅲ)乙厂的产品更具有可购买性,理由如下:

6 =1 . 6 4.8 =1.2, 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 所以乙厂的产品更具可购 4
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 买性.21 教育网

题四: (Ⅰ)甲应选择路径 L 1 , 乙应选择路径 L 2 . (Ⅱ)X 的分布列为

X
P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

3 . 2 详解:(Ⅰ) Ai 表示事件“甲选择路径 L i 时,40 分钟内赶到火车站”, Bi 表示事件“乙选择路径 L i 时,50 分钟内赶
数学期望为 到火车站”, i

? 1 , 2 .2-1-c-n-j-y

用频率估计相应的概率,则有:

5

P( A1 ) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 ;
∵ P( A 1) ?

P( A2 ) ,∴甲应选择路径 L 1 ;

P( B1) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.8 , P( B2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ;
∵ P( B2 ) ?

P( B1 ) ,∴乙应选择路径 L 2 .

(Ⅱ)用 A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站, 由(Ⅰ)知 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.9 ,又事件 A,B 相互独立, X 的取值是 0,1,2, ∴ P( X

? 0) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.04 ,

P( X ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.9 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.42,
P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 ,
∴X 的分布列为

X
P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

(X) ? 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5 . ∴E
题五: (Ⅰ)0.22. (Ⅱ) X P 期望是 0.51. 0 0.5 1 0.49 2 0.01

详解: 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

Y
P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

(Ⅰ)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办理业务 所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均 为 2 分钟.所以 P( A)

? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

6

? 0.1? 0.3 ? 0.3? 0.1? 0.4? 0.4 ? 0.22 .
(Ⅱ)X 所有可能的取值为 0,1,2.

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X

? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ;

X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1 分钟,或第一个顾
客办理业务所需的时间为 2 分钟,21 世纪教育网版权所有 所以 P( X

? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 ;
X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P( X

? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01 ,

所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

∴ EX
题六: (1)

? 0? 0.5 ?1? 0.49 ? 2? 0.01 ? 0.51.

?10n ? 80(n ? 15) y?? (n ? N ) . (n ? 16) ?80
60 0.1
21 世纪教育网

(2) X 的分布列为

X
P
期望 76, 方差 44. (ii)应购进 17 枝. 详解: (1)当 n ? 16 时,

70 0.2

80 0.7

y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 . y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 ,

当 n ? 15 时,

得:

?10n ? 80(n ? 15) y?? (n ? N ) . (n ? 16) ?80

(2)(i) X 可取 60 , 70 , 80 ,

7

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7 .
X
的分布列为

X

60

70

80

P

0.1

0.2

0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 .
DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 .
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为 y=(14× 5-3× 5)× 0.1+(15× 5-2× 5)× 0. 2+(16× 5-1× 5)× 0.16+17× 5× 0.54=76.4, 76.4>76 得:应购进 17 枝. 题七: (1)

3 5

21 世纪教育网

(2) V 的分布列为 V P

0
3 5

1 6 1 20

1 3 3 20

2 3 3 20

4 3 1 20

期望

9 40
3 C6 ? 20 种取法,选取的

详解: (1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有
1 3 C3 C4 ? 12 种,因此 V ? 0 的概率为

3 个点与原点在同一个平面内的取法有

P ?V ? 0 ? ?

12 3 ? . 20 5 21cnjy.com

(2)V 的所有可能取值为 0,

1 1 2 4 , , , ,因此 V 6 3 3 3
V
21 世纪教育网

的分布列为

0
3 5

P 由 V 的分布列可得

1 6 1 20

1 3 3 20

2 3 3 20

4 3 1 20

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 EV ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40
题八: (1) 1 1 ; . 16 16

(2)ξ 的分布列为: ξ P 0 1 16 1 1 4 2 1 4 4 1 8 5 1 4 8 1 16

详解:(1)掷出点数 x 可能是:1,2,3,4.则 x-3 分别得:-2,-1,0,1.于是(x-3)2 的所有取值分别为:0,1,4.因此 ξ 的所

8

有取值为:0,1,2,4,5,8.2· 1· c· n· j· y 1 1 1 当 x1=1 且 x2=1 时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2 可取得最大值 8,P(ξ=8)= × = ;21·世纪*教育网 4 4 16 当 x1=3 且 x2=3 时,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2 可取得最小值 0, 1 1 1 P(ξ=0)= × = . 4 4 16 (2)由(1)知 ξ 的所有取值为:0,1,2,4,5,8. 1 P(ξ=0)=P(ξ=8)= ; 16 4 当 ξ=1 时,(x1,x2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4).即 P(ξ=1)= ; 【版权所有:21 教育】 16 4 当 ξ=2 时,(x1,x2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4).即 P(ξ=2)= ;21 教育名师原创作品 16 当 ξ=4 时,(x1,x2)的所有取值为(1,3)、(3,1). 2 即 P(ξ=2)= ; 16 4 当 ξ=5 时,(x1,x2)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1).即 P(ξ=2)= .www.21-cn-jy.com 16 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 16 1 1 4 2 1 4 4 1 8 5 1 4 8 1 16

9


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