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对一道高考题的再探讨


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中学数 学研 究  

2 0 0 3 年 I   第 ’ 5期  , ,   V ●  

对一道高考题的再探讨 
浙江省 台州市 台州 中学  ( 3 1 7 0 0 0 ) 金 美琴 
2 0 0 1 年全 国高考理科数学第 ( 1 9 ) 题( 文科  ( 2 0 ) 题) 为:  
设抛物线 Y=2 p x( P>O ) 的焦点为 F , 经  过点 F的直线交抛物线于 A、 B 两点, 点 C在 

时 , 由 A 、 M , B 三 点 共 线 得   等  =  
2 p t 2  


则( t l -t 2 ) ‘ ( 2  

+   ) =0 , 因 t 1  

抛物 线的准线上, 且B C/ /   轴, 证 明直 线 A C   经过 原点 O.   文[ 1 ] 通过猜想, 验证得到了五个定理 : ( 其  中3 —5 略)  
1 设椭 圆  +   1 =1 ( 口 >6 >o ) 的一 个焦 2  
_

≠  故 t t t z =一   m, 所以 志 0 c =  
= ‘  

=一   ?  



=‰ , 即 A、 o、 c三点共 线; 若A B  

垂直于  轴 时, 易证 A、 0、 C三 点共 线, 则 直  线A C经过原点 O.  

点为 F , 经过点 F 的直线交椭圆于 A、 B两点 ,   点 C在与 F相应的椭 圆的准线z 上, 且B C/ x   轴, 则直线 A C经过线段 E F 的中点 D( E为 z  

说明

①当 m=罢时,  

就是原题 ;   ②在此 题 中。 我 们规定  了 m>O , 但在证 明过 程中。   我们并 没有 使用这 个条 件。  

与. 2 7 轴的交点) .  
'  , 

檠 
图2  

2 设双 曲线  一   =1 ( 口 >o , b >o ) 的一  个焦点为 F 。 经过点 F的直线交双曲线于A、 B  

两点, 点 C在与 F相应 的双 曲线 的准 线上。 且  B C/ /  轴, 则直线 A C经过线段 E F 的 中点 D   ( E为 z 与  轴的交点 ) .   由于本题 中 O 点是线段 E F的 中点 ( E 为  抛物线的准线 z 与. 2 7 轴 的交 点) , 如果把 “ 经过 
焦点 F的直线” 这个条件减弱为 “ 经过抛物 线  对称轴上一点的直线” 。 同时试着变化准线 z 的 

那么当 m<O时, 点 M 在抛物线 外 ( 如 图) , 本  题的结论 同样成立 . 由此得到结论 .   定理 1 . 1 过抛物线 Y 2 =2 p x( P >O ) 对 称 

轴上 的点 M ( m, O ) 的直线交抛物线于 A、 B 两  点, 点 C在直线 z :   =一m 上, 且 B C/ /  轴。   则直线 A C经过原点 O.  
定理 1 . 2 过抛物线 Y 2 =2 p x ( P> 0 ) 对 称 

位置, 若直 线 Z 和点 M 与原点 0 的距 离相等  时, 本题的结 论是否同样成立?   问题 1 设经过抛物线 

轴上 的点 M ( m, O ) 的直线交抛物线于 A、 B 两  点, 直线 A C经过原点 O。 点 C在直线 z :   =一   m 上, 则1 3 1 7 / / X轴 .   定理 1 . 3 过抛物线 Y   =2 p x( P >0 ) 对称  轴上的点 M ( m, O ) 的直线交抛物线于 A、 B两  点, B C/ /   轴, 且B C交 直线 A O 于点 C 。 则点  C在直线 z : z=一m 上 .   由于文 [ 1 ] 定理 1 , 2中的点 D 是 线段 E F   的中点 ( E 为 圆锥 曲线 的准 线 与对 称 轴 的交  点) 把“ 经 过焦 点 F 的直线 ” 这个 条 件减 弱为  “ 经过椭 圆 ( 或双 曲线) 对 称轴上 一点 M 的直 

  /   交抛 物 线于 A, B 两 点, 点  C 8 \\  C在直线 z : z=一   上。 且 
-● — —  

Y   = 2 p x ( p>O ) 对称轴上 的  点 M( m, O ) ( m >O ) 的直线 

i  

B C/ /  轴 , 则直线 A C是否  经过原点 O.  

图1  



如 图设 A ( 2  } , 2 p t 1 ) , B( 2  ,  

2 p t 2 ) , 则 C( 一m, 2 p t 2 ) , 若A B不垂 直于 z轴 

线” , 同时试着变化相应准线 z的位置, 若 直线  z 和点 M 与点 D 的距离相 等, 文[ 1 】 中的定理 
?

2】  ?  

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2 0 0 3年 第 5期 
l , 2 的结论是 否也同佯成立?   1 " 0 7 H  2   设经过椭 圆.   =1 ( n>6 >  j+

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中学数 学研 究  
对于双曲线 同样 可以得到上述结论 , 由此 
得到 :  
2   2  



0 ) 的长 轴上 一 点 M ( m,  
0 ) 的直 线交椭 圆于 A、 B   两点, 点 C在直 线 z : z=  
2  a-


定理 2 . 1 设椭 圆  +   =l ( 口 >b >0 )  
l   ‘   ,  

‘ 、 、 .  
B \   / 

的一个焦点 为 F , 相应 的准线与 z轴的交点为  E, 经过点 E 的直线交椭圆于 A、 B两点 , 点 C   在过 F且 垂直 于 z轴 的直线 z 上, 且B C/ /z   轴, 则直线 A C经过线段 E F的中点 .  
'  ’ 

c一 , , l上 . 且 B C  

/ / z轴, 则直 线 AC是 否  经过 线 段 E M 的中点 D  

图3  

定理 2 . 2 设椭 圆  +   =1 ( a >b >o )  

( 一   去   , 0 ) ( E 为 z 与 z 轴 的 交 点 ) .  
解 如图, 设A B: z=t o , +m, 由  
f   z=   +m  2   解得  x
1 2 k 2 +a — 2 - m2 — b A( a 2 m +a b k /
b2 '2  k
+ a2   ,  

、 


的—个焦点为 F , 相应的准线与 z轴的交 点为  E, 经过点 E 的直线交椭 圆于 A、 B两 点, 直线 
A C经过线段 E F 的 中点, 且点 C在过 F且垂 

直于 z轴的直线 z 上, 则B C ∥z轴 .  
,  , 

定理 2 . 3 设 椭 圆  +   =1 ( n>6 >o )  



一 m 6 2 " l 足+口 6/ 6 2 足 2 +n 2  


b2 k2+ n2  

J ,  

的—个焦点为 F, 相应的准线 与 z轴的交 点为  E, 经过点 E 的直线交椭圆于 A、 B两点, B C/ /   z 轴, 且直线 AC经过线段 E F的中点, 则点 C  
在过 F且垂直于 z轴 的直线 z 上.  
,  , 

蒋 一 a   2 _ m 2 ,  


定理 3 . 1 设双 曲线羔  一   =1 ( n >0 , b  

6  l 志一a b/ 6   足   +a 2 一m  、  
b2 k2+ n2   ’  

则 c( 一鱼  




 

>0 ) 的一个 焦点为 F ; 相应 的准线与 z轴 的交  点为 E, 经过点 E 的直 线交双 曲线于 A、 B两  点, 点 C在过 F且 垂直于 z轴 的直 线 z 上, 且  B C/ / z轴, 则直线 AC经过线段 E F的中点 .  
,  , 

6  

一口 b√ ,  

a 2 一 _m2  

) ,若 直 线 

定理 3 。 2 设双 曲线  一   L 2 :1 ( n >o , 6   >0 ) 的—个焦点为 F , 相应 的准线与 z轴 的交  点为 E, 经过点 ’ E 的直线交双 曲线于 A、 B 两  点, 直线 A C经过线段 E F的中点, 点 C在过 F   且垂直于 z轴 的直线 z 上, 则B C / / z轴 .  
’   ,  

A C经过点 D, 则是 A c =足 ④, 即 
2 a b   J 。 b 。 。 ‘ 。 。 2 。 。 。 k 。 。 。   。 — 2 — + 一 ’ 。 。 a 。 。 — 2 — - — — — m — — 2 。  

2 , , l + a b k    ̄ b + a 2 - m 2 + ( 。 口  
:  

+  ) ( b 2 k 2 + n 2 )  

b 2 r a k   + a b 地
(  
2 

+   , 化简 得 伽 2 一 十, , 1 ) ( b 2 k 2 +n   )… … 一  

 

一 m 2

定理 3 . 3 设双 曲线  一   =1 ( 口>o , b  

( 口   +C   ) m +a 2 c :0 ,  

解得 , , l =一c 或, , l =一璺 二 。   同理 , 若 点 C在直线 z : z=   +c 一, , l 上,  

>0 ) 的—个焦点为 F 。 相应的准线与 z轴 的交  点为E。 经过点 E 的直线交双 曲线于 A、 B 两  点, B C/ / z轴, 且直 线 A C经过线 段 E F 的 中  点, 则点 C在过 F且垂直于z轴的直线 z 上.   参考文献 

1 】 寇恒 清. 对 一道 高考 题 的探 讨. 中学 数学 月刊,   其 它 条 件 不 变 , 直 线 A c 经 过 点 D (   丢   , o )  [

时, 解得 m =c 或 m=鱼 二
. 

20 01. 1 2.  

?

2 2 ?  

F   r, 1 

一  


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