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同步精品学案(人教A版必修1):第3章 函数的应用 §32 函数模型及其应. 新课标人教A版


§3.2

函数模型及其应用

1.几类不同增长的函数模型及其增长差异

分别作出函数 y=2x,y=log2x,y=x2 在第一象限的图象如图.函数 y=log2x 刚开始增长 得最快,随后增长的速度越来越慢;函数 y=2x 刚开始增长得较慢,随后增长的速度越来越 快;函数 y=x2 增长的速度也是越来越快,但越来越不

如 y=2x 增长得快.函数 y=2x 和 y=x2 的图象有两个交点(2,4)和(4,16).在 x∈(2,4)时,log2x<2x<x2,在 x∈(0,2)∪(4,+∞)时, log2x<x2<2x,所以当 x>4 时,log2x<x2<2x. 一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax (a>1),y=logax (a>1)和 y=xn (n>0)都是增函 数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上. 随着 x 的增大,y=ax (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn (n>0)的增长 速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此,总会存在一个 x0,使当 x>x0 时,就有 logax<xn<ax. 这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长. [例]下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( ) x x D.y=e A.y=1,x∈Z B.y=x C.y=2 解析 指数函数模型增长速度最快,并且 e>2,因而 y=ex 增长速度最快. 答案 D 2.几类常见的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k、b 为常数,k≠0); k (2)反比例函数模型:f(x)= +b (k、b 为常数,k≠0); x (3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c (a、b、c 为常数,a≠0); 注意: 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型, 在高考的应用题考查中最为常见. (4)指数函数模型:f(x)=abx+c (a、b、c 为常数,a≠0,b>0,b≠1); (5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n (m、n、a 为常数,a>0,a≠1); 说明:随着新课标的实施,指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用,在高考的 舞台上将会扮演愈来愈重要的角色. (6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a、b、n 为常数,a≠0,n≠1); (7)分段函数模型:这个模型实际是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 3.通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下: (1)收集数据; (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点; (3)根据点的分布特征,选择一个能刻画其特征的函数模型; (4)选择其中的几组数据求出函数模型; (5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验,看其是否符合实际,若不符合实际, 则重复步骤(3)(4)(5);若符合实际,则进入下一步;

(6)用求得的函数模型去解决实际问题.

题型一 一次函数模型的应用 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0.20 元,卖出的价格是每份 0.30 元,卖不完的还可以以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月(以 30 天计算)内有 20 天每天 可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问 应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大?并计算每月最多能获得的利润. 解 本题所给条件较多,数量关系比较复杂,可以列表分析. 设每天从报社买进 x (250≤x≤400,x∈N)份报纸. 数量(份) 价格(元) 金额(元) 30x 0.20 6x 买进 0.30 卖出 20x+10×250 6x+750 0.08 退回 10(x-250) 0.8x-200 设每天从报社买进 x 份报纸时,每月所获利润为 y 元,则 y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x =0.8x+550 (250≤x≤400,x∈N). ∵y=0.8x+550 在[250,400]上是增函数, ∴当 x=400 时,y 取得最大值 870. 即每天从报社买进 400 份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为 870 元. 点评 一次函数模型层次性不高, 求解也较为容易, 一般我们可以用“问什么, 设什么, 列什么”这一方法来处理.

题型二 二次函数模型的应用 渔场中鱼群的最大养殖量为 m (m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量 x 小于 m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是 空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为 k (k>0). (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出该函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群年增长量达到最大时,求 k 的取值范围. m-x 解 (1)根据题意知空闲率是 , m m-x 得 y=kx· (0<x<m). m m-x k (2)∵y=kx· =- x2+kx m m m k mk =- ?x- 2 ?2+ , ? ? 4 m m mk ∴当 x= 时,ymax= . 2 4 (3)根据实际意义:实际养殖量 x 与年增长量 y 的和小于最大养殖量 m,即 0<x+y<m, m mk ∴0< + <m, 2 4 解之得:-2<k<2.∵k>0,∴0<k<2.

点评 解题的关键在于对“空闲率”的理解, 正确理解题意, 养成良好的阅读习惯是成 功的一半.而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题,学会二次函 数的配方是比较有效的解题手段.

题型三 分段函数模型的应用

某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P) 落在图中的两条线段上.该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部 分数据如下表所示: 4 10 16 22 第t天 36 30 24 18 Q(万股) (1)根据提供的图象, 写出该种股票每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系 式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出这 30 天中第几 天日交易额最大,最大值为多少? 解 (1)设表示前 20 天每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)的一次函数关系式为 P=k1t+ ?k1=1 ?2=k1×0+m ? ? 5 ,即 P=1t+2; ,解得? m,由图象得? 5 ? ?6=k1×20+m ?m=2 ? 设表示第 20 天至第 30 天每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)的一次函数关系式为 P=k2t +n, ?k2=- 1 ? ? ?6=k2×20+n 10 , 由图象得? ,解得? ?5=k2×30+n ? ?n=8 ? 1 即 P=- t+8. 10 1 t+2, 0≤t<20 5 综上知 P= (t∈N). 1 - t+8, 20≤t≤30 10

? ? ?

(2)由表知,日交易量 Q 与时间 t 满足一次函数关系式,设 Q=at+b (a、b 为常数),将 (4,36)与(10,30)的坐标代入, ?4a+b=36 ?a=-1 ? ? 得? ,解得? . ? ? ?10a+b=30 ?b=40 所以日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q=40-t(0≤t≤30 且 t∈N). (3)由(1)(2)可得

??5t+2?×(40-t), 0≤t<20 ? ? y=? 1 ??-10t+8?×(40-t), 20≤t≤30 ? ?
1

(t∈N).

?-5t +6t+80, 即 y=? 1 ?10t -12t+320,
2

12

0≤t<20 (t∈N). 20≤t≤30

1 当 0≤t<20 时, 函数 y=- t2+6t+80 的图象的对称轴为直线 t=15, ∴当 t=15 时, max y 5 =125; 1 当 20≤t≤30 时,函数 y= t2-12t+320 的图象的对称轴为直线 t=60,∴该函数在 10 [20,30]上单调递减,即当 t=20 时,ymax=120. 而 125>120,∴第 15 天日交易额最大,最大值为 125 万元. 点评 分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型,这是由分段函数的特点决定 的.由于分段函数兼具多种初等函数的性质,因此可以将多种函数的性质考查到,这在要求 能力的高考命题中无疑是重要的命题素材.

题型四 函数建模 个体经营者把开始六个月试销 A、B 两种商品的逐月投资与所获利润列成下表: 投资 A 种商品金额 1 2 3 4 5 6 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 获纯利润(万元) 投资 B 种商品金额 1 2 3 4 5 6 (万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 获纯利润(万元) 该经营者准备下个月投入 12 万元经营这两种商品,但不知投入 A、B 两种商品各多少 才最合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案 求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 解 以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在直角坐标系中描点如图.据此,可考虑用 下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.

y=-a(x-4)2+2 (a>0)① y=bx② 把 x=1,y=0.65 代入①式,得 0.65=-a(1-4)2+2,解得 a=0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资 A 种商品的金额的函数关系式可近似地用 y=- 0.15(x-4)2+2 表示; 把 x=4,y=1 代入②式,得 b=0.25, 故前六个月所获纯利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系式可近似地用 y=0.25x

表示. 设下个月投入 A、B 两种商品的资金分别是 xA 万元、xB 万元,总利润为 W 万元, ?xA+xB=12 ? 得? , 2 ? ?W=yA+yB=-0.15(xA-4) +2+0.25xB 19 19 3 3 即 W=- ?xA- 6 ?2+ ×? 6 ?2+2.6. ? 20 ? ? 20? 19 ∴当 xA= ≈3.2 时,W 取得最大值, 6 53 约为 4.1 万元,此时,xB= ≈8.8. 6 点评 本题设计新颖,要求能对数据进行处理,在此基础上选用恰当的模型进行拟合, 并对所得到的模型进行比较,数据分析处理是在信息社会中所必须具备的一项重要的能力.

某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x- 0.15x ,L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得 的最大利润为( ) A.45.606 B.45.6 C.46.8 D.46.806 错解 设甲地销售 x 辆,则乙地销售 15-x 辆. 总利润 L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x) =-0.15x2+3.06x+30 =-0.15(x-10.2)2+45.606 ∴当 x=10.2 时,获得最大利润 45.606 万元. 错因分析 上面解答中 x=10.2 不为整数,在实际问题中是不可能的,因此 x 应根据抛 物线取与 x=10.2 接近的整数才符合题意. 正解 设甲地销售 x 辆,则乙地销售(15-x)辆, 则总利润 L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x) =-0.15x2+3.06x+30 =-0.15(x-10.2)2+45.606. 根据二次函数图象和 x∈N*, ∴当 x=10 时,获得最大利润 L=-0.15×102+3.06×10+30=45.6 万元. 正确答案 B
2

本节考查的重点是用函数来解决实际问题, 解答这类问题的关键是学会阅读、 理清线索、 仔细观察图表,并熟悉各种函数模型,能结合所学数学知识、思想方法解决问题. (2007·湖北)

为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立 方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式 为 y=(

1 t ?0.1 ) (a 为常数)如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题: 16

(1)从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为 ; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室. 解析 (1)设 y=kt (k≠0),由图象知 y=kt 过点(0.1,1),则 1=k×0.1,k=10,∴y=10t (0≤ t≤0.1); 由 y= ?

?1? ? ? 16 ?

t? a

过点(0.1,1)得 1= ?

?1? ? ? 16 ?

0.1? a

,a=0.1,

?1? ∴y= ? ? ? 16 ?

t ? 0.1

(t>0.1).
t ? 0.1

?1? (2)由 ? ? ? 16 ?

≤0.25=

1 ,得 t≥0.6, 4

故至少需经过 0.6 小时.

1 ? ?10t ,0 ≤ t ≤ 10 , ? 答案 (1) y= ? 1 t? 1 ?? 1 ? 10 ?? 16 ? , t > 10 ?? ?

(2)0.6

1.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千米(b<a),再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

答案 C 解析 由于有“休息一段时间” ,图象 A 不符; 图象 B 在沿原路返回时没有花费时间(体现在平行于 s 轴的那一段)也不符合现实; 图象 D 没有“原路返回” .因此选 C. 3 2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,要使存留的污垢不超过 1%,则至少要洗的 4 次数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B 3 1 解析 设至少要洗 x 次,则?1-4?x≤ , ? ? 100 1 ∴x≥ ≈3.32,因此至少要洗 4 次. lg 2 3.

某种产品市场销量情况如图所示,其中:l1 表示产品各年产量的变化规律;l2 表示产品 各年的销售情况,下列叙述: ①产品产量、销量均以直线上升,仍可按原生产计划进行; ②产品已经出现了供大于求的情况,价格将下跌;

③产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销量; ④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加. 你认为较合理的是( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.②③ 答案 D 4. 一商品零售价 2007 年比 2006 年上涨了 25%, 欲控制 2008 年比 2006 年只上涨 10%, 则 2008 年应比 2007 年降价________%. 答案 12 解析 设此商品 2006 年零售价为 a 元,2008 年比 2007 年降价 x%,则 2007 年零售价 11 5 11 5 为 a·(1+25%)= a 元,而 2008 年零售价为 a·(1+10%)= a 元,所以 a·(1-x%)= a,解 10 4 10 4 得 x=12. 5.

如图所示,由桶 1 向桶 2 输水,开始时,桶 1 中有 a L 水,桶 2 中无水,t 分钟后,桶 1 中剩余水 y1 L 满足函数关系式 y=ae ? nt ,那么桶 2 中的水 y2 L 满足函数关系式 y=a-ae ? nt , 假设经过 5 分钟,桶 1 和桶 2 中的水一样多,则再过 答案 10 解析 由题意可得, 经过 5 分钟时, ?5 n = ae 从而再经过 10 分钟后,桶 1 中的水只有 6.
? 1 1 a a  a, n= ln2, ae 2 tin 2 = , t=15, 令 得 2 5 8 1

分钟,桶 1 中的水只有

a  L. 8

a L. 8

某游乐场每天的盈利额 y(单位:元)与售出的门票数 x(单位:张)之间的函数关系如图, 其中 200 元为普通顾客的心理价位的上线, 超过此上线普通顾客人数将下降并减少盈利, 试 分析图象,解决下列问题: (1)求 y=f(x)的函数关系式; (2)要使该游乐场每天的盈利额超过 1 000 元,那么每天至少应售出多少张门票? 解 (1)由函数图象可得 f(x)= ?

?10 x ? 1000, (0 ≤ x ≤ 200) (x∈N). ?15 x ? 2500, (200 < x ≤ 300 ) 700 (2)由 15x-2 500>1 000,得 x> , 3

故至少要售出 234 张门票,能使游乐场每天的盈利额超过 1 000 元. 7.

自 2007 年以来,猪肉价格起伏不定,为了抑制猪肉价格上涨的势头,促进生猪市场的 稳定,某地方政府决定对生猪养殖户在修建猪舍时给予补助.某养殖户拟建一座平面图(如 图所示)是矩形且面积为 200 平方米的猪舍,由于地形限制,猪舍的宽 x 不少于 5 米,不多 于 a 米,如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米可得到补助 5 元,房顶(房顶与地面形 状相同)每平方米可得到补助 8 元,猪舍外面的四周墙壁每米可得到补助 10 元,中间四条隔 墙每米可得到补助 5 元. 问:当猪舍的宽 x 定为多少时,该养殖户能从政府得到最多的补助,最多补助是多少? 200 解 设该养殖户能从政府手中得到的补助为 y 元,猪舍的长为 米, x 200? ∴y=200×5+200×8+?2x+2× x ?×10+4x×5 ? 100? =40?x+ x ?+2 600(5≤x≤a). ? 100 易得函数 f(x)=x+ 在[5,10)上单调递减,在[10,+∞)上单调递增, x ∴当 5≤a<10 时,ymax=3 600,此时 x=5; 100 当 a≥10 时,ymax=40?a+ a ?+2 600,此时 x=a. ? ? 100 100 又∵当 10≤a≤20 时,a+ ≤5+ =25, 5 a ∴若 5≤a≤20,猪舍的宽定为 5 米,该养殖户能从政府得到最多的补助是 3 600 元; 100 若 a>20, 猪舍的宽定为 a 米, 该养殖户能从政府得到最多的补助是?40?a+ a ?+2 600? ? ? ? ? 元.

3.2.1 .

几类不同增长的函数模型

学习目标 1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它 们的增长差异性. 2.能够借助信息技术,利用函数图象及数据表格,对几种常见增长类型的函数的增长 状况进行比较,初步体会它们的增长差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指 数函数、对数函数、幂函数、分段函数等),了解函数模型的广泛应用. 自学导引 1.三种函数模型的性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 性质 在(0,+∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 随 x 的增大逐渐变 随 x 的增大逐渐趋于稳 图象的变化 随 n 值而不同 “陡” 定 2.指数函数 y=ax(a>1),对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0)增长速度的比较 (1)对于指数函数 y=ax 和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽

管在 x 的一定范围内,ax 会小于 xn,但由于 y=ax 的增长快于 y=xn 的增长,因此总存在一 个 x0,当 x>x0 时,就会有 ax>xn. (2)对于对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0), 在区间(0,+∞)上,尽管在 x 的一定范围内,logax 可能会大于 xn,但由于 y=logax 的 增长慢于 y=xn 的增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 logax<xn.

一、一次函数模型 例 1 为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所 使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的 关系如图所示.

(1)分别求出通话费 y1,y2 与通话时间 x 之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜. 解 (1)由图象可设 y1=k1x+29,y2=k2x, 把点 B(30,35),C(30,15)分别代入 y1,y2 1 1 得 k1= ,k2= . 5 2 1 1 ∴y1= x+29,y2= x. 5 2 1 1 2 (2)令 y1=y2,即 x+29= x,则 x=96 . 5 2 3 2 当 x=96 时,y1=y2,两种卡收费一致; 3 2 当 x<96 时,y1>y2,即如意卡便宜; 3 2 当 x>96 时,y1<y2,即便民卡便宜. 3 点评 由图象给出的函数关系的应用问题,要先确定函数类型,然后,通过待定系数法 列方程求解. 变式迁移 1 商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个定价 5 元,该店推 出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; (2)按总价的 92%付款. 顾客只能任选其一. 某 顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干个(不少于 4 个),若购买茶杯数为 x 个,付款数为 y(元),试分 别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并讨论两种办法哪一种更省钱. 解 由优惠办法(1)可得函数关系式为 y1=20×4+(x-4)×5=5x+60 (x≥4); 由优惠办法(2)得: y2=4×20×0.92+x×5×0.92=4.6x+73.6 (x≥4) 当购买 34 只茶杯时,两办法付款相同; 当 4≤x<34 时,y1<y2,优惠办法(1)省钱; 当 x>34 时,y1>y2,优惠办法(2)省钱.

二、指数函数模型 例 2 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 1 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知: 3 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1) 2 2 2 分析 每次过滤杂质含量降为原来的 ,过滤 n 次后杂质含量为 ·?3?n,结合按市场要 100 ? ? 3 求杂质含量不能超过 0.1%,即可建立数学模型. 2 2 2 1 1 解 依题意,得 ·?3?n≤ ,即?3?n≤ . ? ? 20 100 ? ? 1 000 1+lg2 ≈7.4,考虑到 n∈N,即至少要过滤 8 次才 则 n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),故 n≥ lg3-lg2 能达到市场要求. 点评 一般地,形如 y=ax (a>0 且 a≠1)的函数叫做指数函数,而在生产、生活实际中, 以函数 y=b·ax+k 作为模型的应用问题很常见,称这类函数为指数函数模型. 以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关,在现实生活 和科学技术领域,诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳-14 的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型. 变式迁移 2 2004 年全国人口普查时,我国人口数为 13 亿,如果从 2004 年开始按 1% 的人口年增长率来控制人口增长,那么,大约经过多少年我国人口数达到 18 亿? 解 设大约经过 n 年,我国人口由 2004 年的 13 亿增加到 18 亿, 18 则 13×(1+1%)n=18.∴1.01n= , 13 18 lg 13 18 即 n=log1.01 = 13 lg1.01 lg18-lg13 1.255 3-1.113 9 = ≈ lg1.01 0.004 3 =32.883 7≈33(年) 即从 2004 年开始,大约经过 33 年,我国人口总数可达 18 亿.

三、对数函数模型的应用 例 3 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞 Q 行速度可以表示为函数 v=5log2 ,单位是 m/s,其中 Q 表示燕子的耗氧量. 10 (1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度是多少? 分析 由题目可获取以下主要信息: ①已知飞行速度是耗氧量的函数; ②第(1)问知 v,求 Q;第(2)问知 Q,求 v. 解答本题的关键是给变量赋值. Q 解 (1)由题知,当燕子静止时,它的速度 v=0,代入题给公式可得:0=5log2 ,解得 10 Q=10. 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位. (2)将耗氧量 Q=80 代入题给公式得: 80 v=5log2 =5log28=15 (m/s). 10

即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时, 它的飞行速度为 15 m/s. 点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多. 此类问题一般是先给出对数函数模 型,利用对数运算性质求解. 变式迁移 3 在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v (m/s)和燃料的质量 M M(kg)、火箭(除燃料外)的质量 m (kg)的关系 v=2 000ln?1+ m ?.当燃料质量是火箭质量的多 ? ? 少倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s? M M 解 由 12 000=2 000ln?1+ m ?,即 6=ln?1+ m ?, ? ? ? ? M M 6 1+ =e ,利用计算器算得 ≈402. m m 即当燃料质量约是火箭质量的 402 倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s.

1.根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时,要 注意利用函数图象的直观性,来确定适合题意的函数模型. 2.常见的函数模型及增长特点 (1)直线 y=kx+b (k>0)模型,其增长特点是直线上升; (2)对数 y=logax (a>1)模型,其增长缓慢; (3)指数 y=ax (a>1)模型,其增长迅速.

一、选择题 1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为( )

答案 D 2.能使不等式 log2 x<x2<2x 成立的 x 的取值范围是(

)

A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(0,2)∪(4,+∞) 答案 D 3.下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是( ) 1 x A.y= e B.y=100lnx 100 C.y=x100 D.y=100·2x 答案 A 4.已知镭每经过 100 年衰变后剩留质量是原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留质量为 y,则 x 与 y 之间的关系为( )

x 100 0.957 6 x C.y=1-0.042 4 D.y=? 100 ?x ? ? 100 答案 B 5.某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由 1 个 繁殖成 4 096 个需经过( ) A.12 小时 B.4 小时 C.3 小时 D.2 小时 答案 C 解析 设共分裂了 x 次,则有 2x=4 096, ∴2x=212,又∵每次为 15 分钟, ∴共 15×12=180 分钟,即 3 个小时. 二、填空题 6.国家规定的个人稿酬纳税办法是:不超过 800 元不纳税,超过 800 元不超过 4 000 元的按超过 800 元的 14%纳税, 超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税, 某人出版了一本书, 共纳税 420 元,他的稿费为________元. 答案 3 800 解析 ∵3 000×14%=420 元, 所以他的稿费应为 3 800 元. 7.某工厂一年中十二月份的产量是一月份的 a 倍,那么该工厂这一年中的月平均增长 率是________. A.y=0.957 6x B.y=0.957 6 答案 11 a-1 11 a

∴x= 解析 设这一年中月平均增长率为 x,1 月份的产量为 M, M(1+x)11=a·M, 则 -1.

8.三个变量 y1、y2、y3 随变量 x 的变化情况如下表: x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 其中 x 呈对数函数型变化的变量是______,呈指数函数型变化的变量是______,呈幂函 数型变化的变量是______. 答案 y3 y2 y1 三、解答题 9.某公司预投资 100 万元,有两种投资可供选择:一种是年利率 10%,按单利计算,5 年后收回本金和利息; 另一种是年利率 9%, 按每年复利一次计算, 年后收回本金和利息. 5 哪 一种投资更有利?这种投资比另一种投资 5 年可多得利息多少元?(结果精确到 0.01 万元) 分析 这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题. 可先按单利和复利计算 5 年后的本息和分别是多少,再通过比较作答. 解 本金 100 万元,年利率 10%,按单利计算,5 年后的本息和是 100×(1+10%×5) =150(万元). 本金 100 万元,年利率 9%,按每年复利一次计算,5 年后的本息和是 100×(1+9%)5 =153.86(万元). 由此可见,按年利率 9%每年复利一次计算的比年利率 10%单利计算的更有利,5 年后 多得利息 3.86 万元. 10.

某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李. 如果超过规定的质量, 则需购买 行李票,行李费用 y(元)是行李质量 x(kg)的一次函数,其图象如图所示.

(1)根据图象数据,求 y 与 x 之间的函数关系式;

(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少?

分析 因为所求函数关系是一次函数, 所以可先设出解析式, 再通过图象利用待定系数法求 出;免费携带,即 y 的值为 0,最多可免费携带行李的质量,应是函数图象与 x 轴交点的横 坐标.



(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b.由图象可知, x=60 时, 当 y=6; x=80 时, 当 y=10.

∴?

?60k + b = 6 1 解得 k= ,b=-6. 5 ?80k + b = 10
1 x-6 (x≥30). 5

∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=

(2)根据题意,当 y=0 时,x=30.

∴旅客最多可免费携带行李的质量为 30 kg.

3.2.2

函数模型的应用实例

学习目标 1.掌握几种初等函数的应用. 2.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法. 3.了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤.

自学导引 1.函数模型的应用实例主要包括三个方面: (1)利用给定的函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.面临实际问题,自己建立函数模型的步骤: (1)收集数据; (2)描点; (3)选择函数模型; (4)求函数模型; (5)检验; (6)用函数模型解决实际问题

. 一、已知函数模型的应用问题 例 1 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: ?400x-1x2 (0≤x≤400) ? 2 R(x)=? .其中 x 是仪器的月产量. ? ?80 000 (x>400) (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利 润) 分析 由题目可获取以下主要信息:①总成本=固定成本+100x;②收益函数为一分段 函数. 解答本题可由已知总收益=总成本+利润,总利润=总收益-总成本. 由于 R(x)为分段 函数,所以 f(x)也要分段求出,将问题转化为分段函数求最值问题. 解 (1)设每月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x, ?-1x2+300x-20 000 (0≤x≤400) ? . 从而 f(x)=? 2

? ?60 000-100x (x>400)

1 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2+25 000, 2 ∴当 x=300 时,有最大值 25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000. ∴每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元. 点评 在函数应用题中, 已知的等量关系是解题的依据, 像此题中的利润=总收益-总 成本,又如“销售额=销售价格×销售数量”等.像几何中的面积、体积公式,物理学中的 一些公式等,也常用来构造函数关系. 变式迁移 1 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引 入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间, 学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x) 表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大,表示接受的能力越强), x 表示提出和讲授概念 的时间(单位:min),可有以下的公式:

?-0.1x +2.6x+43 (0<x≤10) ? f(x)=?59 (10<x≤16) ?-3x+107 (16<x≤30) ?
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较,学生的接受能力何时强一些? 解 (1)当 0<x≤10 时, f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9, 故 f(x)递增,最大值为 f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59; 当 16<x≤30 时,f(x)递减, f(x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后 10 min,学生达到最强的接受能力(值为 59),并维持 6 min. (2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9 =59.9-6.4=53.5, f(20)=-3×20+107=47<53.5=f(5), 因此开讲后 5 min 学生的接受能力比开讲后 20 min 强一些.

2

二、已知图象或表格的应用问题 例 2 甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查,提供了两个 方面的信息如图所示.

甲调查表明:每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第 6 年 2 万只. 乙调查表明: 甲鱼池个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个, 请你根据提供的信息说明: (1)第 2 年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数; (2)到第 6 年这个县的甲鱼养殖业的规模比第 1 年是扩大了还是缩小了?说明理由; (3)哪一年的规模最大?说明理由. 分析 首先根据图象可知,两种调查信息都符合一次函数,因此,可以采用待定系数法 求出函数解析式,下面的问题就容易解决了. 解 (1)由图可知,直线 y 甲 =kx+b,经过(1,1)和(6,2),可求得 k=0.2,b=0.8. ∴y 甲=0.2(x+4).同理可得 y 乙 =4 4? ? x +

? ?

17 ? ?. 2?

第二年甲鱼池的个数为 26 个,全县出产甲鱼的总数为 26×1.2=31.2(万只). (2)规模缩小,原因是:第一年出产甲鱼总数 30 万只,而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万 只. (3)设第 x 年规模最大,即求 y 甲·y 乙=0.2(x+4)· 4? ? x + =-0.8x2+3.6x+27.2 的最大值. 当 x= ?

? ?

17 ? ? 2?

3 .6 1 =2 ≈2 时, 2(? 0.8) 4

(y 甲·y 乙)max=-0.8×4+3.6×2+27.2=31.2. 即第二年规模最大,为 31.2 万只. 点评 本题的信息大都在已知的图上, 所以要求要有一定的读图能力, 能够由图象设出 函数解析式,用待定系数法求出解析式.其次,要会使用所求得的解析式解决新问题. 变式迁移 2 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注 入一只小白鼠体内进行实验,经检验,病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表. 天数 病毒细胞个数 1 2 3 4 5 6 1 2 4 8 16 32

已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候, 小白鼠将会死亡. 如注射某种 药物,可杀死其体内该病毒细胞的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物? (2)第二次最迟应在何时注射该种药物, 才能维持小白鼠的生命?(答案精确到天, 已知: lg2=0.301 0) 解 (1)由题意知,病毒细胞个数关于天数 t 的函数为 y=2t-1. - 则由 2t 1≤108 两边取常用对数得(t-1)lg2≤8, 得 t≤27.6.即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. (2)由题意知,注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%,再经过 x 天后小 白鼠体内病毒细胞个数为 226×2%×2x. 由题意, 226×2%×2x≤108, 得 两边取常用对数, 26lg2+lg2-2+xlg2≤8, x≤6.2, 得 得 即再经过 6 天必须注射药物,即第二次应在第 33 天注射药物.

三、自建函数模型的应用问题 例 3 某企业实行裁员增效,已知现有员工 a 人,每人每年可创纯利润 1 万元,据评估 在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收 0.01 万元,但每年 3 需付给下岗工人 0.4 万元生活费,并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的 ,设该 4 企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范围; (2)当 140<a≤280 时,问该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证 能获得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁) 解 (1)由题意可得 y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x a 140 1 =- x2+?100-100?x+a. ? ? 100 3 a a-x≥ a?x≤ , 4 4 a x 的取值范围是?0,4?中的自然数. ? ? (2)由配方可得 a 1 a 1 y=- ?x-?2-70??2+ ?2-70?2+a, ?? 100? ? 100? ?

a a 且 140<a≤280,∴ -70∈?0,4?. ? ? 2 a ∴当 a 为偶数时,x= -70,y 取最大值; 2 a+1 a-1 当 a 为奇数时,x= -70 或 x= -70,y 取最大值. 2 2 a-1 -70. ∵尽可能少裁人,∴x= 2 点评 注意实际问题中自变量的取值范围, 不但要使函数式有意义, 且还不能使实际问 题失去意义. 变式迁移 3 某工厂有 216 名工人接受了生产 1 000 台 GH 型高科技产品的总任务,已 知每台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工 6 个 G 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置.设 加工 G 型装置的工人有 x 人,他们加工完 G 型装置所需时间为 g(x),其余工人加工完成 H 型装置所需时间为 h(x) (单位:小时,可不为整数). (1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)比较 g(x)与 h(x)的大小,并写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务所用的时间最少? 解 (1)由题意知,需加工 G 型装置 4 000 个,加工 H 型装置 3 000 个,所用工人分别 为 x 人和(216-x)人. 4 000 3 000 ∴g(x)= ,h(x)= . 6x (216-x)·3 2 000 1 000 即 g(x)= ,h(x)= (0<x<216,x∈N*). 3x 216-x 2 000 1 000 1 000·(432-5x) (2)g(x)-h(x)= - = . 3x 216-x 3x(216-x) ∵0<x<216,∴216-x>0. 当 0<x≤86 时,432-5x>0,g(x)-h(x)>0; g(x)>h(x); 当 87≤x<216 时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)<h(x). 2 000 (0<x≤86,x∈N*), 3x ∴f(x)= 1 000 (87≤x<216,x∈N*). 216-x

? ? ?

(3)完成总任务所用时间最少即求 f(x)的最小值. 当 0<x≤86 时,f(x)递减, 2 000 1 000 ∴f(x)≥f(86)= = , 3×86 129 ∴f(x)min=f(86),此时 216-x=130. 当 87≤x<216 时,f(x)递增, 1 000 1 000 ∴f(x)≥f(87)= = , 216-87 129 ∴f(x)min=f(87),此时 216-x=129, 1 000 ∴f(x)min=f(86)=f(87)= . 129

四、数据拟合型函数的应用题 例 4 某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万

件、1.2 万件、1.3 万件、1.37 万件.由于产品质量好、服装款式新颖,因此前几个月的产品 销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接收定单不至于过多或过少,需要估测以后几个 月的产量,假如你是厂长,就月份 x,产量 y 给出四种函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c, 1 y=ax +b,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量? 2 分析 由题目可获取以下主要信息:①已知函数模型;②选择最优模型.解答本题可先 确定解析式,再通过数据拟合,选择最优模型.本题是通过数据验证,确定系数,然后分析 确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型. 解 由题知 A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37). ①设模拟函数为 y=ax+b,将 B、C 两点的坐标代入函数式, ? ? ?3a+b=1.3 ?a=0.1 有? ,解得? . ?2a+b=1.2 ?b=1 ? ? 所以得 y=0.1x+1. 此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升 1 000 双,这是不太可 能的. ②设 y=ax2+bx+c,将 A,B,C 三点代入,有

?a+b+c=1 ? ?4a+2b+c=1.2 ?9a+3b+c=1.3 ?

?a=-0.05 ? ,解得?b=0.35 ?c=0.7 ?

.

所以 y=-0.05x2+0.35x+0.7. 由此法计算 4 月份产量为 1.3 万双, 比实际产量少 700 双, 而且, 由二次函数性质可知, 产量自 4 月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴 x=3.5),不合实际. ③设 y=a x+b,将 A,B 两点的坐标代入,有 ? ?a=0.48 ?a+b=1 ,解得? , ? ?b=0.52 ? ? 2a+b=1.2 所以 y=0.48 x+0.52. 把 x=3 和 4 代入,分别得到 y=1.35 和 1.48,与实际产量差距较大. ④设 y=abx+c,将 A,B,C 三点的坐标代入,得

?ab+c=1 ? 2 ?ab +c=1.2 ?ab3+c=1.3 ?

?a=-0.8 ? ,解得?b=0.5 ?c=1.4 ?



所以 y=-0.8×(0.5)x+1.4, 把 x=4 代入得 y=-0.8×0.54+1.4=1.35. 比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,比如增产 的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳.一是误差小,二是由于新建厂,开始 随工人技术、管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但过一段时间之后,如果不 更新设备,产量必然趋于稳定,而指数函数模型恰好反映了这样的趋势.因此,选用 y=- 0.8×0.5x+1.4 模拟比较接近客观实际. 点评 对于数据拟合型函数应用问题,要先确定函数解析式,再利用数据对比,确定最 优模型,多数情况下要采用数形结合法. 变式迁移 4 某商场经营一批进价是 30 元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销 售单价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系(如下表): x 30 40 45 50 … … y 60 30 15 0 … … (1)

在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定 y 与 x 的 一个函数关系式 y=f(x); (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系写出 P 关于 x 的函数关系式,并 指出销售单价 x 为多少元时,才能获得最大日销售利润? 解 (1)根据题干中所给表作图,点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)大致落在同一条直 线上,设它们共线于直线 l: y=kx+b,

∴?

?50k + b = 0 ?k = ?3 ?? , ?45k + b = 15 ?b = 150

∴y=-3x+150 (x∈N), 经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上,故所求函数关系式为 y=-3x+150 (x∈N). (2)依题意有 P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30) =-3(x-40)2+300 ∴当 x=40 时,P 有最大值 300. 故销售单价为 40 元时,才能获得最大日销售利润.

1.解答应用题的基本步骤: (1)设:合理、恰当地设出变量; (2)写:根据题意,抽象概括数量关系,并能用数学语言表示,得到数学问题; (3)算:对所得数学问题进行分析、运算、求解; (4)答:将数学问题的解还原到生活实际问题,给出最终的答案. 2.在中学阶段,用函数拟合解决实际问题的基本过程是:

一、选择题 1.

一个高为 H,盛水量为 V0 的水瓶的轴截面如图所示,现以均匀速度往水瓶中灌水,直 到灌满为止,如果水深 h 时水的体积为 V,则函数 V=f(h)的图象大致是( )

答案 D 解析 考察相同的 ?h 内 ?V 的大小比较. 2.今有一组实验数据如下: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律,其中最接近的一个是(

)

1 A.V=log2t B.V=log t 2 t2-1 C.V= D.V=2t-2 2 答案 C 1 3.计算机成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 ,则现在价格为 8 100 元的计算 3 机,9 年后的价格可降为( ) A.2 400 元 B.900 元 C.300 元 D.3 600 元 答案 A 4.某城市的出租汽车价格统一,凡上车起步价均为 6 元,行程不超过 2 km 时均按此价 收费,行程超过 2 km,超过部分按 1.8 元/km 收费,另外,遇到塞车或等候时,汽车虽然没 有行驶,但仍按 6 分钟折算 1 km 计算.陈先生坐了一趟这种出租车,车费 17 元,车上仪表 显示等候时间为 11 分 30 秒,那么陈先生此趟行程介于( ) A.5~7 km B.9~11 km C.7~9 km D.3~5 km 答案 A 5.某种电热水器的水箱盛满水是 200 升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分 钟放水 34 升,在放水的同时注水,t 分钟注水 2t2 升,当水箱内水量达到最小值时,放水自 动停止.现假定每人洗浴用水 65 升,则该热水器一次至多可供几人洗澡( ) A.3 人 B.4 人 C.5 人 D.6 人 答案 B 17 解析 设最多用 t 分钟,则水箱内水量 y=200+2t2-34t,当 t= 时,y 有最小值,此 2 17 时共放水 34× =289 升,可供 4 人洗澡. 2 二、填空题 6.某类产品按质量可分 10 个档次,生产最低档次(第 1 档次为最低档次,第 10 档次为 最高档次)每件利润为 8 元,如果产品每提高一个档次,则利润增加 2 元,用同样的工时, 最低档次产品每天可生产 60 件,提高一个档次将减少 3 件产品,则生产第________档次的 产品,所获利润最大. 答案 9 7. 某城市客运公司确定客票价格的方法是: 如果行程不超过 100 km, 票价是 0.5 元/km, 如果超过 100 km, 超过 100 km 部分按 0.4 元/km 定价, 则客运票价 y(元)与行驶千米数 x(km)

之间的函数关系式是______________. ? (0<x≤100) ?0.5x 答案 y=? ?0.4x+10 (x>10) ? 8.下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为 80 km 的两城镇间旅行的函数图 象,由图可知:骑自行车者用 6 h(含途中休息的 1 h),骑摩托车者用了 2 h.有人根据这个 函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h, 晚到 1 h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上骑自行车者.其中正确的序号是__________.

答案 ①②③ 三、解答题 9.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫 升血液中的含药量 y(mg)与时间 t(h)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 mg 时,治疗疾病有效.求服药一次 治疗疾病的有效时间. 解 (1)当 0≤t<1 时,y=4t. 1 - 当 t≥1 时,y=?2?t a,此时 M(1,4)在曲线上, ? ? 1 - 1 - ∴4=?2?1 a,∴a=3,∴y=?2?t 3. ? ? ? ? (0≤t<1), ?4t ? ∴y=f(t)=??1?t-3 (t≥1). ??2? ? 1 1 15 (2)由 f(t)≥0.25,解得 ≤t≤5,所以服药一次治疗的有效时间为 5- =4 (h). 16 16 16 10.某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元.该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,凡多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就 降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1 000 个,利 润又是多少元? 解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则 x0=100+ 60-51 =550(个). 0.02 ∴当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60;

当 100<x<550 时,P=60-0.02(x-100)=62-0.02x; 当 x≥550 时,P=51. 0<x≤100, ?60, ? ∴P=f(x)=?62-0.02x, 100<x<550, ?51, x≥550 ? 0<x≤100, ?20x, ? 2 S=(P-40)x=?22x-0.02x , 100<x<550, ?11x, x≥550 ? (x∈N+).

(3)设销售商一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 S 元,则 (x∈N+)

当 x=500 时,S=22×500-0.02×5002=6 000(元); 当 x=1 000 时,S=11×1 000=11 000(元). ∴当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6 000 元;如果一次订购 1 000 个零件时,利润是 11 000 元.

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