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吉林一中2013届高三数学复习资料模拟题二【会员独享】


高三数学模拟题二
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、已知集合 M ? { y | y ? x } , N ? { y | x ? y

? 2} ,则 M ? N =(
2 2 2



A、 {( 1, 1), ( ? 1, 1)}

B、 {1}

C、 [ 0 , 1]

D、 [ 0 ,

2]

2、已知复数

1? z 1? z

? i ,则 z 的虚部为(
B、 ? 1
2

) D、 ? i

A、1

C、 i

2 3、已知命题 p:关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0 有实根,命题 q:关于 x 函数 y ? 2 x ? ax ? 4

在 [ 3 , ? ? ) 上为增函数, “p 或 q” 若 为真命题, 且 q” “p 为假命题, 则实数 a 取值范围为 ( A、 ( ? 12 , ? 4 ] ? [ 4 , ? ? ) C、 ( ?? , ? 12 ) ? ( ? 4 , 4 )
2 2 2



B、 [ ? 12 , ? 4 ] ? [ 4 , ? ? ) D、 [ ? 12 , ? ? )
2

4、已知抛物线 y ? 4 x 的准线是圆 x ? y ? 2 px ? 16 ? p ? 0 的一条切线,则圆的另一条 垂直于 x 轴的切线方程为( ) A、x=7 B、x=-9 C、x=7 或 x=-9 5 、 已 知 函 数 f 1 ( x ) ? 3 s i n2(x ?
f 1 ( x ) ? f 2 ( x ) 的振幅为(

D、x=-7 或 x=9

?
3

) , f 2 ( x ) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) , 则 函 数 f ( x) ?

) C、7 D、13

A、 13

B、5

6、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 E、F 分别为棱 DD1、BB1 上的动点,且 BF=D1E,设 EF 与 AB 所成角为 ? ,EF 与 BC 所成的角为 ? ,则 ? ? ? 的最 小值为( A、 45 ? C、 90 ? ) B、 60 ? D、无法确定 A
1

D1 B1

C
1

E

D
用心 爱心 专心

F
-1-

C

A

B

?x ? 0 ? 7、已知点 M ( a , b ) 在不等式组 ? y ? 0 确定的平面区域内,则点 N ( a ? b , a ? b ) 所 ?x ? y ? 2 ?
在平面区域的面积是( A、1 B、2 ) C、4 D、8

8、已知等差数列 { a n } 与等比数列 { b n } 各项都是正数,且 a 1 ? b1 , a 2 n ? 1 ? b 2 n ? 1 ,那么一定有 ( ) B、 a n ? 1 ? b n ? 1 C、 a n ? 1 ? b n ? 1
( x ? 2) ( x ? 2)

A、 a n ? 1 ? b n ? 1

D、 a n ? 1 ? b n ? 1

? 1 ? 9、定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ?1 ?

,则 f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 的交点为

( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、 ( x 3 , y 3 ) 且 x 1 ? x 2 ? x 3 ,则下列说法错误的是(



A、 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 14
2 2 2

B、 1 ? x 2 ? x 3 ? 0

C、 x 1 ? x 3 ? 4

D、 x 1 ? x 3 ? 2 x 2

10、有 A、B、C、D、E、F 六个人依次站在正六边形的六个顶点上传球,从 A 开始每次可随意 传给相邻的两人之一,若在 5 次之内传到 D,则停止传球。若 5 次之内传到 D(含 5 次) 则可出现的不同传球种数为( ) A、6 B、7 C、8 D、9 11. 椭圆 M:
PF 1 ? PF 2
x a
2 2

?

y b

2 2

=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆 M 上任一点,且

2 2 的最大值的取值范围是[2c ,3c ],其中 c ?

a

2

?b

2

. 则椭圆 M 的离心率

e 的取值范围是
A、 [
3 3 , 2 2 ]

B、 [

2 2

, 1)

C、 [

3 3

, 1)

D、 [

1 3

,

1 2

)

12.数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , a n , a n ? 1 是方程 x ? ( 2 n ? 1) x ?
2

1 bn

? 0 的两个根,则数列 ? b n ? 的

前 n 项和 S n ? A、
1 2n ? 1

B、

1 n ?1

C、

n 2n ? 1

D、

n n ?1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

用心

爱心

专心

-2-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13 、 记 二 项 式 (1 ? 2 x ) 展 开 式 中 的 各 项 系 数 和 为 a n , 二 项 式 系 数 和 为 b n , 则
n

lim
n? ?

bn ? a n bn ? a n

=____________。
1 4 3

14、已知曲线 y ? 15、不等式

x ?
3

的切线 l 过点 A ( 2 , 4 ) ,则切线 l 的斜率为________。

3 x?2

x ? 4x ? 3
2

? 0 的解集为________________。

AO ? m AB ? n BC , m ? n 的值为________。 16、 O 为△ABC 的内心, AB=AC=5, 设 当 BC=6 时, 则

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 A 、 B 、 C 是 △ ABC 的 三 个 内 角 , 若 向 量

m

? (1 ? cos( A ? B ), cos

A? B 2 1 9

5 A? B ) , n ? ( , cos ) ,且 m 8 2

?n ?

9 8



(1)求证: tan A tan B ?



(2)求

ab sin C a ?b ?c
2 2 2

的最大值。

18、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? e ? ln( x ? 1)( x ? 0 ).
x

(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)已知 0 ? y ? x ,求证: e
x? y

? 1 ? ln( x ? 1) ? ln( y ? 1) 。

19、 (本小题满分 12)下表为某班英语及数学成绩的分布,学生共有 50 人,成绩分为 1~5 个 档次。例如表中所示英语成绩为 4 分且数学成绩为 2 分的学生共有 5 人,将全班学生的姓名 卡片混在一起,任取一张,该卡片学生的英语成绩为 x,数学成绩为 y,设 x、y 为随机变量 (注:没有相同姓名的学生) 。 y x 英 5 4 3 语 2 1 5 1 2 2 1 0 4 3 0 1 b 0 数 3 1 7 0 6 1 学 2 0 5 9 0 1 1 1 1 3 a 3

(1)分别求 x=1 的概率及 x≥3 且 y=3 的概率;

用心

爱心

专心

-3-

(2)若 y 的期望值为

133 50

,试确定 a、b 的值。

20、 (本小题满分 12)

AC ? BD ? O , 在四棱锥 P—ABCD 中, 已知 PA 垂直于菱形 ABCD 所在平面, 是 CD 的中点, M P
AB=PA=2a,AE⊥PD 于 PD 上一点 E。 (1)求证:ME∥平面 PBC; (2)当二面角 M—PD—A 的正切值为 6 时, 求 AE 与 PO 所成角。 A D O B C M E

21、 (本小题满分 12)在平面直角坐标系中,△ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别为 ( ? 1, 0 ) 、
(1, 0 ) , 平面内两点 G、 同时满足下列条件: GA ? GB ? GC ? 0 ; MA ? MB ? MC ; M ① ②

③ GM ∥ AB 。 (1)求△ABC 的顶点 C 的轨迹方程: (2)过点 P ( 3 , 0 ) 的直线 l 与点 C 的轨迹交于 E、F 两点,求 PE ? PF 的取值范围。

22、 (本小题满分 14) 定义数列如下: a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 , n ? N 。
2

*

证明: (1)对于 n ? N 恒有 a n ?1 ? a n 成立;
*

(2)当 n ? 2 且 n ? N 时,有 a n ? 1 ? a n a n ?1 ?? a 2 a 1 ? 1 成立;
*

(3)1 ?

1 a 2006

?

1 a1

?

1 a2

? ?? ?

1 a 2006

?1

参考答案: 一、选择题:DACCA 二、填空题:13、 ? 1 三、解答题:

CCBDC

AD 15、 ( ?? , ? 3 ) ? ( ? 1, 2 ] 16、
15 16

14、4 或 1

用心

爱心

专心

-4-

17、 (1)证明:由已知得 [1 ? cos( A ? B )] ?

5 8

? cos

2

A?B 2 ? 9 8

?

9 8



5 8

(1 ? cos A cos B ? sin A sin B ) ?

1 ? cos( A ? B ) 2



5 8

?

5 8

cos A cos B ?

5 8

sin A sin B ?

1 2

?

1 2

cos A cos B ?

1 2

sin A sin B ?

9 8

整理得 9 sin A sin B ? cos A cos B
? sin A sin B cos A cos B
2 2

?

1 9
2

即 tan A tan B ?

1 9

(2) ?

a ?b ?c 2 ab

? cos C
1 tan A ? tan B 2 1 ? tan A tan B

?

ab sin C a ?b ?c
2 2 2

?

sin C 2 cos C

?

1 2

tan C ? ?

1 2

tan( A ? B ) ? ?

=?

1 tan A ? tan B 2 1? 1 9

? ?

9 16

(tan A ? tan B )

? A 、、 为三角形内角

, tan A tan B ?

1 9

? 0

? tan A tan B ? 0

? tan A ? tan B ? 2 tan A tan B ?

2 3

当且仅当

tan A ? tan B ?

1 3

时取等号



ab sin C a ?b ?c
2 2 2

? ?

9 16

?

2 3

? ?

3 8

?

ab sin C a ?b ?c
2 2 2

的最大值为

?

3 8

x 18、 (1)? f ? ( x ) ? e ?

1 x ?1

又x ? 0

? f ?( x ) ? 0

故 f ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 上为增函数

? f ( x ) 的最小值为 f ( 0 ) ? 1

(2) ? 0 ? y ? x

?x? y ?0

用心

爱心

专心

-5-

由(1)得 f ( x ? y ) ? f ( 0 ) 即e
x? y

即e

x? y

? ln( x ? y ? 1) ? 1

? 1 ? ln( x ? y ? 1) (*)

下面证明 ln( x ? y ? 1) ? ln( x ? 1) ? ln( y ? 1)
? ln( x ? y ? 1) ? ln( y ? 1) ? ln( xy ? x ? y ? 1)
2

又 ( xy ? x ? y ? 1) ? ( x ? 1) ? xy ? y ? y ( x ? y ) ? 0
2 2

? ln( x ? y ? 1) ? ln( y ? 1) ? ln( x ? 1)

即 ln( x ? y ? 1) ? ln( x ? 1) ? ln( y ? 1)

由(*)式得 e

x? y

? 1 ? ln( x ? y ? 1) ? ln( x ? 1) ? ln( y ? 1) ,即得证

19、解: (1) P( x ? 1 ) ?

1? 3?1 50 8 50 ?

? 4 25

1 10

P( x ? 3 , y ? 3 ) ?

(2) P( x ? 2 ) ? 1 ? P( x ? 1 ) ? P( x ? 3 ) ? 1 ?
?a?b ?3

1 10

?

35 50

?

a?b?7 50

又5 ?

4 50

? 4?

b?4 50

? 3?

15 50

? 2?

15 50

? 1?

8?a 50

?

133 50

? a ? 4b ? 9

从而解得
? PA ? PD

20、 (1)证明:? PA ? 平面 ABCD

又 PA=AD=2a,AE⊥PD P E N A G O B C H D M

? AE 为 PD 的中线, 又 M 为 CD 的中点 ? AE∥PC 故 ME∥平面 PBC (2)过 M 作 MH⊥AD 于 H,

? PA⊥平面 ABCD
? HM ? 平面 PAD

? HM ? PA

过 H 作 HN⊥PD 于 N,连 MN 则 MN 在 平面 PAD 内的射影为 HN 故 HN⊥PD
? ? MNH 为二面角 M ? PD ? A 的平面角

故 tan ? MNH ?

6
DH ? a cos ?

设 ? CDA ? ? ,则 MH= a sin ?

用心

爱心

专心

-6-

在 Rt△ABC 中 NH=MH ? cot ? MNH ?

6 6

a sin ?

在 Rt△HND 中 即 a cos ? ?
2? 6 6

? ? NDH ? 45 ?

? HD ?

2 HN

a sin ?

? tan ? ?

3

故 ? ? 60 ?

取 OD 的中点 G,连 AG,EC

故 EG∥PO 且 EG=

1 2

OP

? ? AEG 为异面直线 AE 与 OP 所成角

? AO ?

1 2

AC ? a ,

AP ? 2 a

? PO ?

5a

? EG ?

5 2

a

? OG ?

1 2

OD ?

3 2

a

? AG ?

OA

2

? OG

2

?

7 2

a

? AE ?

2a

? cos ? AEG ?

AE

2

? EG

2

? AG

2

2a ?
2

5 4

a ?
2

7 4

a

2

2 ? AE ? EG

?

?

3 10 20

2 2a ?

5 2

a

故 AE 与 OP 所成的角为 arccos (注:用向量法做略)

3 10 20

21(1)设 C ( x , y ), G ( x 0 , y 0 ), M ( x m , y m )
? M 点在线段 AB 的中垂线上
? xm ? 0

? MA ? MB

由已知 A ( ? 1, 0 ) 、B (1, 0 )
? ym ? y0

又? GM ∥ AB

又 GA ? GB ? GC ? 0
GA ? GB ? GC ? 0

? ( ? 1 ? x 0 , ? y 0 ) ? (1 ? x 0 , ? y 0 ) ? ( x ? x 0 y , ? y 0 ) ? ( 0 , 0 ) 又 ? ( ? 1 ? x 0 , ? y 0 ) ? (1 ? x 0 , ? y 0 ) ? ( x ? x 0 y , ? y 0 ) ? ( 0 , 0 )
? ym ? y 3
2

? x0 ?

x 3

, y0 ?

y 3

? MB ? MC

?

( 0 ? 1) ? (
2

y 3

? 0)

2

?

(0 ? x ) ? (

y 3

? y)

2

用心

爱心

专心

-7-

?x ?
2

y

2

? 1( y ? 0 )

即顶点 C 的轨迹方程为 x ?
2

y

2

? 1( y ? 0 )

3

3

(2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3 ), E ( x 1 , y 1 ), F ( x 2 , y 2 )
? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 2 由? 2 得 ( k ? 3) x ? 6 k x ? 9 k ? 3 ? 0 y ?1 ?x ? 3 ?

得 x1 ? x 2 ?

6k
2

2

k ?3

, x1 x 2 ?

9k ? 3
2

k ?3
2

? △= ( 6 k ) ? 4 ( k ? 3 )( 9 k ? 3 ) ? 0
2 2 2 2

?k

2

?

3 8

,k ? 0

?0? k

2

?

3 8

而 PE ? PF ? PE PF ? cos 0 ? ?
2 2 2

1? k

2

3 ? x1
2

1? k

2

3 ? x2

? (1 ? k )
2

9 k ? 27 ? 18 k ? 9 k ? 3 k ?3
2

=

24 ( k ? 1) k
2

?3

? 24 ?

48 k ?3
2

? (8 ,

88 9

)

故 PE ? PF ? ( 8 ,

88 9

)

22、 (1)? a n ? 1 ? a n ? a n ? 1
2

? a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 a n ? 1 ? ( a n ? 1) ? 0
2 2

故 a n ?1 ? a n (2)下面先用数学归纳法证明 a n ? 2
1 ? 当 n ? 1,
2

a 1 ? 2 ? 2 成立

2 ? 假设当 n ? k ( k ? N )时 , a k ? 2
*

则 a k ?1 ? a k ? a k ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 综上所述, a n ? 2 成立。 又 a n ? 1 ? 1 ? a n ( a n ? 1),
即 a n ?1 ? 1 an ? 1 ? an

故当 n ? k ? 1 时, a n ? 2 成立

? a 2 ? 1 ? a 1 ( a 1 ? 1), a 3 ? 1 ? a 2 ( a 2 ? 1), ? a n ?1 ? 1 ? a n ( a n ? 1)

又由(1)得 a n ? 2

? an ? 1 ? 0

故上述 n 个等式相乘即得 a n ? 1 ? a n a n ?1

用心

爱心

专心

-8-

(3) a n ? 1 ? 1 ? a n ( a n ? 1)

?

1 a n ?1 ? 1

?

1 a n ( a n ? 1)

?

1 an ? 1

?

1 an

?

1 an

?

1 an ? 1 1 a2
? 1

?

1 a n ?1 ? 1
1 a 2006 ?( 1 a1 ? 1 1

又 a 2007 ? 1 ? a 1 a 2 ?? a 2006

?

1 a1

?

? ?+

?

1 a2 ? 1

)?(

1 a2 ? 1

?

1 a3 ? 1

) ? ?(

1 a 2006 ? 1

?

1 a 2007 ? 1

)

?

1 a1 ? 1

a 2007 ? 1

?1?

a 1 a 2 a 3 ? a 2006

?1

由(1)知 2 ? a 1 ? a 2 ? a 3 <??< a 2006
? a 1 a 2 a 3 ?? a 2006 ? 2
2006

?1?

1 a 2006

?

1 a1

?

1 a2

? ?? ?

1 a 2006

?1

用心

爱心

专心

-9-


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