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§2.6数列复习课(1)


数列复习课
(1)

数列的定义 数列的分类

按一定的顺序排列的一列数. 1.按项的大小分 : 递增数列, 递减数列,摆动数列,常数列. 2.按项数分:有穷数列,无穷数列. 1.列表法,

数列的表示

2.解析法 : 通项公式法, 递推公式法. 3.图象法 1.an ? f ( n); 数列与函数的关系

数列的通项与前n项和

2. Sn ? a1 ? a2 ? ? S1 3.an ? ? ? Sn ? Sn ?1

? an ? g ( n); n ?1 n?2

等差数列 定义 通项公式 中项 a n ?1 ? a n ? d an ? a1 ? ( n ? 1)d ? am ? ( n ? m )d A? Sn ? a?b 2

等比数列 a n ?1 ?q an an ? a1q n ?1 ? am q n ? m G ? ? ab ?na1 , ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ? q ?1 q ?1

前n项和

n(a1 ? an ) n( n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(1)m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ( 2)2m ? p ? q ? 2am ? a p ? aq 性质 (3)2an ? an ?1 ? an ?1 ( n ? 2) 2an ? an ? k ? an ? k ( n ? k ); ( 4 ) S k , S 2 k ? S k , S3 k ? S 2 k , 成等差数列

(1)m ? n ? p ? q ? am an ? a p aq
2 ( 2 )2 m ? p ? q ? a m ? a p ? aq

(3)an 2 ? an ?1 ? an ?1 ( n ? 2) an 2 ? an ? k ? an ? k ( n ? k ); ( 4 ) S k , S 2 k ? S k , S3 k ? S 2 k , 成等比数列

一、数列的基本运算 例1.在等差数列{an }中, a4 ? 9, a9 ? ?6, 求满足Sn ? 54的所有n.
答案 : a9 ? a4 ?6 ? 9 ? ? ?3, 9?4 5 ?由a4 ? a1 ? 3d ? a1 ? 3( ?3) ? 9 ? a1 ? 18 解 : 设首项为a1 , 公差为d , 则d ? n( n ? 1) 由Sn ? 18n ? ( ?3) ? 54 ? n2 ? 13n ? 36 ? 0 2 ? n ? 4或n ? 9

一、数列的基本运算 例2.在等差数列{an }中, Sn为前n项和, S7 ? 7, S13 ? 52, ? Sn ? Tn为数列 ? ?的前n项和, 求Tn . ?n?

7?6 ? S7 ? 7a1 ? d ?7 ? ? 2 解 : 设首项为a1 , 公差为d , 则 ? ? S ? 13a ? 13 ?12 d ? 52 13 1 ? 2 ? ?a1 ? 3d ? 1 ?a1 ? ?2 n( n ? 1) n 2 ? 5n ?? ?? ,? S n ? ?2n ? ?1 ? 2 2 ?a1 ? 6d ? 4 ?d ? 1 Sn n ? 5 ? Sn ? S 1 ? ? ,? ? ? 成公差为 , 首项 1 ? ?2的等差数列 n 2 2 1 ?n? n( n ? 1) 1 n 2 ? 9n ?Tn ? ?2n ? ? ? 2 2 4

一、数列的基本运算 例3.设首项与公比都为正数的等比数列, 它的前n项 之和为80, 前 2n项之和为6560, 且前n项中, 数值最大 的项为54, 求此数列的首项与公比.
? a1 1 ? q n ? ? 80 ① 1? q ? 解:? ? 1 ? q n ? 82 ? q n ? 81 2n ? a1 1 ? q ? 6560 ② ? ? 1? q

?

?

?

?

代入① : a1 1 ? q n ? 80 ?1 ? q ? ? a1 ? q ? 1 ? 0,? q ? 1 ? {an }递增, 所以前n项中最大的为第n项 ? a1q n ?1 ? 54,

?

?

? q ? 1? q n ?1 ? q n ? q n ?1 ? 54,
q n ?1 qn ? 81 ? 54 ? 27, q ? n ?1 ? 3,? a1 ? 2, q

一、数列的基本运算 例4.课本P 61, T 6 已知Sn是等比数列?an ?的前n项和, S3 , S9 , S6成 等差数列,求证 : a2 , a8 , a5成等差数列.
解 : 设首项为a1 , 公比为q, S3 , S9 , S6成等差数列,? 2 S9 ? S3 ? S6 若q ? 1, 则S9 ? S3 ? S6 ? 9a1 , 与已知矛盾, ?q ? 1 a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 当q ? 1时, 有 : 2 ? ? 1? q 1? q 1? q 1 6 3 ? 2q ? q ? 1 ? 0 ? q ? ? 或q ? 1(舍去) 2 2a8 ? (a2 ? a5 ) ? 2a1q 7 ? (a1q ? a1q 4 ) ? a1q( 2q 6 ? q 3 ? 1) ? 0 ? a2 , a8 , a5成等差数列.

二、数列性质的应用 例1.在等差数列{an }中, a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2, 求a3 ? a13 .
解: a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? (a1 ? a15 ) ? (a4 ? a12 ) ? a8 ? ?a8 ? 2, ? a3 ? a13 ? 2a8 ? ?4

例2.在等比数列{an }中, a6 a15 ? a9 a12 ? 30, 则前 20项的积 ? ________ .

解: a6 a15 ? a9 a12 ? 30,由a6 a15 ? a9 a12 ? 30 ? a6 a15 ? 15 ? a1 a2 a20 ? (a6 a15 )10 ? 1510

练习 : 1.在递增等比数列?an ?中, a1 ? an ? 66, a2an?1 ? 128, 且前n项和Sn ? 126, 则n ? ______ .
解 :由题设可知, a1 , an是方程 : x 2 ? 66 x ? 128 ? 0的两根 解得 : x1 ? 2, x2 ? 64, {an }递增,? a1 ? 2, an ? 64 ? 2 ? q n?1 ? 64 ? q n?1 ? 32 2 ? (1 ? q n ) 2 ? (1 ? q n?1 q ) 2 ? (1 ? 32q ) 又S n ? ? ? ? 126 ? q ? 2 1? q 1? q 1? q ? 2n?1 ? 32,? n ? 6

练习 : (1)已知数列?an ?的前n项和Sn ? 3n ? 1, an ? ______ . ( 2)已知等比数列?an ?的前n项和Sn ? 3 ? t , 则t ? ___ .
n

答案 : n ?1 ?4 (1)an ? ? n ?1 n?2 ?2 3 ( 2)由Sn ? 3n ? t 得 : S1 ? 3 ? t ? a1 S2 ? a1 ? a2 ? 3 ? t ? a2 ? 9 ? t ? a2 ? 6 S3 ? S 2 ? a3 ? 9 ? t ? a3 ? 27 ? t ? a3 ? 18 a3 a2 18 6 ?q ? ? ? ? ? t ? ?1 a2 a1 6 3? t


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