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课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习课时知能训练3-7


课时知能训练
一、选择题 1.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac, 则角 B 的值为( π π A.6 B.3 π 5π π 2π C.6或 6 D.3或 3 2.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° B.60° C.45° D.30° 3.若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ ABC( ) B.一定是直角三角形 D.△ABC 的形状不确定 ) )

A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形

图 3-7-2 4.(2011· 天津高考)如图 3-7-2 所示,△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值为( 3 A. 3 6 C. 3 3 B. 6 6 D. 6 )

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° ,c = 2a,则( A.a>b C.a=b ) B.a<b D.a 与 b 大小不能确定

二、填空题 π 1 6. (2011· 北京高考)在△ABC 中, b=5, 若 ∠B=4, A=3, a=________. sin 则

7.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b = 3,A+C=2B,则 sin A=________. π 8.△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c,若 a=2,A=3,则△ ABC 面积的最大值为________. 三、解答题 9.(2011· 江苏高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. π (1)若 sin(A+6)=2cos A,求 A 的值; 1 (2)若 cos A=3,b=3c,求 sin C 的值. 10.(2012· 济南调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 1 已知 cos 2C=-4. (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 11.(2011· 江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acos A=ccos B+bcos C. (1)求 cos A 的值; 2 3 (2)若 a=1,cos B+cos C= 3 ,求边 c 的值.

答案及解析
a2+c2-b2 , 2ac

1. 【解析】

由余弦定理,cos B=

3 由 a2+c2-b2= 3ac,∴cos B= 2 , π 又 0<B<π,∴B=6. 【答案】 A

2. 【解析】

1 3 S△ABC=2×3×4sin C=3 3,∴sin C= 2 .

∵△ABC 是锐角三角形,∴C=60° . 【答案】 3. 【解析】 B 由 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,

得 a∶b∶c=5∶11∶13, 不妨令 a=5,b=11,c=13. ∵c2=169,a2+b2=52+112=146,∴c2>a2+b2, 根据余弦定理,易知△ABC 为钝角三角形. 【答案】 4. 【解析】 C 设 AB=a,∴AD=a,BD= 4 2a2-3a2 2a2 2 4 a,BC=2BD= a, 3 3

cos A=

AB +AD -BD = 2AB· AD

2

2

2

1 =3,

2 2 ∴sin A= 1-cos2A= 3 . AB 3 2 2 6 由正弦定理知 sin C=BC· A= 4 × 3 = 6 . sin 【答案】 5. 【解析】 D ∵∠C=120° ,c= 2a,

∴由余弦定理,( 2a)2=a2+b2-2abcos 120° , 因此 ab=a2-b2=(a-b)(a+b)>0, ∴a-b>0,故 a>b. 【答案】 6. 【解析】 【答案】 7. 【解析】 A a b bsin A 5 由正弦定理,sin A=sin B,得 a= sin B =3 2. 5 3 2 在△ABC 中,A+B+C=π,且 A+C=2B,

π ∴3B=π,B=3, a b asin B 1 由正弦定理,sin A=sin B,∴sin A= b =2.

【答案】 8. 【解析】

1 2 由余弦定理知,22=b2+c2-bc,即 b2+c2=bc+4,

∴2bc≤bc+4,∴bc≤4, 1 π 3 ∴△ABC 的面积 S=2bcsin 3= 4 bc≤ 3. 【答案】 9. 【解】 3 π π (1)由题设知 sin Acos 6+cos Asin 6=2cos A,

从而 sin A= 3cos A, ∴cos A≠0,tan A= 3, π 又 0<A<π,所以 A=3. 1 (2)由 cos A=3,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccos A, 得 a2=b2-c2. π 故△ABC 是直角三角形,且 B=2. 1 所以 sin C=cos A=3. 10. 【解】 1 1 (1)由 cos 2C=-4,得 1-2sin2C=-4,

5 10 ∴sin2C=8,又 0<C<π,∴sin C= 4 . (2)当 a=2,2sin A=sin C 时, a c 由正弦定理sin A=sin C,得 c=4. 1 由 cos 2C=2cos2C-1=-4及 0<C<π, 6 得 cos C=± 4 . 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 b2± 6b-12=0, 解得 b= 6或 2 6. 所以 b= 6,c=4 或 b=2 6,c=4.

11. 【解】 (1)由 3acos A=c· B+b· C 及正弦定理, 3sin Acos A=sin cos cos 得 C· B+sin B· C=sin(B+C), cos cos ∵B+C=π-A,且 sin A≠0, 1 ∴3cos A· A=sin A,则 cos A=3. sin 1 2 2 (2)由 cos A=3得 sin A= 3 , 1 2 2 则 cos B=-cos(A+C)=-3cos C+ 3 sin C, 2 3 代入 cos B+cos C= 3 ,得 cos C+ 2sin C= 3, 从而得 sin(C+φ)=1, 3 6 π 其中 sin φ= 3 ,cos φ= 3 ,0<φ<2, π 6 则 C+φ=2,于是 sin C= 3 . asin C 3 由正弦定理得 c= sin A = 2 .


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