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2012届高考数学二轮《等差数列、等比数列》专题训练


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2012 届高考数学二轮《等差数列、等比数列》专题训练 一、选择题 1.(2011· 合肥模拟)已知各项均为实数的数列{an}为等比数列,且满足 a1+a2=12,a2a4=1, 则 a1=( ) 1 1 1 1 A.9 或 B. 或 16 C. 或 D.9 或 16 16 9 9

16 a =9, a =16, ? ? ? 1 ? 1 ?a1+a1q=12, 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由题意得? 2 4 ?? 或? 1 1 ?a1q =1 q= q=- , ? ? 3 4 ? ? ∴a1=9 或 16.答案:D 2. 在等差数列{an}中, 若 a1, a2 011 为方程 x2-10x+16=0 的两根, 则 a2+a1 006+a2 010=( ) A.10 B.15 C.20 D.40[ 解析:由题意,知 a1+a2 011=a2+a2 010=2a1 006=10,所以 a2+a1 006+a2 010=15.答案:B 3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+?+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 10 解析:a1+a2+?+a10=-1+4-7+10+?+(-1) · (3×10-2)=(-1+4)+(-7+10) 9 10 +?+[(-1) · (3× 9-2)+(-1) · (3× 10-2)]=3×5=15.答案:A 4. (2011· 天津高考)已知{an}为等差数列, 其公差为-2, 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{an} * 的前 n 项和,n∈N ,则 S10 的值为( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 2 解析:因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,所以 a7=a3a9,又因为公差为-2,所以(a1-12)2 =(a1-4)(a1-16),解得 a1=20, 通项公式为 an=20+(n-1)(-2)=22-2n, 10?a1+a10? 所以 S10= =5(20+2)=110,故选择 D. 2 5.对于数列{an}, “an+1>|an|(n=1,2?)”是“{an}为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为 an+1>|an|?an+1>an?{an}为递增数列,但{an}为递增数列?an+1>an 推不出 an+ 1>|an|,故“an+1>|an|(n=1,2?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.答案:B 1 m 6.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的等比数列,则 n = 2 ( ) 3 3 2 2 A. B. 或 C. D.以上都不对 2 2 3 3 解析:设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根,不妨设 a<c<d<b,则 1 9 a· b=c· d=2,a= ,故 b=4,根据等比数列的性质,得 c=1,d=2,则 m=a+b= ,n=c 2 2 9 m 3 m 2 +d=3,或 m=c+d=3,n=a+b= ,则 n = 或 n = . 2 2 3 二、填空题 7.(2011· 广东高考)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=_ 解析:设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1=1, 9×8 4×3 1 得 9×1+ d=4×1+ d,所以 d=- .又 ak+a4=0, 2 2 6

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1 1 所以[1+(k-1)×(- )]+[1+(4-1)×(- )]=0.即 k=10. 6 6 8. 在等比数列{an}中, 公比 q=2, 前 2 010 项的和 S2 010=90, 则 a2+a4+a6+?+a2 010=___.[ : ] 2 010 2 010 a1?1-q ? a1?1-2 ? 90 解析:S2 010= = =90,[ : ]∴a1= 2 010 . 1-q 1-2 2 -1 2 1 005 2 010 a2[1-?q ? ] 2a1?1-2 ? a2+a4+a6+?+a2 010= = =60. 2 1-q 1-4 1 n2 n 9.已知数列{an}满足 a1= ,an= 2 an-1+ (n≥2),则数列{an}的通项 an=________. 2 n -1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n n 解析:依题意得,当 n≥2 时, n an= an-1+1, n an- a =1, n- 1 n-1 n-1 n+ 1 n+ 1 n2 即数列{ n an}是等差数列.因此有 n an=2a1+(n-1)×1=n,an= . n+ 1 三、解答题 10.已知{an}是递增的等差数列,满足 a2· a4=3,a1+a5=4. (1)求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式; b1 b2 bn (2)设数列{bn}对 n∈N*均有 + 2+?+ n=an+1 成立,求数列{bn}的通项公式. 3 3 3 解: (1)∵a1+a5=a2+a4=4, 再由 a2· a4=3, 可解得 a2=1, a4=3 或 a2=3, a4=1(舍去). a4-a2 n?n-1? n ∴d= =1.∴an=1+1· (n-2)=n-1. Sn= (a2+an-1)= . 2 2 4-2 bn-1 b1 b2 bn b1 b2 (2)由 + 2+?+ n=an+1 得,当 n≥2 时, + 2+?+ n-1=an, 3 3 3 3 3 3 bn 两式相减,得 n=an+1-an=1(n≥2).∴bn=3n(n≥2), 3 b1 当 n=1 时, =a2.∵a2=1,∴b1=3,也适合上式.∴bn=3n. 3 11.成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 {bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5 (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列. 4 解:(1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d.[ : ] 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去),故{bn}的第 3 项为 5,公 5 比为 2,由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1= . 4 5 5 n-1 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn= · 2 =5· 2n-3. 4 4 5 ?1-2n? 4 5 5 (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n-2- ,即 Sn+ =5· 2n-2, 4 4 1-2

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5 Sn+1+ 4 5· 2n-1 5 5 5 5 所以 S1+ = , = n-2=2.因此{Sn+ }是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 4 2 5 5· 4 2 2 Sn+ 4 f?an? 12.已知函数 f(x)=(x-2)2,f′(x)是函数 f(x)的导函数,设 a1=3,an+1=an- . f′?an? (1)证明:数列{an-2}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ?an-2?2 1 f?an? 解:(1)证明:f′(x)=2(x-2),由 an+1=an- ,可得 an+1=an- = a +1, f′?an? 2?an-2? 2 n 1 1 1 an+1-2=( an+1)-2= an-1= (an-2), 2 2 2 1 所以数列{an-2}是首项为 a1-2=1,公比为 的等比数列, 2 1 n-1 1 n-1 1 即 an-2=(a1-2)( ) =( ) ,所以有 an=( )n-1+2. 2 2 2 n (2)由题意得 bn=nan= n-1+2n, 2 1 2 3 n 则 Sn=( 0+ 1+ 2+?+ n-1)+2(1+2+3+?+n) 2 2 2 2 1 2 3 n =( 0+ 1+ 2+?+ n-1)+n2+n.[ : ] 2 2 2 2 1 2 3 n 令 Tn= 0+ 1+ 2+?+ n-1,① 2 2 2 2 1 1 1 2 3 n ①× 得: Tn= 1+ 2+ 3+?+ n②, 2 2 2 2 2 2 1 1- n 2 1 1 1 1 n n 1 n ①-②得: Tn=1+ 1+ 2+?+ n-1- n= - n=2(1- n)- n, 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1- 2 n+ 2 n+2 1 2n 即 Tn=4(1- n)- n =4- n-1 ,所以 Sn=Tn+n2+n=4- n-1 +n2+n. 2 2 2 2


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