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格林公式


第三单元 格林公式

一、本单元的内容要点
本单元要点: 1.格林公式; 2.曲线积分与路径无关性; 3.全微分求积;

二、本单元的教学要求
掌握格林公式的意义,计算方法及一些相关问题。

三、本单元教学的重点与难点
本单元的重点是格林公式的使用。难点是如何对非封 闭的曲线如何正确的

使用格林公式,以及区域中有奇点 时的积分。 教学时数:2课时

格林公式
格林公式建立了曲线积分与二重积分的关系。通过 格林公式,将一个比较复杂的曲线积分转化为一个相 对简单的二重积分。在使用格林公式时尤为要注意使 用格林公式的条件。

1.单(复)连通区域及正向边界 设D为一平面区域,如果任一条闭曲线所包围的有界 区域都属于D,则称D是单连通区域。 由定义可以看到,所谓单连通区域是一个没有“洞”的 区域。 例 区域 D =

D=

( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} {

( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1} 为单连通区域,而 {
是复连通区域。

y

D = ( x, y) x + y ≤ 1
2 2

{

}

y

o

x

o

x

D

单连通

复连通

设平面区域D,规定D的边界曲线?D的正向如下: 当人站立于xoy 平面上,并沿?D的这一方向朝前行 进时,区域D的边界总位于D的左侧。并以?D+表示 D的正向边界,而以?D-表示反向边界。
y D o o y D

正向边界?D+

x

反向边界?D-

x

2.格林公式 定理1 设D是xoy平面上的有界闭区域,其边界曲线?D 由有限条光滑或分段光滑的曲线组成,如果函数P(x, y), Q(x, y)在D上有一阶连续偏导,则

? ?Q ?P ? ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy = ∫+ P( x, y)dx + Q( x, y)dy ? D ? ?D
注:公式(1)即称为格林公式。

(1)



(1)首先假设D是X和Y型区域,D可以表示为

D = {( x, y ) y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x), a ≤ x ≤ b} ,
如图所示,设D的边界由L1,L2,L3,L4组成,其中L1,L2为 曲线弧,L3,L4为直线段,L1:y=y(x)(x:a→b),则
b y2 ( x ) ?P ?P ∫∫ ?y dσ = ∫a dx ∫y1 ( x ) ?y dy D

y y=y2(x) D y=y1(x) o a b x

=∫

b

a

{P [ x, y ( x ) ] ? P [ x, y ( x ) ]}dx,
2 1

又,由曲线积分公式,



?D + b

Pdx =

∑∫
i =1 1

4

Li

Pdx =
a



L1

Pdx +
2



L3

Pdx

∫ P [ x , y ( x ) ] dx + ∫ P [ x , y ( x ) ] dx ?P = ∫ { P [ x , y ( x ) ] ? P [ x , y ( x ) ]} dx = ? ∫∫ dσ , ?y
=
a b b a 1 2 D



?D +



?P Pdx = ? ∫∫ dσ , D ?y

平行地,当D是Y型区域时,有

?Q ∫ + Qdy = ? ∫∫ ? x d σ . D ?D
(2)若D是单连通区域,并且为有限个X型、Y型区域之 和,则可用若干线段将区域D分割成有限个X型、Y型 区域之和。如图所示,

D = D1 ∪ D2 ∪ D3
并且在每个Di上,均有
D1

D2 D3

? ?Q ?P ? ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy = ∫+ P( x, y)dx + Q( x, y)dy ? Di ? ?Di
又,
3 ? ?Q ?P ? ? ?Q ?P ? ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy = ∑ ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy i =1 Di ? ? ? D ?

又注意到,在添加的辅助线段上,经过一个来回后,积 分相互抵消,故
?D+

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∑ ∫

3

P( x, y)dx + Q( x, y)dy,

i =1 ?D + i

相加后即得

? ?Q ?P ? ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy = ∫+ P( x, y)dx + Q( x, y)dy. ? D ? ?D
(3)若D是复连通的,则可用辅助线将D割开,使之成为 单连通的,如图所示:则

L1

D L2

A

B

? ?Q ?P ? ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy = ∫ Pdx + Qdy ? D ? L1 + BA+ L2 + AB =
L1 + L2



Pdx + Qdy.

因L1+L2正好构成的D的整个边界,由此即得

? ?Q ?P ? ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy = ∫+ P(x, y)dx + Q(x, y)dy. ? D? ?D

特殊地,当Q=x, P=-y时,则上式为

? ?Q ?P ? ∫+ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy ? D ? ?D = ∫∫ 2dσ = 2S.
D

其中S为区域D的面积,由此得,

1 S = ∫ + ? ydx + xdy . 2 ?D

例1 求 ∫ ( x + y ) dx ? ( x ? y ) dy ,其中,L为正向椭圆
L

x2 y2 周 + 2 = 1. 2 a b
解 令P= x+y, Q=-x+y, 则由格林公式得

? ?Q ?P ? ∫L ( x + y ) dx ? ( x ? y ) dy = ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy ? D ? = ∫∫ ( ?1 ? 1)dxdy = ?2S = ?2abπ .
D

?1 3 ? 例2 求 ∫ ( x y ? y ) dx + ? x ? 2 x 2 ? x ?dy 其中L为 L ?3 ?
2

由x=1, y=x, y=2x 所围区域的正向边界。 解 由格林公式,

= ∫∫ ( x 2 ? 4 x ? 1 ? x 2 + 1)dσ
D

?1 3 ? 2 ∫L ( x y ? y ) dx + ? 3 x ? 2 x ? x ?dy ? ?
2

= ? ∫ dx ∫
0

1

2x

x

3 4 xdy = ? ∫ 4 x dx = ? . 0 4
1 2

例3 求



L

2 xy 3 ? y 2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy (

其中L为从抛物线2x=πy2从点(0, 0)到(π/2, 1)的弧段。 解 因曲线是非封闭的,故添加辅助线段 L1:x= π/2, y: 1→0; L2:y=0, x: π/2→0, 则



L1

2xy3 ? y2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3x2 y 2 )dy (
0

? 3π 2 2 ? 1 ? 2 y sin x + 3x2 y 2 ) dy = ∫ ?1 ? 2 y + y ?dy =∫ ( L1 1 4 ? ? 1 2 =? π , 4



L2

2 xy 3 ? y 2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy = 0, (



∫ ( 2 xy = ∫∫ ( 6 xy
=
L D

L + L1 + L2

2 xy 3 ? y 2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy (
3

? y 2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3 x 2 y 2 ) dy ? 2 y cos x ? 6 xy 2 + 2 y cos x )dσ = 0,

2

∴ =∫ ?∫ =



L

2 xy 3 ? y 2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy ( 2 xy 3 ? y 2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy ( 2 xy 3 ? y 2 cos x ) dx + (1 ? 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy (

L + L1 + L2

L1 + L2

π2
4

.

( xe2 y + y)dx + ( x2e2 y ? y)dy 其中L为曲线 例4 求 ∫ L
y = 4 x ? x 2 从A(0, 0)到B(2, 2)的一段弧。
解 令 P = xe 2 y + y, Q = x 2e 2 y ? y ,则 Qx ? Py = 1 ,

令L1: y=0, x:0→2,L2: x=2, y:0→2,



L1

( xe + y)dx + ( x e ? y)dy
2y 2 2y 2y 2 L1 0

y

= ∫ ( xe + y)dx = ∫ xdx = 2,

D L2 o L1

x



L2

( xe2 y + y)dx + ( x2e2 y ? y)dy = ∫ ( x2e2 y ? y)dy
L2 2 2 2y

? 2y 1 2 ? = ∫ ( 4e ? y )dy = ? 2e ? y ? = 2e4 ? 4, 0 2 ?0 ?





L

( xe2 y + y)dx + ( x2e2 y ? y)dy = ∫
L1 + L2

L + L1- + L2

( xe2 y + y)dx -

+ ( x2e2 y ? y)dy + ∫
4 D

( xe2 y + y)dx + ( x2e2 y ? y)dy
4

= ∫∫ dσ + 2 + 2e ? 4 = π + 2e ? 2.

例5 求



L

的正向边界。

xdy ? ydx 其中L为椭圆形区域D: x2+2y2b1, x2 + y2

?x y 解 令P= 2 ,则当(x, y)≠(0, 0), ,Q = 2 2 2 x +y x +y
y 2 ? x2 ?Q ?P , = = 2 ?x ?y ( x2 + y2 )
由于被积函数在区域D中不连续, 故作小圆L1: x2+y2=r2,取顺时针方 向,D1为L与L1所包围的区域,
o x y

xdy ? ydx xdy ? ydx xdy ? ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫L x 2 + y 2 + ∫L1 x 2 + y 2 xdy ? ydx ?∫ L1 x2 + y2 xdy ? ydx xdy ? ydx xdy ? ydx = ∫ ?∫ =0?∫ 2 2 2 2 L+L L1 L1 x +y x +y x2 + y2 xdy ? ydx 1 =∫? = 2 ∫ ? xdy ? ydx 2 2 L1 x +y r L1 1 2π 2 = 2 ∫ ( r cos 2 θ + r 2 sin 2 θ )dθ = 2π . r 0

平面曲线积分与路径无关的条件
设G为平面开区域,M0、M是G内任意两点,L是G 内从M0到M的分段光滑曲线,若曲线积分



L

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy

仅与曲线的端点有关而与积分的路径无关,则称该曲 线积分在G内与路径无关,否则即说与路径有关。

定理

设G是平面上的单连通

F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) ∈ C (1) ( G )
则以下四个条件等价: 1.对G内任意一条分段光滑曲线L,


2.曲线积分 无关;

L

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy ;



L

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy 在G内与路径

3.表达式 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 在G内是某个函数 的全微分,即存在u(x, y),使得

?Q ?P = 4. 在G内处处成立。 ?x ?y


du = P( x, y )dx + Q( x, y )dy

1?2。在G内任取两点M0和M,设L和L1(L≠L1)是
y

连接M0和M的任意两条曲线,则 L + L1? 是G内的一条闭曲线,则

L
M

M0 o

L1
x

0=∫

L + L1-

Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy + ∫ - Pdx + Qdy
L L1 L1

= ∫ Pdx + Qdy ? ∫ Pdx + Qdy
L

即,



L

Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy.
L1

2?3。设M0(x0, y0)、M(x, y)是G内任意两点,则由条 件,曲线积分



M 0M

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy

仅依赖曲线的端点,故记曲线积分为


u(x, y),即

(x, y) ( x0 , y 0 )

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy

固定(x0, y0),则上述积分仅为(x, y)的函数,记为

u ( x, y ) =



(x, y) ( x0 , y 0 )

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy .

因P(x, y), Q(x, y)为连续函数,故仅需证明

?u ?u = P ( x , y ), = Q ( x , y ), ?x ?y

从而证明了函数是可微的,并且有

du = P( x, y )dx + Q( x, y )dy.
令N(x+?x, y)为区域中的另外一点,由于积分与路径无 关,故从M0到N的积分可先到M再沿直线到N,因而

u( x + ?x, y) ? u( x, y) =

(∫

( x +?x , y )

( x0 , y0 )

?∫

( x, y )

( x0 , y0 )

)

y M N

P( x, y)dx + Q( x, y)dy

=∫

( x +?x , y )

( x, y )

P( x, y)dx + Q( x, y)dy
o

M0 x

=∫

( x +?x , y )

( x, y )

P( x, y)dx = P( x + θ?x, y)

再由偏导的定义

?u u ( x + ?x, y ) ? u ( x, y ) P( x + θ?x, y )?x = lim = lim ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x ?x = lim P( x + θ?x, y ) = P( x, y ),
?x → 0

同理可得,

?u = Q ( x , y ). ?y

3?4。由3,知函数u(x, y)为某一函数的全微分,即

?u ?u = P( x, y), = Q( x, y), ?x ?y
由函数P,Q有连续偏导,即有

?2u ?P( x, y) ?2u ?Q( x, y) , = = = ?x?y ?y ?y?x ?x
?Q ?P ? = . ?x ?y

4?1。设L是G内的任意一条光滑闭曲线,则由格林公 式,得

? ?Q ?P ? ∫ L P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = ∫∫ ? ?x ? ?y ? dσ = 0. ? D ?
g

例6 证明曲线积分 与路径无关,并求

∫ (x
L

4

+ 4 xy 3 )dx + ( 6 x 2 y 2 ? 5 y 4 ) dy

∫(


(3,0)

?2, ?1

(x )

4

+ 4 xy 3 )dx + ( 6 x 2 y 2 ? 5 y 4 ) dy.

令 P = x 4 + 4 xy 3 , Q = 6 x 2 y 2 ? 5 y 4 ,则

Qx = 12 xy 2 , Py = 12 xy 2 = Qx ,
故,曲线积分与路径无关。



L

x 4 + 4 xy 3 )dx + ( 6 x 2 y 2 ? 5 y 4 ) dy (
3 ?2

=∫

x ? 4 x )dx + ∫ ( 54 y 2 ? 5 y 4 ) dy = (
4 0 ?1

例7 设O(0, 0), A(1, 1),且曲线积分

I =∫
解 则,

OA

ax cos y ? y 2 sin x ) dx + ( by cos x ? x 2 sin y ) dy (

与路径无关,求a, b的值,并求I。 令

P = ax cos y ? y 2 sin x, Q = by cos x ? x 2 sin y

Py = ? ax sin y ? 2 y sin x, Qx = ?by sin x ? 2 x sin y
由条件得,a=b=2。此时

I =∫
1 0

OA

ax cos y ? y 2 sin x ) dx + ( by cos x ? x 2 sin y ) dy (
1 0

= ∫ 2 xdx + ∫ ( 2 y cos1 ? sin y )dy = 2cos1.


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