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【教师原创整理】江苏省南通市2015届高三数学总复习优秀资源课件:第32讲 等差数列


第32讲 等差数列

江苏省南通第一中学

主要内容
一、聚焦重点 等差数列的定义,知三求二的策略. 二、廓清疑点 等差数列前n项和Sn 的最值中,如何确定n的值. 三、破解难点 等差数列性质的应用.

聚焦重点:等差数列的定义

基础知识
文字语言:
如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项 的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.

符号语言: an ? an?1 ? d (n ≥ 2)

问题研究

如何判断一个数列是等差数列?

经典例题1
例1 已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q, 其中 p、q 为常数,判断数列{an}是否是等差数列?若是, 写出这个等差数列的首项与公差;若不是,请说明理 由.

思路分析
例 1 已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q,其中 p、q 为常数,判断数列{an}是否是等差数列?若是, 写出这个等差数列的首项与公差;若不是,请说明理 由.

思路 1:分别计算a2-a1,a3 - a2,?

此法不妥! 没有必要! 没有根据!

思路 2:计算 an ? an?1( n ≥ 2 ) .
思路 3:对字母p、q分类讨论.
思路 4:直接由通项公式判断.

求解过程
解(选用思路 2) 任取数列{an}中相邻两项 an 与 an-1(n≥2) , 作差,得 an-an-1=( pn+q)-[p(n-1)+q] = pn+q-(pn-p+q)=p. an-an-1 是一个与 n 无关的常数, 所以,数列{an}是等差数列, 这个数列的首项是 p+q,公差为 p.

回顾反思
(1)思想方法:回到定义去!

(2)基本策略:作差! an- an -( 1 n≥2)为常数.
(3)思维误区:逐一作差;无根据判断. (4)思维定势:见字母就讨论.

经典例题2
例2 式. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n2-2n,求

证:数列{an}是等差数列,并求其首项、公差和通项公

思路分析
例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n2-2n,求 证:数列{an}是等差数列,并求其首项、公差和通项公 式.

思路1:由Sn求an,化归为例1情景. 思路2:根据Sn是二次函数,且常数项为0,直接判断.

思路2没有根据

求解过程
解 当 n=1 时,a1=S1=3-2=1. 当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1 =(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5.
∵n=1 满足 an=6n-5, ∴数列{an}的通项公式为 an=6n-5. ∴an-an-1=6(n≥2). ∴数列{an}成等差数列,首项为 1,公差为 6.

回顾反思
(1)思想方法:化归转化(由Sn向an转化) (2)思维误区:由Sn是二次函数(常数项0)直接判断

(3)思维瑕点:由an =Sn- Sn- 求通项,忽视n=1
1

聚焦重点:知三求二的策略

基础知识
1.等差数列的通项公式 如果等差数列?an ? 的首项是 a1,公差是 d ,则等差 数列的通项公式为 an ? a1 ? ( n ? 1)d .

2.等差数列的前n项和公式 n(a1 ? an ) (1) Sn ? 2 n( n ? 1) ( 2) Sn ? a1n ? d 2

问题研究
对于等差数列{an}中的a1,d,n,an,Sn,如

何由其中已知的三个量求出其余两个量?

经典例题3
例 3 在等差数列{an}中, 已知公 1 差 d= ,n=37,Sn=629,求 a1 及 an. 3

思路分析
例3 在等差数列{an}中, 已知公
Sn ? na1 ?

1 差 d= ,S37=629,求 a1 及 a37. 3

n(n ? 1) d 2

思路1(通法):将已知条件直接代入an与Sn的公 式,解方程(基本量思想,方程思想). 思路2(通法):将Sn中的量统一到基本量a1、d 后 再用公式,解方程(基本量思想,方程思想).

求解过程
解法一 1 将 d= ,S37=629 代入通 3

项公式 an 及前 n 项和 Sn 中,得

1 ? a1 ? (37 ? 1) ? ? a37 , ? ? 3 ? ? 37 ? (a1 ? a37 ) ? 629. ? 2 ?
? a1 ? 11, 解这个方程组,得 ? ? a37 ? 23.

求解过程
解法二 在等差数列{an}中, 1 将 d= ,S37=629 代入前 n 项和 3
n(n ? 1) Sn ? na1 ? d ,得 2 37 ? 36 1 Sn ? 37a1 ? ? =629, 2 3

解得 a1=11.
1 将 a1=11,n=37,d= 代入 3

an= a1+(n-1)d,得 a37=23.

回顾反思
(1)解题关键:合理选用公式,抓住基本量. (基本量思想) (2)思想方法:基本量思想、方程思想. (3)通性通法:方法一、二均是通法.

方法一思维量小,运算量相对较大; 思维经济
运算经济 方法二思维量相对较大,运算量小. (4)基本题型:等差数列中,由五个量a1,d,n, an,Sn中的三个可求出其余两个(知三求二),

共10种题型.

廓清疑点:如何确定n的值

问题研究
在求等差数列前n项和Sn的最值中,
如何确定n的值 ?

基础知识
n(a1 ? an ) 等差数列前 n 项的和 Sn ? 可变形为 2 n( n ? 1) Sn ? a1n ? d, 2 d 2 d 进一步变形,得 Sn ? n ? (a1 ? )n . 2 2 当 d≠0 时, Sn 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.

方法扫描
等差数列{an}中,有关Sn的最值问题的处理方法:
1. 借助二次函数求Sn最值.

2. “邻项变号法”
? am ≥ 0, (1)当 a1>0,d<0 时,满足 ? 的项数 m 使得 S m 取最大值; ? am ?1 ≤ 0 ? am ≤ 0, (2)当 a1<0,d>0 时,满足 ? 的项数 m 使得 S m 取最小值. ? am ?1 ≥ 0

经典例题
例 4 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 已知 a3=3, S5=15,求 Sn 的最大值?

思路分析
例 4 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 已知 a3=3, S5=15,求 Sn 的最大值?

思路一: 先由a3、S5求基本量a1,d,再将Sn表示为
关于项数n的二次函数,求这个二次函数的最值. 思路二 : 判断数列首项为正数且是单调递减的,将

求数列前n项和Sn的最大值问题转化为找数列{an}中的
哪些项为非负即可.(邻项变号法)

将a3、S5用基本 量a1、d表示

求解过程

解法一

因为在等差数列{an}中, a3=3, S5=15,

? a1 ? 2d ? 3, ? a1 ? 11, ? 所以, ? 解得 ? 5? 4 5a1 ? d ? 15 . ? d ? ?4. ? 2 ?

n(n ? 1) , ? Sn ? 11n ? ? (?4) ? ?2n 2 ? 13n 2 13 2 169 ? ?2(n ? ) ? . 4 8

思考:如果 Sn=-2(n-3.5)2+16, 如何求n?

由于 n ? N

*



所以,当n=3时,Sn取最大值21.

求解过程
解法二 在等差数列{an}中,a3=3,S5=15,
? a1 ? 2d ? 3, ? 所以 ? 5? 4 5a1 ? d ? 15 . ? 2 ?

? a1 ? 11, 解得 ? ? d ? ?4.

? an ? 11 ? (n ? 1) ? (?4) ? ?4n ? 15 .
? an ? ?4n ? 15 ≥ 0 , 由? ? an?1 ? ?4(n ? 1) ? 15 ≤ 0, 由于 n ? N* ,
11 15 得 ≤n≤ . 4 4

所以,当 n=3 时,Sn 取最大值 21.

(1)基本方法:

回顾反思

①将Sn用关于n的二次函数表示并求其最值. ②(邻项变号法)将求Sn的最大值问题转化为相 邻两项的正负问题,解不等式组. (2)方法比较:

法一思维经济简捷,求二次函数最值方法多;
法二邻项变号,解不等式组方便实用.

(3)思维误区:法一容易忽视自变量n的取值范围为
正整数集,或忽视n的取值可能有2个的情景.

破解难点:等差数列性质的应用

问题研究
如何应用等差数列的性质,优化解题过程?

基础知识
等差数列{an}有下列常用性质: 1. 如果 an 是等差数列的第 n 项, am 是等差数列的第 m 项(m≠n) , 公差为 d,则有

an=am+(n-m)d (其中m、n∈N*).
an ? am 可变形为 d ? . n?m

基础知识
2.等差数列{an}中,与首末两项等距离的两项的和等于首末 两项的和,即

a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? .
????? ????? ? a , a2 , a3 ,?, an?2 , an?1 , an 如图所示: 1 ? ?? ? ???? ?
a2 ? an ?1 a1 ? an

警示:若m+n=t,则 am+an=at是错误的!

特别地:若 n+m=p+q(m、n、p、q∈N*) ,则 an+am=ap+aq;若 m+n=2p,则 an+am=2 ap.

经典例题5
例 5 在等差数列{an}中,若 a5=6,a8=15, 求 a14 与 S27.

思路分析
例5 求 a14 . 在等差数列{an}中,若 a5=6,a8=15,

思路1:(通性通法)由a5、a8先求a1、d,再求a14. 思路2:(用等差数列性质)利用 an=am+(n-m)d 直接求d,再求a14. 思路3:(用等差数列性质) a5,a8,a11,a14看成 一个新等差数列的前4项,公差是a8 -a5 , 从而直接求a14.

求解过程
解法一 根据等差数列的通项公式及 a5=6,a8=15,得关于 a1 和 d 的方程组

? a5 ? a1 ? 4d ? 6, ? ? a8 ? a1 ? 7d ? 15. ? a1 ? ?6, 解方程组,得 ? ? d ? 3.

? a14 ? a1 ? 13d ? 33.

求解过程
解法二(用等差数列性质) 注意 a8=a5+(8-5)d, 故 15=6+3d. 解得 d=3. 所以 a14=a5+(14-5)d=6+9× 3=33.
方法二比 方法一经 济!

求解过程
解法三(等差数列的性质) 等差数列 {an} 中, a5 , a8 , a11 , a14 成等差数列,可得 a14 ? a5 ? (4 ? 1)(a8 ? a5 )
? 6 ? 3 ? (15 ? 6) ? 33 .
方法三比方法二经济! a11设而 不求!

回顾反思
(1)通性通法:方法一先求基本量首项与公差,是
通性通法,但运算量比后两种方法大.

(2)方法比较:方法二实际上是方法一的改良,其
回避了求a1(因a1非必求量) . (3)辩证思维:方法三辩证地将a5,a8,a11,a14看 成一个新等差数列的前4项,a11设而不求,思维 灵活,要求高.方法三具有局限性.

总结提炼
知识与内容
一、聚焦重点:等差数列的定义,知三求二的策略. 二、廓清疑点:等差数列前n项和Sn的最值中,如何 确定n的值. 三、破解难点:等差数列性质的应用.

总结提炼
思想与方法 (1)通性通法 (2)基本量思想,方程思想. (3)化归转化思想 (4)辩证思维(来源于细心观察、分析) (5)设而不求

总结提炼
绿色思维(思维过程优化,解题过程优化): (1)合理的思维程序(有序观察、结构差异分析、 解题目标引领). (2)有效的解题策略(倡导通性与通法).

(3)经济的解题结果(简洁迅捷,合乎题意).
(4)正确的表达程序 .





同步练习
1. 设 等 差 数 列 {an} 中 , a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 , 求
a 3 ? a13 及 S15 的值.

2.项数为奇数的等差数列{an}中,奇数项和为 80, 数项和为 75,求此数列的中间项与项数. 3.在等差数列{an}中,已知 a4+a7+a10 =17,a4+a5 +a6+?+a14 = 77,若 ak=13,则 k 等于 A.16 B.18 C.20 D.22 4.等差数列 {an}满足 3a4 ? 7a7 ,且 a1 ? 0 ,求使前 n 项和 Sn 最大时对应的 n 的值. 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n,判断数列 {an}是否为等差数列?

参考答案
1. a 3 ? a13 =-4;S15=-30

2.中间项为5,项数为31 3. B 4. 9 5.数列{an}是等差数列


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