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高二数学尖子生辅导资料(13)


4、已知函数 f ( x) ?

3 ? ax (a ? 1). a ?1
; .

(1)若 a>0,则 f ( x) 的定义域是

(2) 若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 4、 【答案】 ??, ? , ? a

? ?

>3? ?

(1) 由 ? ??,0 ? ? ?1,3?【解析】 当 a>0 时, 3 ? ax ? 0 得 x ?

3 ,所以 f ( x) a

的定义域是 ? ??, ? ; a

? ?

3? ?

(2) 当 a>1 时,由题意知 1 ? a ? 3 ;当 0<a<1 时,为增函数,不合; 当 a<0 时, f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数.故填 ? ??,0 ? ? ?1,3 ? .

5、设函数 f ? x ? ? x ? .对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范

1 x

围是



5、 【答案】 ? ??, ?1? . 【解析】解法 1.显然 m ? 0 ,由于函数 f ? x ? ? x ? 是增函数, 则当 m ? 0 时, f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 不恒成立,因此 m ? 0 . 当 m ? 0 时,函数 h ? x ? ? f ? mx ? ? mf ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 是减函数, 因此当 x ? 1 时, h ? x ? 取得最大值 h ?1? ? m ?

1 对 x ? ?1, ?? ? x

1 , m

于是 h ? x ? ? f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 恒成立等价于 h ? x ? x ? ?1, ?? ? 的最大值 ? 0 ,

?

?

1 ? ? m ? ? 0, 1 m 即 h ?1? ? m ? ? 0 , ? 解 得 m ? ?1 . 于是实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? . m ? m ? 0, ?
解 法 2 .然 m ? 0 , 由 于 函 数 f ? x? ? x?

1 对 x ? ?1, ?? ? 是 增 函数 , 则当 m ? 0 时 , x

f ? mx? ? mf? x ? 0 不成立,因此 m ? 0 . ?

1 m 1 ? m 2 2m 2 x 2 ? 1 ? m 2 f ? mx ? ? mf ? x ? ? mx ? ? mx ? ? 2mx ? ? ? 0, mx x mx mx
因为 x ? ?1, ?? ? , m ? 0 ,则 2m2x 2 ?1 ? m2 ? 0 ,设函数 g ? x ? ? 2m x ? 1 ? m ,则
2 2 2

当 x ? ?1, ?? ? 时为增函数,于是 x ? 1 时, g ? x ? 取得最小值 g ?1? ? m ? 1 .
2

解?

? g ?1? ? m 2 ? 1 ? 0, ? 得 m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? . m ? 0, ? ?

解法 3.因为对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 恒成立,所以对 x ? 1 ,不等式

f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 也成立,于是 f ? m ? ? mf ?1? ? 0 ,即 m ?

1 ? 0, m

1 ? ? m ? ? 0, 解? 得 m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? . m ? m ? 0, ?

6、设函数 f ? x ? ? x ? 1 .对任意 x ? ? , ?? ? , f ? ? ? 4m f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? 恒成立,则实数 m 的
2
2

?3 ?2

? ?

?x? ?m?

取值范围是



6 、【 答 案 】 ? ??, ? ?

? ?

? 3? ? 3 ? U ? , ?? ? .【 解 析 】 解 法 1 . 不 等 式 化 为 ? 2? ?2 ?

?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? 0 ,即 ?m?

? x ? 1?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 , m2

整理得 ?1 ?

? ?

1 ? ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 2 m ?

因为 x 2 ? 0 ,所以 1 ?

1 2x ? 3 2x ? 3 ?3 ? ? 4m 2 ? ,设 g ? x ? ? , x ? ? , ?? ? . 2 2 2 m x x ?2 ?

于是题目化为 1 ?

1 ?3 ? ? 4m2 ? g ? x ? ,对任意 x ? ? , ?? ? 恒成立的问题. 2 m ?2 ? 2x ? 3 1 2 ?3 ? , x ? ? , ?? ? 的最大值.设 u ? ,则 0 ? u ? . 2 x x 3 ?2 ?
2

为此需求 g ? x ? ?

函数 g ? x ? ? h ? u ? ? 3u ? 2u 在区间 ? 0, ? 上是增函数,因而在 u ? 处取得最大值. 3 ? 3?

?

2?

2

4 2? 2 8 1 8 ?2? h ? ? ? 3? ? ? ,所以 1 ? 2 ? 4m2 ? umax ? x ? ? , 9 3 3 m 3 ?3?
整理得 12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,即 4m ? 3 3m ? 1 ? 0 ,
2 2

?

??

?

所 以 4m2 ? 3? 0, 解 得 m ? ?

3 3 或 m? ,因此实数 m 的取值范围是 2 2

? ? 3? ? 3 m ? ? ??, ? , ?? ? . ? U? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
解法 2.同解法 1,题目化为 1 ?

1 ?3 ? ? 4m2 ? g ? x ? ,对任意 x ? ? , ?? ? 恒成立的问题. 2 m ?2 ?

为此需求 g ? x ? ?

2x ? 3 ?3 ? , x ? ? , ?? ? 的最大值. 2 x ?2 ?

4t 4 ? t ? 6t ? 9 t ? 9 ? 6 . t 9 9 3 因为函数 t ? 在 ? 3, ?? ? 上是增函数,所以当 t ? 6 时, t ? 取得最小值 6 ? . t t 2 4 8 1 8 ? 2 3 从 而 h ?t ? 有 最 大 值 3 . 所 以 1 ? 2 ? 4m ? g max ? x ? ? , 整 理 得 6? ?6 m 3 2
设 t ? 2 x ? 3 ,则 t ? ? 6, ?? ? .

g ? x ? ? h ?t ? ?

2

12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,
即 4m ? 3 3m ? 1 ? 0 ,所以 4m2 ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?
2 2

?

??

?

3 3 或m ? , 2 2

因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ? ?

? ?

? 3? ? 3 , ?? ? . ? U? ? 2 ? ? 2 ?

解法 3.不等式化为 f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ?

?x? 2 ? ? 4m f ? x ? ? 0 ,即 ?m?

? x ? 1?
? ?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 , 2 m

整理得 ?1 ?

1 ? ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , m2 ? 1 ? ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 . 2 m ?

令 F ( x) ? ?1 ?

? ?

由于 F ? 0 ? ? ?3 ? 0 ,则其判别式 ? ? 0 ,因此 F ? x ? 的最小值不可能在函数图象的顶点 得到, 所以为使 F ( x) ? 0 对任意 x ? ? , ?? ? 恒成立,必须使 F ? 即实数 m 应满足

?3 ?2

? ?

?3? ? 为最小值, ?2?

? ? 1 ?1 ? 2 ? 4 2 ? 0 ; m ? m ? ?3? ? ? F ? ? ? 0; ? ?2? ? 2 3 ? ? ? 2 ?1 ? 1 ? 4m 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? m
解得 m ?
2

? ? 3? ? 3 3 , ?? ? . ,因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ? ? U? ? ? 2 ? ? 2 4 ? ?

解法 4.(针对填空题或选择题)由题设,因为对任意 x ? ? , ?? ? ,

?3 ?2

? ?

?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? 恒成立, ?m?
则对 x ?

3 ,不等式 2

?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? 也成立, ?m? ? 3 ? 2 f? ? ? 4m f 2m ? ? ?3? ?1? ? ? ? f ? ? ? 4 f ? m ? ,即 ?2? ?2?

把x?

3 代入上式得 2

9 9 1 ? 1 ? 4m2 ? ? 4m2 ? ? 1 ? 4m2 ? 4 ,因为 4m2 ? 0 ,上式两边同乘以 4m 2 ,并 2 4 4 4m
整理得

3 2 2 或 12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,即 ? 4m ? 3?? 3m ? 1? ? 0 ,所以 4m2 ? 3 ? 0 ,解得 m ? ? 2 m? 3 , 2

因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ? ?

? ?

? 3? ? 3 , ?? ? . ? U? ? 2 ? ? 2 ?

8、已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . 2| x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2 t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围. 8、[解] (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ?

1 . 2x

…… 2 分

1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , 2x
…… 6 分

解得 2 x ? 1 ? 2 .

? 2 x ? 0 ,? x ? log 2 1 ? 2 .

?

?

…… 8 分

1 ? 1 ? ? ? (2)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 , 2 ? 2 ? ? ?
即 m 2 2 t ? 1 ? ? 2 4t ? 1 .

…… 10 分

?

? ?

?

? 22t ? 1 ? 0 , ? m ? ? 22t ? 1 . ? t ?[ 1, 2 ], ? ? 1 ? 2 2 t ?[ ? 17, ? 5 ] ,
故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) .

?

?

…… 13 分

?

?

…… 16 分


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