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河南省郑州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(理科)(Word版含解析)


河南省郑州市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷(理科)
一、选择题 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,则复数 z= A.第一象限 B.第二象限
2

在复平面内对应的点所在的象限为() C.第三象限 D.第四象限

2. (5 分)设 X~N(500,60 ) ,P(X≤440)=0.16,则 P(X≥

560)=() A.0.16 B.0.32 C.0.84 D.0.64 3. (5 分)用反证法证明命题“自然数 a,b,c,中恰有一个偶数”时,需假设() A.a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 D.a,b,c 至少有两个偶数 4. (5 分)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=﹣x+8,则 f(5)+f′(5) =()

A.

B. 1

C. 2

D.0

5. (5 分)某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提 供的全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 =8.5x+7.5,则表中的 m 的值 为() x y A.50

2 25 B.55

4 35

5 m C.60 ,则 f′(x)是()

6 55 D.65

8 75

6. (5 分)若函数 f(x)= A.仅有最小值的奇函数 B. 仅有最大值的偶函数 C. 既有最大值又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数

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7. (5 分)由曲线 y= A.

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为() B. 4
3

C.

D.6

8. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的最大值、最小值分别是() A.1,﹣1 B.1,﹣17 C.3,﹣17 D.9,﹣19 9. (5 分)某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方案种数为() A.14 B.24 C.28 D.48 10. (5 分)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个 直角坐标系中,不可能正确的是()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球,有放回的每次摸取一个球,定义 数列{an}: 的概率为() A. B.
3 2

,如果 Sn 为数列{an}的前 n 项之和,那么 S7=3

C.

D.

12. (5 分)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 2 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6

二、填空题 13. (5 分) 的展开式中 x 的系数是.
3

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14. (5 分)设 ξ 是一个离散型随机变量,其概率分布列如下: ξ ﹣1 0 1 P 0.5 q
2

则 q=. 15. (5 分)设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为 件下,事件 B 发生的概率为 ,则事件 A 发生的概率为. ,在事件 A 发生的条

16. (5 分)设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai(i=1,2,3,4) ,P 是该四边 形内一点, 点 P 到第 i 条边的距离记为 ,

类比上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱 锥内的一点, 点 Q 到第 i 个面的距离记为 di, 若 等于.

三、解答题 17. (10 分)设复数 z= ,若 z +az+b=1+i,求实数 a,b 的值.
2

18. (12 分)已知 是 10:1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 的项.

(n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比

*

19. (12 分)某市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果 统计如下: API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为 S(单位:元) ,空气质量指数 API 为 ω,在 区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型 (当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元, 当 API 为 200 时, 造成的经济损失为 700 元) ; 当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元. (1)试写出 S(ω)表达式;
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(2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率; (3)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 2 P(K ≥kc) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 Kc K= 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 重度污染 合计
2

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

100

20. (12 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱 子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机 摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) . 21. (12 分)当 n∈N 时, (Ⅰ)求 S1,S2,T1,T2; (Ⅱ)猜想 Sn 与 Tn 的关系,并用数学归纳法证明. 22. (12 分)已知函数 f(x)=lnx+x . (Ⅰ)求 h(x)=f(x)﹣3x 的极值; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)设 F(x)=2f(x)﹣3x ﹣k,k∈R,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) , 且满足 2x0=m+n,问:函数 F(x)在(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求 出该切线方程,若不能,请说明理由.
2 *

,Tn=

+

+

+…+



河南省郑州市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,则复数 z= A.第一象限 B.第二象限 在复平面内对应的点所在的象限为() C.第三象限 D.第四象限

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考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则及其几何意义即可得出. 解答: 解:复数 z= = = = 在复平面内对应的点

所在的象限为第四象限. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则及其几何意义,属于基础题. 2. (5 分)设 X~N(500,60 ) ,P(X≤440)=0.16,则 P(X≥560)=() A.0.16 B.0.32 C.0.84 D.0.64 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 分析: 利用正态分布的对称性即可得出. 解答: 解:∵μ=500,σ =60 ,即 σ=60. 根据正态分布的对称性 P(X≥μ﹣3σ)=P(X≤μ﹣3σ)=0.16. 故选 A. 点评: 正确理解正态分布的对称性是解题的关键. 3. ( 5 分)用反证法证明命题“自然数 a,b,c,中恰有一个偶数”时,需假设() A.a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 D.a,b,c 至少有两个偶数 考点: 反证法. 专题: 推理和证明. 分析: 直接利用反证法的定义,写出结果即可. 解答: 解:用反证法证明命题“自然数 a,b,c,中恰有一个偶数”时,需假设:a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数. 故选:C. 点评: 本题考查反证法的定义,利用反证法证明命题的步骤,基本知识的考查. 4. (5 分)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=﹣x+8,则 f(5)+f′(5) =()
2 2 2

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A.

B. 1

C. 2

D.0

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出 f′(5) ,将切点坐标代入切线方程求 出 f(5) . 解答: 解:f′(5)=﹣1 将 x=5 代入切线方程得 f(5)=﹣5+8=3, 所以 f(5)+f′(5)=3+(﹣1)=2, 故选:C 点评: 本题考查导数的几何意义:函数在切点处的导数值是切线的斜率. 5. (5 分)某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提 供的全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 =8.5x+7.5,则表中的 m 的值 为() x y A.50

2 25 B.55

4 35

5 m C.60

6 55 D.65

8 75

考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 计算样本中心点,根据线性回归方程恒过样本中心点,列出方程,求解即可得到结 论. 解答: 解:由题意, = =5, = =38+ ,

∵y 关于 x 的线性回归方程为 =8.5x+7.5, 根据线性回归方程必过样本的中心, ∴38+ =8.5×5+7.5, ∴m=60. 故选:C. 点评: 本题考查线性回归方程的运用,解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点, 这是线性回归方程中最常考的知识点.属于基础题.

6. (5 分)若函数 f(x)= A.仅有最小值的奇函数 B. 仅有最大值的偶函数 C. 既有最大值又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数

,则 f′(x)是()

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考点: 简单复合函数的导数. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求导, 转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值, 再利用函数 的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴f (x)=cos2x+cosx=2cos x+cosx﹣1= 最小值
′ ′ 2

, ,当 cosx= 时,f (x)取得


;当 cosx=1 时,f (x)取得最大值 2.
′ ′



且 f (﹣x)=f (x) .即 f (x)是既有最大值,又有最小值的偶函数. 故选 C. 点评: 熟练掌握复合函数的导数、 二次函数型的函数的最值、 三角函数的单调性及函数的 奇偶性是解题的关键. 7. (5 分)由曲线 y= A. ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为() B. 4 C. D.6

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键, 要确定出曲线 y= , 直线 y=x ﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 解答: 解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为: .故选 C.

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点评: 本题考查曲边图形面积的计算问题, 考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考 查学生的转化与化归能力和运算能力, 考查学生对定积分与导数的联系的认识, 求定积分关 键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题. 8. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的最大值、最小值分别是() A.1,﹣1 B.1,﹣17 C.3,﹣17 D.9,﹣19 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 3 分析: 求导,用导研究函数 f(x)=x ﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的单调性,利用单调性 求函数的最值. 解答: 解:f′(x)=3x ﹣3=0,x=±1, 3 故函数 f(x)=x ﹣3x+1[﹣3,﹣1]上是增函数,在[﹣1,0]上是减函数 又 f(﹣3)=﹣17,f(0)=1,f(1)=﹣1,f(﹣1)=3. 故最大值、最小值分别为 3,﹣17; 故选 C. 点评: 本题考点是导数法求函数最值. 此类解法的步骤是求导, 确定极值点, 研究单调性, 求出极值与区间端点的函数值,再比较各数的大小,选出最大值与最小值. 9. (5 分)某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方案种数为() A.14 B.24 C.28 D.48 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 法一:用直接法,4 人中至少有 1 名女生包括 1 女 3 男及 2 女 2 男两种情况,计算 各种情况下的选派方案种数,由加法原理,计算可得答案; 法二:用排除法,首先计算从 4 男 2 女中选 4 人的选派方案种数,再计算 4 名都是男生的选 派方案种数,由排除法,计算可得答案. 解答: 解:法一:4 人中至少有 1 名女生包括 1 女 3 男及 2 女 2 男两种情况, 故不同的选派方案种数为 C 2?C 4+C 2?C 4=2×4+1×6=14; 法二:从 4 男 2 女中选 4 人共有 C 6 种选法,4 名都是男生的选法有 C 4 种, 4 4 故至少有 1 名女生的选派方案种数为 C 6﹣C 4=15﹣1=14. 故选 A. 点评: 本题考查简单的排列组合,建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除 法,以避免直接的分类不全情况出现. 10. (5 分)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个 直角坐标系中,不可能正确的是()
4 4 1 3 2 2 2 3

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A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 本题可以考虑排除法,容易看出选项 D 不正确,因为 D 的图象,在整个定义域内, 不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样 的函数. 解答: 解析:检验易知 A、B、C 均适合,不存在选项 D 的图象所对应的函数,在整个定 义域内,不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不 具有这样的函数,故选 D. 点评: 考查函数的单调性问题. 11. (5 分)口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球,有放回的每次摸取一个球,定义 数列{an}: 的概率为() A. B. C. D. ,如果 Sn 为数列{an}的前 n 项之和,那么 S7=3

考点: 等可能事件的概率. 专题: 常规题型;概率与统计. 分析: S7=3 说明共摸球七次,只有两次摸到红球,由于每次摸球的结果数之间没有影响, 故可以用独立事件的概率乘法公式求解. 解答: 解:由题意 S7=3 说明共摸球七次,只有两次摸到红球, 因为每次摸球的结果数之间没有影响,摸到红球的概率是 ,摸到白球的概率是 所以只有两次摸到红球的概率是 =

故选 B 点评: 本题考查独立事件的概率乘法公式,考查学生分析解决问题的能力,确定 S7=3 说 明共摸球七次,只有两次摸到红球是关键.

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12. (5 分)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 2 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 函数在某点取得极值的条件;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: 求导数 f′(x) ,由题意知 x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,从而关于 f(x)的 2 方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 有两个根,作出草图,由图象可得答案. 2 2 解答: 解:f′(x)=3x +2ax+b,x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,不妨设 x2>x1, 2 由 3(f(x) ) +2af(x)+b=0,则有两个 f(x)使等式成立,x1=f(x1) ,x2>x1=f(x1) , 如下示意图象: 如图有三个交点, 故选 A.
2

3

2

点评: 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解,考查数形结合思想. 二、填空题 13. (5 分) 的展开式中 x 的系数是 24.
3

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 求出
3

的通项公式为 Tr+1=

,令

,求

出 r 的值,即可求得 x 的系数. 解答: 解:由于 的展开式的通项公式为

Tr+1= 令

=
3


3

,解得 r=2,故 T4=24 x ,故展开式中 x 的系数是 24,

故答案为:24. 点评: 本题考查二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,求 出通项公式为 Tr+1= ,是解题的关键,属于中档题.
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14. (5 分)设 ξ 是一个离散型随机变量,其概率分布列如下: ξ ﹣1 0 1 P 0.5 q
2

则 q= .

考点: 离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题;阅读型. 分析: 根据随机变量的概率非负不大于 1,且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和 等于 1,列出方程和不等式,解方程组即可. 解答: 解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 1, 0.5+1﹣ q+q =1 0≤1﹣ q≤1 q ≤1③ ∴解一元二次方程得 q= 或 1, 而 1 代入②③不合题意,舍去, 故答案为: . 点评: 本题主要考查了分布列的简单应用, 通过解方程组得到要求的变量, 这与求变量的 分布列是一个相反的过程,但是两者都要用到分布列的性质,属于中档题.
2 2

① ②

15. (5 分)设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为 件下,事件 B 发生的概率为 ,则事件 A 发生的概率为 .

,在事件 A 发生的条

考点: 专题: 分析: 解答:

条件概率与独立事件. 计算题;概率与统计. 根据题意,结合条件概率公式加以计算即可得到事件 A 发生的概率. 解:根据题意,得 ,P(AB)= ,P(A|B)=

∵P(A|B)=

∴ =

,解得 P(B)=

=

故答案为:

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点评: 本题给出事件 A、B 同时发生的概率和 A 发生的条件下 B 发生的概率,求事件 A 的概率,着重考查了条件概率及其应用的知识,属于基础题. 16. (5 分)设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai(i=1,2,3,4) ,P 是该四边 形内一点, 点 P 到第 i 条边的距离记为 ,

类比上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱 锥内的一点, 点 Q 到第 i 个面的距离记为 di, 若 . 等于

考点: 类比推理. 专题: 计算题. 分析: 由 可得 ai=ik,P 是该四边形内任意一点,将 P 与四边形的四

个定点连接, 得四个小三角形, 四个小三角形面积之和为四边形面积, 即采用分割法求面积; 同理对三棱值得体积可分割为 5 个已知底面积和高的小棱锥求体积. 解答: 解:根据三棱锥的体积公式 得: 即 S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V, ∴ , ,





故答案为:



点评: 本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力. 解题的关键是理 解类比推理的意义,掌握类比推理的方法.平面几何的许多结论,可以通过类比的方法,得 到立体几何中相应的结论.当然,类比得到的结论是否正确,则是需要通过证明才能加以肯 定的. 三、解答题 17. (10 分)设复数 z= ,若 z +az+b=1+i,求实数 a,b 的值.
2

考点: 复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 专题: 计算题.
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分析: 先将 z 按照复数代数形式的运算法则,化为代数形式,代入 z +az+b=1+i,再根据 复数相等的概念,列出关于 a,b 的方程组,并解即可. 解答: 解:z=
2 2

2

=

=

=

=1﹣i

z +az+b=(1﹣i) +a(1﹣i)+b=a+b﹣(a+2)i=1+i ∴ 解得

点评: 本题考查了复数代数形式的混合运算,复数相等的概念,属于基础题. 18. (12 分)已知 是 10:1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 的项. (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比
*

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项,求出第五项的系数与第 三项的系数,根据已知条件列出方程,求出 n 的值,将 n 的值代入二项式,给二项式中的 x 赋值 1,求出展开式中各项系数的和. (2)令二项展开式的通项中的 x 的指数为 ,求出 r 的值,将 r 的值代入通项求出展开式中 含 的项.

解答: 解:由题意知,展开式的通项为

则第五项系数为 Cn ?(﹣2) ,第三项的系数为 Cn ?(﹣2) 则有 ,化简,得 n ﹣5n﹣24=0
2

4

4

2

2

解得 n=8 或 n=﹣3(舍去) (1)令 x=1,得各项系数的和为(1﹣2) =1 (2)令 ,则 r=1
8

故展开式中含

的项为

点评: 求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项公式; 求二项展开 式的各项系数和问题,一般通过观察,通过赋值的方法来解决.

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19. (12 分)某市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果 统计如下: API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为 S(单位:元) ,空气质量指数 API 为 ω,在 区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型 (当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元, 当 API 为 200 时, 造成的经济损失为 700 元) ; 当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元. (1)试写出 S(ω)表达式; (2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率; (3)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 2 P(K ≥kc) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 Kc K= 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 重度污染 合计
2

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

100

考点: 独立性检验. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1)根据在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造 成经济损失成直线模型(当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元,当 API 为 200 时,造 成的经济损失为 700 元) ;当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元,可得函数关系式; (2)由 500<S≤900,得 150<ω≤250,频数为 39,即可求出概率; (3)根据所给的数据,列出列联表,根据所给的观测值的公式,代入数据做出观测值,同 临界值进行比较,即可得出结论. 解答: 解: (1)根据在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业 造成经济损失成直线模型(当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元,当 API 为 200 时, 造成的经济损失为 700 元) ;当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元,可得 S(ω)

=



(2)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元”为事件 A; 由 500<S≤900,得 150<ω≤250,频数为 39, ∴P(A)= ;

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(2)根据以上数据得到如表: 非重度污染重度污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季63 7 70 合计 85 15 100 K 的观测值 K =
2 2

≈4.575>3.841

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. 点评: 本题考查概率知识,考查列联表,观测值的求法,是一个独立性检验,我们可以利 用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设, 若值较大就拒绝假设, 即拒绝两个事件无 关. 20. (12 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱 子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机 摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (I)设“在 X 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=,0,1,2,3) ,“在 1 次游戏 中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3,求出相应的概率,再相加即可求得结果; (II)在 2 次游戏中获奖次数 X 的取值是 0、1、2,根据上面的结果,代入公式得到结果, 写出分布列,求出数学期望. 解答: (I)解:设“在 X 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=,0,1,2,3) ,“在 1 次 游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3, 又 P(A3)= ,P(A2)= = ,

且 A2,A3 互斥,所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = (II)解:由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 所以 X 的分布列是 X 0 P X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× = .



1

2

点评: 本题考查古典概型及共概率计算公式, 离散型随机变量的分布列数学期望、 互斥事 件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.

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21. (12 分)当 n∈N 时, (Ⅰ)求 S1,S2,T1,T2; (Ⅱ)猜想 Sn 与 Tn 的关系,并用数学归纳法证明. 考点: 数学归纳法;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.

*

,Tn=

+

+

+…+



分析: (Ⅰ)由已知直接利用 n=1,2,求出 S1,S2,T1,T2 的值; (Ⅱ)利用(1)的结果,直接猜想 Sn=Tn,然后利用数学归纳法证明,①验证 n=1 时猜想 成立;②假设 n=k 时,Sk=Tk,通过假设证明 n=k+1 时猜想也成立即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵当 n∈N 时, Tn= + + +…+ . ,T1= = ,T2= + = (2 分)
*



∴S1=1﹣ = ,S2=1﹣ + ﹣ = (Ⅱ)猜想:Sn=Tn(n∈N ) ,即: 1﹣ + ﹣ +…+
* *



=

+

+

+…+

(n∈N ) (5 分) 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,已证 S1=T1(6 分) * ②假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N ) , 即:1﹣ + ﹣ +…+ 则:Sk+1=Sk+ = = = + + + +…+ + ﹣ +…+ + + +( +…+
*



= =Tk+ ﹣ ﹣ +

+

+ ﹣

+…+

(8 分) (10 分)

(11 分) ) =Tk+1,

由①,②可知,对任意 n∈N ,Sn=Tn 都成立. (14 分) 点评: 本题是中档题,考查数列递推关系式的应用,数学归纳法证明数列问题的方法,考 查逻辑推理能力,计算能力. 22. (12 分)已知函数 f(x)=lnx+x . (Ⅰ)求 h(x)=f(x)﹣3x 的极值; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)设 F(x)=2f(x)﹣3x ﹣k,k∈R,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) , 且满足 2x0=m+n,问:函数 F(x)在(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求 出该切线方程,若不能,请说明理由.
2

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考点: 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导数,利用极值的定义,求 h(x)=f(x)﹣3x 的极值; (Ⅱ)根据题意写出 g(x)再求导数,由题意知 g′(x)≥0,x∈(0,+∞)恒成立,转化为 a≤2x+ ,再利用基本不等式求右边的最小值,即可求得实数 a 的取值范围; (Ⅲ)先假设 F(x)在(x0,F(x0) )的切线平行于 x 轴,其中 F(x)=2lnx﹣x ﹣kx.结
2

合题意列出方程组,利用换元法导数研究单调性,证出 ln <

在(0,1)上成

立,从而出现与题设矛盾,说明原假设不成立.由此即可得到函数 F(x)在(x0,F(x0) ) 处的切线不能平行于 x 轴. 解答: 解: (Ⅰ) 由已知, , 所以 h(x)极小值=h(1)=﹣2, (Ⅱ)因为 g(x)=f(x)﹣ax=lnx+x ﹣ax,属于 g′(x)= +2x﹣a 由题意知,g′(x)≥0,x∈(0,+∞)恒成立,即 a≤(2x+ )min 又 x>0,2x+ ≥2 故(2x+ )min=2 ,当且仅当 x= ,所以 a≤2
2 2

,令

=0,得

时等号成立

(Ⅲ)设 F(x)在(x0,F(x0) )的切线平行于 x 轴,其中 F(x)=2lnx﹣x ﹣kx

结合题意,有

①﹣②得 2ln ﹣(m+n) (m﹣n)=k(m﹣n)

所以 k= 由④得 k=

﹣2x0, ﹣2x0

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所以 ln =

…⑤

设 u= ∈(0,1) ,得⑤式变为 lnu﹣ (u∈(0,1) ) ,可得 y′=

=0(u∈(0,1) ) ,

设 y=lnu﹣

>0,

所以函数 y=lnu﹣

在(0,1)上单调递增,

因此,y<y|u=1=0,即 lnu﹣

<0,也就是 ln <

此式与⑤矛盾

所以函数 F(x)在(x0,F(x0) )处的切线不能平行于 x 轴. 点评: 本题给出含有对数符号的基本初等函数函数, 讨论了函数的单调性并探索函数图象 的切线问题, 着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识, 属于中档题.

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