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巧用抛物线的定义解题


作者简介: 龙志明,男,1974 年生,中学高级教师,岳阳市首届高中骨干教师,数学教研组组长。 一直在省级示范性高中工作,已参编教材 2 部,参与课题研究 3 个,教学比武获市级一等 奖 3 次,所带学生中有 2 个获省一等奖,2 个省二等奖,市级奖多个。另外在《中学生数 学》、《上海中学数学》、《中学数学杂志》、《中学生学习报》、《数学周报》等省级 以上杂志报刊上发表文章 100 多篇。 联系地址:湖南省岳阳市岳化一中 邮政编码:414014 联系电话:13077106980 E-mail:lzm-2005@163.com

巧用抛物线的定义解题
湖南省岳阳市岳化一中(414014) 龙志明 平面内,到一个定点 F 和一条直线 l 的距离相等的点的轨迹,叫做抛物线.定点 F 叫做 抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.在解题过程中,有时利用定义解题会很方便,下 面举两例说明. 【例 1】 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和 准线相切. 分析 1:可根据抛物线的定义,只需证明|AB|是线段 AB 中点 C 到准线距离的 2 倍.
2 证法 1:设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0 ) ,焦点

F(

p p ,0) ,准线 l : x ? ? ,过 F 的直线与抛物线 2 2

相交于 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y 2 ) ,中点为 C,如图所 示,则根据抛物线的定义

| AB |? x1 ?

p p ? x 2 ? ? p ? x1 ? x 2 2 2

而圆心 C 到准线的距离为

1 p 1 1 ( x1 ? x 2 ) ? ? ( p ? x1 ? x 2 ) ? | AB | 2 2 2 2
故以焦点弦为直径的圆与准线相切. 分 析 2 : 如 图 所 示 , M 为 弦 AB 的 中 点 , 若 证 得

| MM 1 |?

1 | AB | .即可说明以 AB 为直径的圆与准线相 2

切. 证法 2:设 M 为 AB 的中点,由 A、M、B 分别向准线 l 作 垂线,垂足依次是 A1 、 M 1 、 B1 .

则 | AB |?| AF | ? | BF |?| AA 1 | ? | BB 1 |? 2 | MM1 | 即 | MM 1 |?

1 | AB | . 2

∴以焦点弦为直径的圆与其准线相切. 点评:数形结合的数学思想方法在解析几何中有很多的应 用,在学习中,读者要善于把已知条件转化成图形中量与 量的数量关系及其位置关系,再由图形去研究问题. 【例 2】如图,已知抛物线的焦点为 F (5,1) ,准线方程为

x ? 1.
(1)求抛物线方程; (2)求焦点到顶点的距离; (3)求顶点坐标; ( 4 )已知 A (6,2) ,在抛物线上求一点 Q ,使得

| QA | ? | QF | 最小.
分析:该抛物线方程不是标准方程形式,应根据抛物线定义求它的方程.
2 2 解: (1)设抛物线上任意一点 M ( x, y ) ,根据定义可得 ( x ? 5) ? ( y ? 1) ?| x ? 1 | ,

整理可得 ( y ? 1) 2 ? 8( x ? 3) ,这就是所求的抛物线方程. (2)根据抛物线几何特征,抛物线焦点到顶点的距离应是焦点到准线距离的一半,而焦 点到准线的距离为 5 ? 1 ? 4 ,故焦点到准线的距离为 2. (3)根据抛物线顶点性质及中点坐标公式,顶点坐标为 (3,1) . (4)过 A 点作准线的垂线,垂足为 R,交抛物线于 Q,则 Q 点即为所求,设抛物线上另 有一点 Q (异于 Q 点) ,点 Q 到准线的距离为 | Q R | , 则 | Q A | ? | Q F |?| Q A | ? | Q R |?| QA | ? | QR |?| AR |
/ / / / / / / / /

即 Q 点使 | QA | ? | QF | 最小.

25 ? ?y ? 2 25 ?x ? 由? ,解得 ? 8 ,故取最小值时 Q 点坐标为 ( ,2) . 2 8 ?( y ? 1) ? 8( x ? 3) ? ?y ? 2
点评:本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题,曲线的几何特征是曲线本身具有 的性质,与曲线在坐标系中的位置无关.


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