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高中数学必修三课时训练:2.4 线性回归方程(含答案)


数学· 必修 3(苏教版)

第 2章
2.4

统计

线性回归方程

基 础 巩 固 1.下列关系中,是相关关系的有( )

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条

件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④

解析:根据变量相关关系的定义,可知学生学习态度与学习成绩 之间是相关关系.教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系.而 身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系,也不 是函数关系. 答案:A

2. 在一组样本数据(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)(n≥2, x1, x2, …, xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在 1 直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( 2 A.-1 B.0 C. 1 D.1 2 )

答案:D

3.观察下列变量 x,y 的散点图:

如图所示的两个变量具有相关关系的是( A.(2)(3) B.(1)(2) C.(2)(4) D.(3)(4)

)

解析: (1)不具有相关关系; (2)具有线性相关关系; (3)是函数表示; (4)是非线性相关关系,选 C. 答案:C

4.在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时一般有下列步骤:① 对所求的回归方程作出解释;②收集数据(xi,yi)(i=1, 2,…,n); ③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图, 如果根据可靠性要求能够判定变量 x,y 具有线性相关性,则下列操作 顺序正确的是( ) B.③②④⑤① D.②⑤④③①

A.①②⑤③④ C.②④③①⑤

解析:根据线性回归分析的思想,可以对两个变量 x,y 进行线性 回归分析时,应先收集数据(xi,yi),然后绘制散点图,再求相关系数 和线性回归方程,最后对所求的回复方程作出解释,因此选 D. 答案:D

5.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统 计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了如下的对照表.

气温 x(℃) 用电量 y(度)

18 24

13 34

10 38

-1 64

由表中数据,得回归直线方程 ^ y =^ bx+^ a ,若 ^ b =- 2 ,则 ^ a= ________.

18+13+10-1 解析:∵- x= =10, 4

24+34+38+64 - y= =40, 4 ∴40=-2×10+^ a ,∴^ a =60. 答案:60

6.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到的回归直 线方程 y^=bx+a,那么下面说法不正确的是________. ①直线 y^=bx+a 必经过点(x,y); ②直线 y^=bx+a 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中 的一个点; ③直线 y^=bx+a Σ x y -nx y i=1 i i 的斜率为 n 2 ; 2 Σ x - nx i=1 i
n

④直线 y^=bx+a 与各点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的总偏 差 i= Σ1[yi- (bxi+ a)]2 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小 的直线.
n

解析:回归直线一定过点(x,y),但不一定要过样本点. 答案:②

7.某医院用光电比色计检查尿汞时,得尿汞含量(毫克/升)与消光 系数如下表:

尿汞含量

2

4

6

8

10

x 消光系数 y (1)作散点图; (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归线直线方程; (3)估计尿汞含量为 9 毫克/升时消光系数. 64 138 205 285 360

解析:(1)见下图.

(2)由散点图可知 y 与 x 线性相关.设回归直线方程 y^=bx+a, 列表:

i xi yi x i yi

1 2 64 128

2 4 138 552

3 6 205

4 8 285

5 10 360

1 230 2 280 3 600

x=6,y=210.4, Σ x 2=220,Σ x y =7 790 i= 1 i i= 1 i i ∴b= 7 790-5×6×210.4 1 478 = =36.95. 40 220-5×62
5 5

∴a=210.4-36.95×6=-11.3. ∴回归方程为 y^=36.95x-11.3. (3)当 x=9 时,y^=36.95×9-11.3=321.25≈321. 即估计原汞含量为 9 毫克/升时消光系数约为 321.

能 力 升 级 8.某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师 用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

解析:儿子和父亲的身高列表如下: 父亲身 173 高 儿子身 170 高 设回归直线方程^ y =a+bx,由表中的三组数据可求得 b=1,故 a =y-bx=176-173=3,故回归直线方程为^ y =3+x,将 x=182 代入 176 182 170 176

得孙子的身高为 185 cm. 答案:185

9.某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进 行了 10 次实验,数据如下:

玩具个 数 加工时 间 4 7 12 15 21 25 27 31 37 41 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

若回归方程的斜率是 b,则它的截距是________.

解析:∵a=- y -b- x ,而由表中数据可求得- x =11,- y =22,∴a =22-11b. 答案:22-11b

10.炼钢是一个氧化降碳的一个过程,钢水含碳量的多少直接影 响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系,如果已 测的炉料熔化完毕时,钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y(从炉料熔化完毕 到出钢的时间)的一组数据如下表所示:

x(0.01%) y(min)

104 100

180 200

190 210

177 185

147 155

134 135

150 170

191 205

204 235

121 125

(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规

律吗? (2)若 x 与 y 线性相关,求回归直线方程: (3)预测当钢水含碳量为 160(0.01%)时,应冶炼多少分钟?

解析:(1)以 x 轴表示含碳量,y 轴表示冶炼时间,可作数点图如 图所示.

从图中可以看出,各点散布在一条直线附近,即 x 与 y 线性相关. (2) 设所求回归直线方程为 ^ y = bx + a.∵ - x = 159.8 , - y = 172 ,

xiyi=287 640.

xi2=265 448, ∵b=

≈1.267,

a=- y -b- x ≈-30.47.故所求的回归直线方程为^ y =1.267x-30.47. ^ (3)当 x=160 时, y =1.267×160-30.47=172.25≈173.即大约要冶 炼 173 分钟.

11. 1971 年至 1980 年, 某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如 下表: 年度 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 年收入 x/亿 元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 皮鞋销售额 y/ 万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0

求 y 对 x 的回归直线方程.

解析:

序号

x

y

x2

xy

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 379.7

25 30 34 37 39 41 42 44 48 51 391

1 036.84 967.21 1 082.41 1 281.64 1 376.41 1 444.00 1 521.00 1 849.00 1 989.16 2 116.00 14 663.67

805.0 933.0 1 118.6 1 324.6 1 446.9 1 558.0 1 638.0 1 892.0 2 140.8 2 346.0 15 202.9

b=

Σ x y -nx y i= 1 i i Σ x 2-nx2 i= 1 i
n

n



15 202.9-10×37.97×39.1 14 663.67-10×37.972

≈1.447. a=y-bx=39.1-1.447×37.97≈-15.842 6. 所以 y 对 x 的回归直线方程为:y^=1.45x-15.84.

12.某 5 名学生的数学和化学成绩如下表: 学 生 学科 数学成绩 /x 化学成绩 /y (1)画出散点图; (2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程. A 88 B 76 C 73 D 66 E 63

78

65

71

64

61

解析:(1)散点图为:

(2)

序号 1 2 3 4 5 Σ
n

x 88 76 73 66 63 366

y 78 65 71 64 61

x2 7 744 5 776 5 329 4 356 3 969

xy 6 864 4 940 5 183 4 224 3 843

339 27 174 25 054

Σ x y -nx y 25 054-5×73.2×67.8 i= 1 i i b= n 2 = ≈0.624 869, 2 2 27 174 - 5 × 73.2 Σ x -nx i= 1 i a=y-bx=67.8-0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以 y 对 x 的回归直线方程为 y^=0.62x+22.06.

13.某城市预测 2010 年到 2014 年人口总数与年份的关系如下表 所示: 年份 201x(年) 人口总数 y(十 万) 0 5 1 7 2 8 3 11 4 19

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回 归方程^ y =bx+a; (3)据此估计 2015 年该城市人口的总数.

(参考数据:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,02+12+22 +32+42=30)

解析:(1)据表画出数据的散点图如下图所示.

1 1 (2)由表可知- x = (0+1+2+3+4)=2, - y = (5+7+8+11+19) 5 5 =10.

∴b= a=- y -b- x =36

14.在某种产品表面进行腐蚀性试验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时 间 t 之间对应的一组数据: 时间 t/s 深度 y/μm 5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 50 19 60 23 70 25 90 29 120 46

(1)画出散点图; (2)试求腐蚀深度 y 与时间 t 的回归直线方程.

解析: (1)如下图

, (2)经计算可得

t≈46.36,y≈19.45, b=

=36 750,

=13 910.

Σ t y -11×t y i= 1 i i
Σ t 2-11×t2 i= 1 i
11

11



13 910-11×46.36×19.45 36 750-11×46.362

≈0.3. a=y-bt=19.45-0.3×46.36≈5.542. 故所求的回归直线方程为 y^=0.3t+5.542.


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