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4月30号 高一数学 线性规划与基本不等式


线性规划与基本不等式
知识点:
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,直线 l:ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分: ①直线 l 上的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c=0; ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c>0; ③直线 l 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 ax+by+c<0. 在直

线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式, 则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为 测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点. 2.线性规划相关概念 名 称 目标函数 约束条件 线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意 义

欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不等式组 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数是关于变量的一次函数 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题

利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

双基自测
1.(人教 A 版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式表示为

A.2x-y-3<0

B.2x-y-3>0

C.2x-y-3≤0

D.2x-y-3≥0 ).

2.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的点是(

A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 3.如图所示,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( ).

? ?x+y-1≥0 A.? ?x-2y+2≥0 ?

? ?x+y-1≤0 B.? ?x-2y+2≤0 ?

? ?x+y-1≥0 C.? ?x-2y+2≤0 ?

? ?x+y-1≤0 D.? ?x-2y+2≥0 ?

4.(2011· 安徽)设变量 x,y 满足|x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值和最小值分别为( A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1

).

5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需付工资每人 40 元,现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,请工人的约束条件是________.

典型例题:

? ?y≥0, 例 1、直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20
A.0 个 B.1 个 C.2 个

x≥0

表示的平面区域的公共点有

D.无数个

0≤x≤2, ? ? 变式: 已知关于 x, y 的不等式组?x+y-2≥0, ? ?kx-y+2≥0 A.1 B.-3 C.1 或-3

所表示的平面区域的面积为 4, 则 k 的值为(

).

D.0

?0≤x≤ 2, 例 2、(2011· 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
→ → 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1)则 z=OM · O A 的最大值为( A.3 B.4 C .3 2 D.4 2 ).

x+2y-3≤0, ? ? 变式:已知变量 x,y 满足条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0, 最大值,则 a 的取值范围是( 1 -∞,- ? A.? 2 ? ? 1 - ,0? B.? ? 2 ? ).

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得

1 0, ? C.? ? 2?

1 ? D.? ?2,+∞?

x-4y+3≤0, ? ? 例 3、变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1. y (1)设 z= ,求 z 的最小值;(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围. x

2x-y+2≥0, ? ? 变式:如果点 P 在平面区域?x+y-2≤0, ? ?2y-1≥0 值为( 3 A. 2 ). B. 4 -1 5

上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,那么|PQ|的最小

C.2 2-1

D. 2-1

例 4、某企业生产 A,B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表: 产品品种 A 产品 B 产品 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(千瓦) 4 5

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限制,该企业 仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业如何安排生产,才能获 得最大利润?

变式:(2011· 四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一 次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名 工人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 z= ( ). B.4 700 元 C.4 900 元 D.5 000 元

A.4 650 元

a+b 3.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 4.几个重要的不等式 b a (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2) + ≥2(a,b 同号); a b (3)ab≤? a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R); a2+b2 ?a+b?2 (4) ≥ 2 ? 2 ? (a,b∈R).

5.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个正数 2 的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 6.利用基本不等式求最值问题:已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4

双基自测
1 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=x+ (x>0)的值域为( x A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞) ).

B.(0,+∞) D.(2,+∞)

a+b 1 2.下列不等式:①a2+1>2a;② ≤2;③x2+ 2 ≥1,其中正确的个数是 x +1 ab A.0 B.1 C.2 D.3 ).

3.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( 1 A. 2 B.1 C.2 D.4

1 4.(2011· 重庆)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4

).

t2-4t+1 5.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t

典型例题:
1 1 例 1、(1)已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值为________; x y

(2)当 x>0 时,则 f(x)=

2x 的最大值为________. x +1
2

1 变式: (1)已知 x>1,则 f(x)=x+ 的最小值为________. x-1

2 (2)已知 0<x< ,则 y=2x-5x2 的最大值为________. 5

(3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为________. x 例 2、(2010· 山东)若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1

变式:(2011· 宿州模拟)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是 ________.

巩固练习:
x+2y-5≤0, ? ? 1、(2011· 山东)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ? ?x≥0, ( ). B.10 C.9 17 D. 2 则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为

A.11

x+3y-3≥0, ? ? 2、(2010· 浙江)若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, ? ?x-my+1≥0, 于( A.-2 ). B.-1 C.1 D.2

且 z=x+y 的最大值为 9,则实数 m 等

3、 已知点 P (x, y) 的坐标满足条件 最大值等于________。

, 点 O 为坐标原点, 那么|PO|的最小值等于________,

1 1 4、(2010· 四川)设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ab a?a-b? A.1 B .2 C.3 D.4

).

1 2 5、已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求 + 的最小值. a b

21 世纪教育网

课后作业:

1.若
A.[2 ,6]

,则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是( ) B. [2,5] C. [3,6] D. [3,5]

2.不等式 A.三角形 3.不等式 A. 4.若 B. B.直角三角形

表示的平面区域是一个( C.梯形



D.矩形 和点 则 m 的取值范围是 D.

表示的平面区域包含点 C. )

,下列不等式恒成立的是(

A. 5.若 且

B.

C. ,则下列四个数中最大的是( )

D.

A.

B.

C.2ab

D.a

6.设 x>0,则 A.3 7.设 A. 10 B. B.

的最大值为( C.

) D.-1

的最小值是( ) C. D.

8.若 x, y 是正数,且 A.最大值 16

,则 xy 有(

) D.最大值

B.最小值

C.最小值 16

9.若 a, b, c∈R,且 ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是( ) A. B.

C.

D.

10.若 x>0, y>0,且 x+y 4,则下列不等式中恒成立的是( )

A. 11.若 ,且

B.

C.

D.

,则下列不等式中,恒成立的是

A.

B.

C. )

D.

12.下列函数中,最小值为 4 的是(

A. C.

B. D.


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