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高二数学必修五第三章直线与方程(导学案)


第三章 直线与方程
§ 3.1.1 倾斜角与斜率

学习目标:1、理解直线的倾斜角的定义,知道直线的倾斜角的范围;2、 理解直线的斜率,掌握过两点的直线的斜率公式;3、掌握直线的斜率和 倾斜角之间的关系,能有直线的斜率求出直线的倾斜角,也能由直线的倾 斜角求出直线的斜率。 问题探究(1) 在平面直角坐标系中,一条直线的位置有哪些条件确定? :

/>
问题探究(2) 倾斜角的定义是什么?其范围是什么? :

问题探究(3) 斜率的定义是什么?每条直线都有斜率吗? :

问题探究(4) 斜率公式: : (1) , (2) 。 例1、 求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角: (1)A(2,7) ,B(3,6) ; (2)C(4,3) ,D(4,-5) 。

变式训练 1、求经过下列两点的直线的倾斜角: (1)A(-1,3) ,B(0,3 ? 3 ) ; (2)C ( 0, c ) ,D (

3b, c ? b)

1

例 2 、 已 知 经 过 A ( m,2 ) ,B(-m,2m-1) 的 直 线 的 倾 斜 角 为 ? , 且 45 ? ? ? 1 3 5 ,试求实数 m 的取值范围。
0 0

变式训练 2、 (1)若直线 k 的斜率满足 3
3

?k? 3

,求该直线的倾斜角

?


的范围是 (2) 斜率为 3

? cos ? 3

; 的直线的倾斜角的取值范围是

例 3、已知直线的一个方向向量为 a= (

3,?3) ,求直线的倾斜角和斜率。

变式训练 3、求过点 M(3,2)和 N(-1,4)的直线的斜率,并写出他的一 个方向向量。

本节小结:

2

§ 3.1.2 两条直线平行于垂直的判定

学习目标:1、通过创设的问题情境,探究平面内两直线的平行或垂直关 系的判定;2、掌握两直线平行或垂直的判定。 问题探究(1) :在初中平面几何中有哪些方法可以判定两条直线是平行 的?哪些几何图形中有两条边所在的直线是垂直的?

问题探究(2) 对于两条不重合的直线 : 则

l 、l
1

2

,其斜率分别为

k ,k
1

2



l // l ?
1

2



问题探究(3) :对于两条不重合的直线 则

l 、l
1

2

,其斜率分别为

k ,k
1

2



l ?l ?
1

2



问题探究(4) :对于两条不重合的直线

l 、l
1

2

,若他们的斜率都不存在,

则这两条直线是什么关系?若有一条斜率不存在,另一条斜率为 0,则他 们又是什么关系?

例 1、 (1)已知直线 别求当 1 //

l 的斜率为 3,直线 l
1

2

过点 A(1,2) ,B(2,a) ,分

l

l ,l ? l
2
1

2

时 a 的值。

(2)已知直线 1 过点(-2,-1)(-2,5) 、 ,直线 请判断两直线的位置关系。

l

l

2

过点(-4,3)(0,3) 、 ,

3

变式 1、已知经过点 A(-2,0)和点 B(1,3a)的直线 -1)和点 Q(a,-2a)的直线

l 与经过点 P(0,
1

l

2

互相垂直,求 a 的值。

例2、 已知三点 A(3,5) ,B(4,7) ,C(-1,-3) ,这三点是否在一条直 线上,为什么?

例3、 四边形 ABCD 是平行四边形,已知 A(1,5) ,B(-1,1)C(3,2) , 求 D 点的坐标。

变式 2、已知三角形 ABC 的顶点 B(2,1) ,C(-6,3) ,其垂心为 H(-3,2) 求顶点 A 的坐标。

本节小结:

4

§ 3.2.1 直线的点斜式方程
学习目标: 理解直线方程的点斜式、 1、 斜截式的形式特点和使用范围; 2、 能正确利用直线的点斜式、斜截式的形式特点求直线的方程;3、体会直 线的斜截式方程与一次函数的关系。 问题探究(1) 在平面直角坐标系中,只有斜率或倾斜角能否确定一条直 、 线?如果不能,还需知道哪些条件才能确定一条直线?

问题探究(2) 、若直线上有一点 P ( x , y ) ,且斜率为 0 0 0 程是 ;若其斜率不存在直线方程是 线经过点(0,b),且斜率为 k,直线方程是 距与距离有何区别?

k ,则该直线的方
;若直 。截

问题探究(3) 、两条直线平行时他们的斜率有何关系?垂直时他们的斜率 又有何关系? 例1、 求满足下列条件的直线的方程: (1) 经过点

(? 2,? 3) ,倾斜角为
y?

3? ; 4

(2) 与直线

1 x ? 3 垂直,在 y 轴上的截距为 4。 2

5

变式训练 1、已知三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,3) ,B(4,1) , C(1,-2) ,求 AB 边上的高线所在直线的方程。

例2、 直线 过点 P(-2,3)且与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B 若 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 的方程。

l

l

变式训练 2、 求斜率为 3 , 且与坐标轴所围成的三角形的周长为 12 的直线

4

l 的方程。

本节小结:

6

§ 3.2.2 直线的两点式方程

学习目标:1、掌握直线方程的两点式的形式特点及使用范围;2、了解直 线方程截距式的形式特点及使用范围;3、会用两点式与截距式表示直线 方程。 问题探究(1) :直线 l 经过点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,并且 x 1 1
用上节学过的知识得到该直线的方程?

? x , y ? y 如何
2
1 2

问题探究(2) 直线 l 经过点 P (a,0), P (0, b) ,并且 ab : 1 2
的方程?

? 0 ,如何得到直线
; 。

问题探究(3) :直线的两点式方程 直线的截距式方程
例 1、已知两点 A,B 的坐标,求以下直线的方程。 (1)A(-1,2) ,B(0,3) 。 (2)A(-1,2) ,B(m,3)。

变式训练 1、三角形 ABC 的顶点 A(0,5) ,B(2,-2) ,C(-6,4) ,求 BC 边上的中线所在的直线的方程。

7

例2、 三角形的顶点是 A(-5,0) 、B(3,-3) 、C(0,2) ,求这个三角 形三边所在直线的方程.

变式训练 2:直线 l 经过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程.

例 3、直线 l 经过点(3,2),与两坐标轴正半轴交于 A,B 两点,求三角形 ABO 面积的 最小值.

变式训练 3:已知直线的斜率为 1 ,且和坐标轴围成面积为 3 的三角形,

6
则该直线的方程为 。

本节小结:
8

§ 3.2.3 直线的一般式方程

学习目标:1、掌握直线方程的一般式,理解直线方程一般式的几何特征 与代数特征;2、掌握直线方程一般式与其他形式之间的关系,并能相互 转化。 问题探究(1) 直线的一般式方程 : 。 问题探究(2) 其他四种直线方程与一般式方程怎样转化?需要注意哪些 : 转化的等价条件? 问题探究(3) 二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)中,当 A、 : B、C 中有部分为 0 时,直线的位置有何特殊性?
例 1、设直线的方程为 (m 2

? 2m ? 3) x ? (2m ? m ? 1) ? 2m ? 6 ,当直
2

线在 x 轴上的截距为-3 时,求实数 m 的值。

变式训练 1:设直线的方程为 (m ? 2m ? 3) x ? (2m ? m ? 1) ? 2m ? 6 ,当直线
2 2

的斜率为 1 时,求实数 m 的值。

例 2、已知 A(2,2)和直线 l:3x+4y-20=0,求: (1)过点 A 和直线 l 平行的 直线方程; (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程。

9

变式训练 2:求过点(1,0)且和直线 x-2y-2=0 平行的直线方程。

例 3、已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的

方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( A.-2 B.-7 C.3

) D.1

变式训练 3:已知直线 l1、l2 的方程分别为 x+ay+b=0,x+cy

+d=0,其图象如图所示,则有(

)

A.ac<0

B.a<c

C.bd<0

D.b>d

本节小结:

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§ 3.3.1 两直线的交点

学习目标: 会求两直线的交点, 1、 并能用交点判断两直线的位置关系; 2、 了解两直线夹角的概念。 问题探究(1) 初中用代数方法求两直线的交点的坐标是如何解的? : 问题探究(2) 两直线的交点个数与两直线的位置关系有什么联系? : 例 1、判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1) 直线 l1:2x-3y+10=0, l2:3x+4y-2=0; (2) 直线 l1:3x-4y+1=0, l2:6x-8y-9=0。

变式训练 1:求经过点(2,3)且经过直线 l1:x+3y-4=0 与 l2:5x+2y+6=0 的 交点的直线方程。

例 2、若直线 5x+4y=2m+1 与直线 2x+3y=m 的交点位于第四象限,求实数 m 的取值范围。

11

变式训练 2:两条直线 ax+y-4=0 与 x-y-2=0 相交于第一象限,求实数 a 的 取值范围是 。

例 3、 当 ? 变化时,方程 3 x ? 4 y ? 2 ? ? ( 2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形? 图形有何特点?这个问题的一般性结论是什么?

变式训练 3:若 m ? R ,则直线 ( 2m ? 1) x ? ( m ? 3) y ? ( m ? 11) ? 0 恒过定 点的坐标是 。

本节小结:

12

§ 3.3.2 两点间的距离

学习目标:1、理解两点间的距离公式的推导,熟悉掌握两点间的距离公 式;2、系统认识坐标法,能利用坐标法解决几何问题。 问题探究 (1)平面上两点 P ( x , y ) , ( x , y ) 间的距离公式 : P
1 1 1



2

2

2

问题探究 (2) 平面上两点 P ( x , y ) , ( x , y ) , : 则向量 P
1 1 1

2

2

2

PP =
1 2

,

PP
1

2

=



问题探究(3) 当 P1P2 垂直于 x 轴或平行于 x 轴时,两点间的距离若何表 : 示? 例 1、求与 A(32,10) ,B(42,0) ,C(0,0)等距离的点的坐标。

变式训练 1:已知点 A(-2,-1),B(a,3)且线段 AB 的长为 5,求实数 a 的值。

例2、 已知点 A(1,2),B(3,4) ,C(5,0),判断三角形 ABC 的形状。
13

变式训练 2:已知点 A(7,8),B(10,4) ,C(2,-4),则 BC 边上的中线 AM 的长为 。

例3、 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2) ,B(2,3),C(-2,-1) , 求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长。

变式训练 3:已知点 A(2,-3) ,若点 P 在直线 x-y-7=0 上,求线段 AP 长 的最小值

本节小结:

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§ 3.3.3 点到直线的距离

学习目标:1、理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线距离公 式;2、会用点到直线的距离公式求解两条平行直线间的距离;3、能用解 析法求点关于另一个点对称的点的坐标及关于某一条直线对称的点的坐 标。 问题探究(1) 点的直线的距离公式 :

问题探究(2) 两条平行线的距离公式 : 例 1、已知三角形 ABC 的顶点 A(0,-1),B(1,2),C(-3,5),求三角形 ABC 的 面积。

变式训练 1:若点(2,k)到直线 5x-12y+6=0 的距离为 4,则 k 的值 是 。

例 2、设直线 l1:Ax+By+C1=0,l2: Ax+By+C2=0。求证:l1 与 l2 之间的距离 为d

?

C ?C A ?B
1 2 2


2

15

变式训练 2:求与直线 x+y-1=0 距离为 2 的直线的方程。

例 3、求点 P(2,3)关于直线 y=x+4 对称的点 Q 的坐标。

变式训练 3:已知直线 l:3x-y+3=0,求点 P(4,5)关于直线 l 的对称点。

本节小结:
16

17


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