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空间几何量的计算.板块三.异面直线所成的角.学生版


板块三.异面直线所成的角

典例分析
求异面直线 BD1 与 B1C1 所成的角的余弦值. 【例1】 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a ,
D1 A1 B1 C1

D C A B

【例2】 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 和 N 分别为 A1 B1 和 BB1 的中点,那

么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是(
A.
3 2 B. 10 10 C.
3 5


D. 2 5

【例3】 (2008 年全国Ⅱ10) 已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角的余弦值为( ) A.

1 3

B.
S

2 3

C.

3 3

D.

2 3

E D F B C

A

【例4】 (2006 天津)如图, PA ⊥ 平面 ABC , ∠ACB = 90° 且 PA = AC = BC = a ,则异

面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于
1



P

A B

C

【例5】 正六棱柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 的底面边长为 1 ,侧棱长为 2 ,则这个棱柱的

侧面对角线 E1 D 与 BC1 所成的角是(
A. 90° B. 60° C. 45°


D. 30°

【例6】 (2008 崇文一模) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是 C1C 的中点, O 是底面 ABCD 的中心,
P 是 A1 B1 上的任意点,则直线 BM 与 OP 所成的角为_______. D1 C1
A1 B1 P M C B

D A

O

【例7】 如图长方体 AC1 中, AB = 12 , BC = 3 , AA1 = 4 , N 在 A1 B1 上,且 B1 N = 4 ,求
BD1 于 C1 N 所成角的余弦值.
D1 A1 N B1 E1 F C1 F1

D A B

C E

【例8】 如图所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1 E1 = D1 F1 =

A1 B1 , 求 BE1 与 DF1 所成 4

角的余弦值.

2

【例9】 (2004 天津, 如图, 6) 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 是底面 ABCD O

的中心, E 、 F 分别是 CC1 、 AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的 余弦值等于(
A.
10 5
D1 A1 D F A O B C B1


B.
C1 E

15 5

C.

4 5

D.

2 3

【例10】 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BC =

2 14 ,CD = , DD1 = 5 ,则 A1C 和 B1 D1 所 2 2

成角的大小为
A1


D1

B1

C1

A

D

B

C

【例11】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为 AA1 、 AB 、 BB1 、
BC1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( ) A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
D1 A1 E D A F B B1 H C1

G C

3

【例12】 如图,已知不共面的直线 a , b , c 相交于 O 点, M , P 是直线 a 上两点, N ,
Q 分别是 b , c 上两点.求证: MN 和 PQ 是异面直线.
a M P

c Q O N b

【例13】 (2010 年二模·宣武·理·题 11) 年二模·宣武· ) 如图, A , B , C , D 为空间四点, ?ABC 是等腰三角形,且 ∠ACB = 90o , ?ADB 是等边三角形.则 AB 与 CD 所成角的大小为
D



A

B

C

【例14】 如图,已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC = BD = 14 , M , 分别是 AB , 的 N CD

中点, MN = 7 3 ,
求异面直线 AC 与 BD 所成的角.
A

M

B P C N

D

4

【例15】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中: ⑴求 AC 与 BC1 所成的角; ⑵ M , N 分别是 A1 B1 , BB1 的中点,求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值.
D1 A1 M B1 N D C A B C1

【例16】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中: ⑴求 AC 与 BC1 所成的角; ⑵ E , F , G 分别是 AA1 , AB , CC1 的中点求 EF 与 A1G 所成的角.
D A F G E D1 C1 A1 B1 B C

【例17】 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = BC = AA1 ,∠ABC = 90o ,求直线 AB1 和
BC1 所成的角.

【例18】 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ∠ABC = 90° ,点 D, F 分别是 A1C1 , B1C1 的

中点,若 AB = BC = CC1 .
求 AD 与 CF 所成角的余弦值.
A1 B1 D F C1

A N B

C

5

【例19】 (05-浙江-12) M N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点, ⊥ AB 于 E 设 DE (如图)现 .

将 ?ADE 沿 DE 折起,使二面角 A ? DE ? B 为 45o ,此时点 A 在平面 BCDE 内的 射影恰为点 B ,求 M 、 N 的连线与 AE 所成角的正切值.
A
D M A C

M
N

D
E B

C N B

E

【例20】 Rt ?ABC 的 ∠C = 90o ,∠A = 60o , AC = 2 ,以 ∠A 的平分线 AD 为轴对折, AC 边

落在 AB 边上,点 C 落在 AB 边上的点 E ,然后使 ?ACD 所在的平面垂直于
?ABD 所在的平面. ⑴求异面直线 AD , CE 的夹角;⑵求 CE 的长.
C
C D F A E B

D F A E B

【例21】 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,从它的 12 条棱和各面上的 12 条对角

线共 24 条中选出 m 条,命名得其中任何两条直线段所在的直线都是异面直线, 则 m 的最大值是( A. 2 B. 3
D1 A1 B1 C1


C. 4 D. 5

D C A B

6


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