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高中数学选修2-3:第二章《离散型随机变量的方差》教案


2.3.2离散型随机变量的方差 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量 叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ 、η 等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做离散型随机变量 3. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值, 可以取某一区间内的一切值, 这 样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离散型随机变量与连 续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散 型随机变量的结 果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 分布列: ξ x1 x2 ? xi ? P P1 P2 ? Pi ? 6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1.
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k k n?k 7.二项分布: ξ ~ B ( n, p ) ,并记 Cn p q =b(k;n,p).

ξ

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

8.几何分布: g ( k , p )= q k ?1 p ,其中 k=0,1,2,?, q ? 1 ? p . ξ 1
p

2
pq

3

? ?

k
q k ?1 p
[来源:Z.xx.k.Com]

? ?

P

q2 p

9.数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?

为 ξ 的数学期望,简称期望.

10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取 值的平均水平
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11 平均数、 均值: 在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中, 令 p1 ? p2 ? ?

? pn ,则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ?
望又称为平均数、均值
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1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期 n n

12. 期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 13.若ξ ? B(n,p) ,则 Eξ =np 二、讲解新课:
[来源:学科网]
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1. 方差: 对于离散型随机变量 ξ ,如果它所有可能取的值是 x1 , x2 ,?,

xn ,?,且取这些值的概率分别是 p1 , p 2 ,?, p n ,?,那么 ,
D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +?

称为随机变量 ξ 的均方差,简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ξ 的期望. 2. 标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ξ 的标准差,记作 ?? . 3.方差的性质: (1) D(a? ? b) ? a 2 D? ; (2) D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ; (3)若 ξ ~B(n,p),则 D? ? np(1-p)
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4.其它: ⑴随机变量 ξ 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量 ξ 的方差、 标准差也是随机变量 ξ 的特征数,它们都反映了随 机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度; ⑶标准差与随机变量本身有相同的单 位, 所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例:
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[来源:学科网 ZXXK]

例 1. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、 方差和标准 差. 解:抛掷散子所得点数 X 的分布列为 ξ P 从而
1 1 1 1 1 1 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 ; 6 6 6 6 6 6

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

1 1 1 1 DX ? (1 ? 3.5) 2 ? ? (2 ? 3.5) 2 ? ? (3 ? 3.5) 2 ? ? (4 ? 3.5) 2 ? 6 6 6 6 1 1 ? (5 ? 3.5) 2 ? ? (6 ? 3.5) 2 ? ? 2.92 6 6

? X ? DX ? 1.71 .
例 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1 1200 1400 0.3
学&科&网]

1600

1800

[来源:

0.4

0.2

0.1

乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得 EX1 = 1200× 0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ; EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)2 × 0. 4+(1 400-1400) × 0.3 + (1800-1400)2 × 0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 . 因为 EX1 =EX2, DX1<DX2, 所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职 位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职 位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些, 就选择乙单位. 例 3.设随机变量ξ 的分布列为 ξ P 求 Dξ
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1
1 n

2
1 n

? ?

n
1 n

解: (略) E? ?

n ?1 n 2 -1 , D? ? 2 12

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例 4.已知离散型随机变量 ? 1 的概率分布为

?1
P

1
1 7

2
1 7

3
1 7

4
1 7

5
1 7

6
1 7

7
1 7

离散型随机变量 ? 2 的概率分布为

?2
P

3.7
1 7

3.8
1 7

3.9
1 7

4
1 7

4.1
1 7

4.2
1 7

4.3
1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差 1 1 1 解: E?1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 7 ? ? 4 ; 7 7 7 1 1 1 D?1 ? (1 ? 4) 2 ? ? (2 ? 4) 2 ? ? ? ? ? ? (7 ? 4) 2 ? ? 4 ; ??1 ? D?1 ? 2 7 7 7 1 1 1 E? 2 ? 3.7 ? ? 3.8 ? ? ? ? ? ? 4.3 ? ? 4 ; 7 7 7
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D? 2 =0.04, ?? 2 ? D? 2 ? 0.2 .
点评:本题中的 ? 1 和 ? 2 都以相等的概率取各个不同的值,但 ? 1 的取值较为分 散,? 2 的取值 较为集中. E?1 ? E? 2 ? 4 , D?1 ? 4 , D? 2 ? 0.04 ,方差比较清楚 地指出了 ? 2 比 ? 1 取值更集中.

?? 1 =2, ?? 2 =0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

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例 5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
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解: E?1 ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9

D?1 ? (8 ? 9)2 ? 0.2 ? (9 ? 9)2 ? 0.6 +(10-9) 2 ?0.2 ? 0.4 ;
同理有 E? 2 ? 9, D? 2 ? 0.8
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由上可知, E?1 ? E? 2 , D?1 ? D?2 所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名
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射手所得的平均环数很接近, 均在 9 环左右, 但甲所得环数较集中, 以 9 环居多, 而乙得环数较分散,得 8、10 环地次数多些. 点评:本题中, ? 1 和 ? 2 所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情况不 同. E?1 ? E? 2 =9,这时就通过 D?1 =0.4 和 D? 2 =0.8 来比较 ? 1 和 ? 2 的离散程度, 即两名射手成绩的稳定情况
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例 6.A、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品 的概率如下表所示: A 机床 次品数ξ
1

B 机床 2 3 0.04 次品数 ξ
1

0

1

0

1

2

3

概率 P

0.7 0.2 0.06

概率 P

0.8 0.06 0.04 0.10

问哪一台机床加工质量较好

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解: Eξ 1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ 2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差
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Dξ 1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064, Dξ 2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264. ∴Dξ 1< Dξ
2

故 A 机床加工较稳定、质量较好. )
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四、课堂练习: 1 .已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是(

A. 100和0.08 ; B. 20和0.4 ; C. 10和0.2 ; D. 10和0.8 答案:1.D 2. 一盒中装有零件 12 个,其中有 9 个正品,3 个次品,从中任取一个,如 果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正 品之前已取出次品数的期望. 分析:涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样 后次品率将会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,则各 次抽样的次品率不变,各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件. 解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ ,显然ξ 所有可能取的值为 0,1, 2,3 当ξ =0 时,即第一次取得正品,试验停止,则 9 3 P(ξ =0)= ? 12 4 当ξ =1 时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,则 3 9 9 P(ξ =1)= ? ? 12 11 44 当ξ =2 时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,则 3 2 9 9 P(ξ =2)= ? ? ? 12 11 10 220 当ξ =3 时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则 P 3 2 1 9 1 (ξ =3)= ? ? ? ? 12 11 10 9 220 3 9 9 1 3 ? 2? ? 3? ? 所以,Eξ = 0 ? ? 1 ? 4 44 220 220 10 3. 有一批数量很大的商品的次品率为 1%, 从中任意地连续取出 200 件商品, 设其中次品数为ξ ,求 Eξ ,Dξ 分析:涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于
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[来源:学*科*网]

产品数量很大, 因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以 可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题,关键是理解清楚:抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验,即ξ ? B(200,1%) ,从而可用公式:E ξ =np,Dξ =npq(这里 q=1-p)直接进行计算 解:因为商品数量相当大,抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验,所 以ξ ? B(200,1%) 因为 Eξ =np,Dξ =npq,这里 n=200,p=1%,q=99%,所以, Eξ =200×1%=2,Dξ =200×1%×99%=1.98 4. 设事件 A 发生 的概率为 p,证明事件 A 在一次试验中发生次数ξ 的方差 不超过 1/4 分析:这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变 量的期望与方差的计算 方法,关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差 Dξ =P(1-P)后,我们知道 D ξ 是关于 P(P≥0)的二次函数,这里可用配方法,也可用重要不等式证明结论 证明:因为ξ 所有可能取的值为 0,1 且 P(ξ =0)=1-p,P(ξ =1)=p, 所以,Eξ =0×(1- p)+1×p=p
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? p ? (1 ? p) ? 1 则 Dξ =(0-p)2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) ? ? ? ? 2 ? ? 4
5. 有 A、B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下: ξ A 110 120 125 130 135 ξ B 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξ A、ξ B 分别表示 A、B 两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉 强度不低于 120,试比较 A、B 两种钢筋哪一种质量较好 分析: 两个随机变量ξ A 和ξ B&都以相同的概率 0.1,0.2,0.4,0.1,0.2 取 5 个不同的数值.ξ A 取较为集中的数值 110,120,125,130,135;ξ B 取较 为分散的数值 100,115,125,130,145.直观上看,猜想 A 种钢筋质量较好.但 猜想不一定正确,需要通过计算来证明我们猜想的正确性 解:先比较ξ A 与ξ B 的期望值,因为 Eξ A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, Eξ B=100×0 .1+115×0.2+125×0.4 十 130×0.1+145×0.2=125. 所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为 Dξ A=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2 ×0.2=50, Dξ B=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2 ×0 .2=165. 所以,Dξ A < Dξ B.因此,A 种钢筋质量较好 6. 在有奖摸彩中,一期(发行 10000 张彩票为一期)有 200 个奖品是 5 元的, 20 个奖品是 25 元的,5 个奖品是 100 元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票 的合理价格是多少元? 分析:这是同学们身边常遇到的现实问题,比如福利彩票、足球彩票、奥运 彩票等等.一般来说,出台各种彩票,政府要从中收取一 部分资金用于公共福 利事业,同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的“不考虑获利”的意思是 指:所收资金全部用于奖品方面的费用 解:设一张彩票中奖额为随机变量ξ ,显然ξ 所有可能取的值为 0,5,25, 100 依题
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2

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意,可得ξ 的分布列为 ξ 0 5 25 100 391 1 1 1 P 500 2000 400 50 391 1 1 1 E? ? 0 ? ? 5 ? ? 25 ? ? 100 ? ? 0.2 400 50 500 2000 答:一张彩票的合理价格是 0.2 元. 五、 小结 : ⑴求离散型随机变量 ξ 的方差、 标准差的步骤: ①理解 ξ 的意义, 写出 ξ 可能取的全部值;②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列;③根据 分布列,由期望的定义求出 Eξ ;④根据方差、标准差的定义求出 D? 、 ?? . 若 ξ ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可. ⑵对于两个随机变量 ? 1 和 ? 2 ,在 E?1 和 E? 2 相等或很接近时,比较 D?1 和

D? 2 ,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要
六、课后作业: P69 练习 1,2,3 P69 A 组 4 B 组 1,2 1.设 ? ~B(n、p)且 E ? =12 D ? =4,求 n、p D ? = np(1-p)

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解:由二次分布的期望与方差性质可知 E ? =np

?np ? 12 ∴? ?np(1 ? p) ? 4

?n ? 18 ? ∴? 2 p? ? 3 ?

1 1 2.已知随机变量 ? 服从二项分布即 ? ~B(6、 )求 b (2;6, ) 3 3 1 2 2 2 4 解:p( ? =2)=c6 ( ) ( ) 3 3

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ? 和

? ,已知 ? 和

? 的分布列如下: (注得分越大,水平越高)

?
p

1 a

2 0.1

3 0.6

?
p

1 0.3

2 b

3 0.3

试分析甲、乙技术状况 解:由 0.1+0.6+a+1 ? a=0.3 0.3+0.3+b=1 ?a=0.4 ∴E ? =2.3 , E ? =2.0

D ? =0.81

,

D ? =0.6

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