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湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测数学(理)A卷


A卷

2009~2010 学年度 湖北省赤壁一中高三年级 3 月质量检测

理 数 试 卷
命 题 教 师:高三数学备课组 李西波 审 题 教 师:高 三 数 学 备 课 组 张才松

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域 内。答在试题卷上无效。

4.本测试卷为应届班做.
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列 {an } 的前 13 项之和为 39 ,则 a6 ? a7 ? a8 等于 A.6 2.设 f (n) ? ( A.1 B.9 C. 12 D.18

1? i n 1? i n ) ?( ) (n ? N ) ,则集合 ? x x ? f (n)? 中元素的个数为 1? i 1? i
B.2 C.3 D. 无穷多个

? ? 3. 将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象按向量 a 平移后所得图象关于 y 轴对称, 则 a 的最
小值为 3? A. 8
n

B.

? 8

C. 3?
4

D.

? 4

4.若 (5 ? 4 x) 展开式中各项二项式系数之和为 an , (3x2 ? 9 x )n 展开式中各项系数之和为

bn ,则 lim

an ? 2bn ? n ?? 3a ? 4b n n

A.

1 3

B. ?

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2

5.如图,函数 y ? f ( x) 是圆心在原点的单位圆的两段圆弧,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? x 的解 集为 A. { x | ?
2 5 2 5 ? x ? 0或 ? x ? 1} 5 5

B. {x | ?1 ? x ? ? C. {x | ?1 ? x ? ? D. { x | ?

2 5 2 5 或 ? x ? 1} 5 5

2 5 2 5 或0 ? x ? } 5 5

2 5 2 5 ?x? 且x ? 0} 5 5

6.如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i ? 1 , 2, 3;j ? 1 , 2, 3) ,从中任取三个数,则至少有 两个数位于同行或同列的概率是 A.

3 7

B.

4 7

C.

1 14

D.

13 14

? a11 a12 a13 ? ? ? ? a21 a22 a23 ? ?a ? ? 31 a32 a33 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0, 7.已知满足 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 的实数 x、y 所表示的平面区域为 M.若函数 y ? k ( x ? 1) ? 1 的图 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

象经过区域 M,则实数 k 的取值范围是 A.[3,5] B.[—1,1] C.[—1,3] D. [ ?

1 ,1] 2

8.球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 长为 4? ,那么这个球的体积为 A. 256 3?
2

1 ,经过这 3 点的小圆周 6
D. 4 3?

B. 32 3?

C.

32 ? 3

y2 ? 1 的右焦点任意作交双曲线右支的弦 AB ,过 A 作双曲线右准线 9.经过双曲线 x ? 3
的垂线 AM ,垂足为 M ,则直线 BM 必经过点 A. ( , 0)

7 4

B. ( , 0)

5 4

C. ( , 0)

5 2

D. ( , 0)

7 2

10. 定 义 域 和 值 域 均 为 ?? a, a ? 的 函 数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的 图 像 如 图 所 示 , 其 中

a ? c ? b ? 0 ,给出下列四个命题:
①方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; ②方程 g? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; ③方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解;

④方程 g?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11. 下列图形中,若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项,则这个数列的一个通项 公式为 . 12. 为应对甲型 H1N1 流感第二波全球大爆发的态势, 截至 2009 年 10 月 31 日, 我国国家食品药品监督 管理局已批准8家疫苗生产企业生产甲型 H1N1 频率 流感疫苗.为了调查这些企业的生产能力,随机抽查了其中 组距 一个企业 20 天每天生产甲型 H1N1 流感疫苗的数量(单位: 0.040 万剂) ,疫苗数量的分组区间为 ? 45,55? ,

?55,65? , ?65,75? , ?75,85? , ?85,95? ,

0.025 0.020

由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该企业一 0.010 0.005 个月(以 30 天计算)生产产品数量在 65 万剂以上的 45 55 天数约为 . 13.某车队有 7 辆车,现在要调出 4 辆,再按一定顺序出去执行 任务.要求甲、 乙两车必须参加, 而且甲车在乙车前开出, 那么不同的调度方案有 14.已知函数 f ( x) ? a
x?1

产品数量
65 75 85 95

种.

? 3 ( a ? 0 且 a ? 1 )的反函数的图象经过点 A ,且点 A 在直线
1 2 ? 的最小值为__________. m n

mx? ny ? 1 ? 0 上,若 m ? 0, n ? 0. 则

?( x ? 3)e ? x , x ? 0 f ( x ) ? 15.关于函数 ( a 为常数,且 a ? 0 ),对于下列命题: ? 2 ax ? 3, x ? 0 ?
①函数 f ( x) 在每一点处都连续; ③函数 f ( x) 在 R 上存在反函数; ⑤对任意的实数 x1 ? x 2 ? 0 ,恒有 f ( ②若 a ? 2 ,则函数 f ( x) 在 x ? 0 处可导; ④函数 f ( x) 有最大值

1 ; e4

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 .

其中正确命题的序号是___________________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

C 所对的边分别为 a 、 b 、c , 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、 向量 m ? (a, b), n ? (cosA, cosB),

B?C , 2 sin A) ,若 m ∥ n, | p | ? 3. 2 (Ⅰ)求角 A 、 B 、 C 的值; p ? (2 2 sin
(Ⅱ)若 x ? [0,

?
2

] ,求函数 f ( x) ? sin Asin x ? cos B cos x 的最大值与最小值.

17. (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有 4 个红球和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中 奖. (Ⅰ)试求一次摸奖中奖的概率 P ; (Ⅱ)求三次摸奖(每次摸奖后放回)中奖次数 ? 的概率分布列与期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是直角三角形, ?C ? 90? ,侧棱与底面所成的 角为 ? (0? ? ? ? 90?) ,点 B1 在底面上的射影 D 落在 BC 上. (Ⅰ)若点 D 恰为 BC 的中点,且 AB1 ? BC1 ,求 ? 的值. (Ⅱ)若 ? ? arccos

1 ,且当 AC ? BC ? AA1 时,求二面角 C1 ? AB ? C 的大小. 3
B1

A1

C1

B D 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C

A

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过 F 的直线(非 x 轴)交椭圆于 M 、 N 两点, 4 3

右准线 l 交 x 轴于点 K ,左顶点为 A. (Ⅰ)求证: KF 平分 ?MKN ; (Ⅱ) 直线 AM 、AN 分别交准线 l 于点 P 、Q , 设直线 MN 的

倾斜角为 ? ,试用 ? 表示线段 PQ 的长度 | PQ | ,并求 | PQ | 的最小值.

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1且 an?1 ? (Ⅰ)若数列 {bn } 满足: bn ?

3 ? 4a n , n ? N *. 12 ? 4an

1 1 an ? 2

(n ? N * ) ,试证明数列 {bn ? 1} 是等比数列;

(Ⅱ)求数列 {an bn } 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)数列 {an ? bn } 是否存在最大项,如果存在求出,若不存在说明理由.

21. (本小题满分 14 分)

q p ? 2 ln x ,且 f (e) ? qe ? ? 2 ( e 为自然对数的底数). x e (Ⅰ)求实数 p 与 q 的关系;
设函数 f ( x) ? px ? (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,求实数 p 的取值范围; (Ⅲ)设 g ( x ) ?

2e ,若存在 x0 ??1, e? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值范围. x

A卷

2009~2010 学年度 湖北省赤壁一中高三年级 3 月质量检测

理 数 参 考 答 案
一.选择题 1.B 2.C 3.B 二.填空题: 11. an ? 3n?1 三.解答题: 16.解: (Ⅰ)?m ∥ n, ?a cosB ? b cos A . 由正弦定理,得 sin A cos B ? sin B cos A ,? sin( A ? B) ? 0 . 又 ? ? ? A ? B ? ? , ? A ? B . ……………………………………………………2 分 而p ? p
2 2

4.D

5.A

6.D

7.D

8.B

9.B

10.D

12. 12

13.120

14.8

15.①②④

? 8 sin 2

B?C ? 4 sin 2 A ? 9 , 2 1 . …………………………………4 分 2 . ………………………………………6 分

?4(1 ? cos A) ? 4(1 ? cos2 A) ? 9 . ? cos A ?
又 0 ? A ??,

?A?

?
3

. ?A? B ?C ?

?
3

(Ⅱ) f ( x) ? sin x cos 分

?
6

? cos x sin

?
6

? sin(x ?

?
6

) ,……………………………………8

? x ? [0,

? 2? ?[ , ]. 2 6 6 3 1 ? ? x ? 0 时, f ( x) m i n ? f (0) ? , x ? ? 时, f ( x) m a x ? f ( ) ? 1. ……………………12 2 3 3
], ? x ?
1 1 C4 ? C5 5 ? . ………………………………………………………………4 分 2 C9 9

?

?

分 17. 解: (Ⅰ) p ?

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0、1、2、3.

4 64 , 4 5 80 , 1 P(? ? 0) ? ( )3 ? P(? ? 1) ? C3 ? ( ) 2 ( )1 ? 9 729 9 9 243

4 5 100 P(? ? 2) ? C32 ? ( )1 ( ) 2 ? 9 9 243 5 125 .………………………………………………9 分 P(? ? 3) ? ( )3 ? 9 729
概率分布列为:



p

0
64 729

1
80 243

2
100 243

3
125 729

?

80 100 125 5 +2? +3? = . …………………………………………12 分 ? E ? = 0 ? 64 + 1 ? 243 243 729 3 729
18.解: (Ⅰ) ? B1 D ? 面 ABC ,? B1 D ? AC , 又 AC ? BC, ? AC ? 面 BB1C1C . 又 AB1 ? BC1 , 由 三 垂 线 定 理 可 知 , B1C ? BC1 , 即 平 行 四 边 形 BB1C1C 为 菱 形.……………………2 分 又? B1D ? BC ,且 D 为 BC 的中点,? B1C ? B1B . 即 ?BB1C 为正三角形,??B1 BC ? 60? .……………………………………4 分

B1 C1

A1

? B1D ? 平面 ABC ,且点 D 落在 BC 上, ??B1 BC 即为侧棱与底面所成的角.? ? ? 60? .……………………6 分
(Ⅱ)过 C1作C1 E ? BC ,垂足为 E ,则 C1 E ? 平面 ABC . B D C

F

A

E 过 作 ,垂足为 ,由三垂线定理得 .

是所求二面角 分

的平面角.…………………………………8



,在

中,由





.

故所求的二面角 C1 ? AB ? C 为 45°.………………………………………………12 分 另法:建系设点正确 2 分; (1)4 分; (2)6 分 19.解: (Ⅰ)作 MM 1 ? l 于 M 1 , NN1 ? l于N1 ,则 | MF | ? | M 1 K | .
| NF | | N1 K |

又由椭圆的第二定义,有 | MF | ? | NF | , ? | N1 K | ? | M 1 K | .
| MM 1 | | NN1 |

| NN1 |

| MM1 |

? ?KMM1 ? ?KNN1,即?MKF ? ?NKF .
? KF 平分 ?MKN . …………………………………………………………………4 分
(Ⅱ)设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? ,由 A, M , P 三点共线可求出 P 点的坐标为 (4, 6 y1 ) , 2 ? x1 由 A, N , Q 三点共线可求出 Q 点坐标为 (4, 分 设直线 MN 的方程为 x ? m y ? 1 ,由 ?
? x ? m y ? 1, 得 (3m 2 2 2 ?x y ? 1, ? ? 3 ?4

6 y2 ) .…………………………………………6 2 ? x2

? 4) y 2 ? 6m y ? 9 ? 0 .………8



6m 9 , y1 y 2 ? ? 2 . 2 3m ? 4 3m ? 4 ? | PQ | ? 6 y1 ? 6 y2 ? 6[2( y1 ? y2 ) ? x2 y1 ? x1 y2 ] ? 2 18( y1 ? y2 ) 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 m y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 9 ? y1 ? y 2 ? ?
6m 2 36 ) ? 2 2 3 m ? 4 3 m ? 4 ? 6 1 ? m 2 .…………………………………………10 分 ? ? 9 ? 6 m m2 ? 2 ? 3m ? 2 ?9 3m ? 4 3m ? 4 18 (

又直线 MN 的倾斜角为 ? ,则 m ? cot ? .? ? ? (0, ? ), ? | PQ | ? 6 1 ? cot 2 ? ?

6 . sin ?

?? ?

?
2

时, | PQ |min ? 6. …………………………………………………………………12 分

1 ?1 3 ? 4a n 1 15 ? 10an 1 ? 20.解: (Ⅰ)? bn?1 ? 1 an ?1 ? 12 ? 4 a 2 6a n ? 3 5 n 2 ? ? ? ? . 1 1 3 ? 2 a bn ? 1 3 n ?1 1 ? an ? 1 2 2 a ? 1 n an ? 1 2 an ? 2 1 ?1

? 数列 {bn ? 1} 是等比数列,首项为 b ? 1 ? 1
分 (Ⅱ)由 b ? n

1 a1 ? 1 2

? 1 ? 1 ,公比为 3 . ………………………4

5

1 an ? 1 2

, 得 an bn ? 1 ?

1 bn . 2

5 n?1 5 , ? bn ? 1 ? ( ) n?1 .……………………………………………6 分 3 3 1 5 3 1 5 ? a n bn ? 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? ? ( ) n ?1 . 2 3 2 2 3
由(Ⅰ)得 bn ? 1 ? ( )
1 5 n [( ) ? 1] 3 3 5 n 3 3 1 5 n?1 3 ? S n ? ?[ ? ( ) ] ? n ? 2 3 ? 2 n ? 4 ( 3 ) ? 4 . …………………………8 分 5 2 3 2 k ?1 2 ?1 3
n

(Ⅲ)由 b ? n

1 an ? 1 2

, 得 an ?

1 1 ? . bn 2

? an ? bn ?

1 1 1 1 ? ? bn ? ? bn ? . ……………………………………………………10 分 bn 2 bn 2

又由(Ⅱ)知,bn ? 1 ? ( )

5 3

n ?1

,? 数列 {bn} 是单调递增的,? { 1 } 与 {?bn } 均为递减数列. bn

? 数列 {an ? bn } 为单调递减数列. ……………………………………………………12 分 ? 当 n ? 1 时, a1 ? b1 ? 1 ? 2 ? ?1 最大,
即数列 {an ? bn } 中存在最大项且为该数列中的首项,其值为 ? 1 . …………………13 分 21. 解: (Ⅰ)由题意,得 f ?e ? ? pe ?

q p ? 2 ln e ? qe ? ? 2 , e e
………………………………………………2 分

? ? 化简,得 ? p ? q ?? e ? ? ? 0 ,? p ? q . ? 1 e?

(Ⅱ)函数 f ?x ? 的定义域为 ?0,??? .由(Ⅰ)知, f ? x ? ? px ?

p ? 2 ln x , x

f ??x ? ? p ?

p 2 px2 ? 2 x ? p ? ? . ……………………………………………………3 分 x2 x x2

令 h?x? ? px2 ? 2x ? p , 要使 f ?x ? 在其定义域 ?0,??? 内为单调函数, 只需 h?x ? 在 ?0,??? 内满足 h?x ? ? 0 或 h?x ? ? 0 恒成立. (1)当 p ? 0 时, h?x ? ? ?2 x ? 0 ,? f ??x ? ? 0 .

? f ?x ? 在 ?0,??? 内为单调减函数,故 p ? 0 符合条件. …………………………………4 分
( 2 )当 p ? 0 时, h? x ?min ? h? ?

1 ?1? 1 ? ? p ? . 只需 p ? ? 0 ,即 p ? 1 时 h?x ? ? 0 ,此时 ? p p ? p?

f ??x? ? 0 . ? f ?x ? 在 ?0,??? 内为单调增函数,故 p ? 1 符合条件. ……………………………6 分
(3)当 p ? 0 时, h?x?max ? h?0? ? p .只需 p ? 0 ,此时 f ??x ? ? 0 .

? f ?x ? 在 ?0,??? 内为单调减函数,故 p ? 0 符合条件.
综上可得, p ? 1 或 p ? 0 为所求. ……………………………………………………8 分

? g ?x ? ? (Ⅲ)


即 g ?x ? ? ?2,2e? . ……………………………………………………………………………9 (1)当 p ? 0 时,由(Ⅱ)知, f ?x ? 在 ?1, e? 上递减, f ?x?max ? f ?1? ? 0 ? 2 ,不合题意.10 分 ( 2 ) 当

2e 在 ?1, e? 上是减函数, ?x ? e 时,g ?x?min ? 2 ;x ? 1 时,g ?x?max ? 2e . x

0 ? p ?1







x ? ?1, e?





x?

1 1? 1 ? ? 0 .? f ?x ? ? p? x ? ? ? 2 ln x ? x ? ? 2 ln x . x x? x ?
1 ? 2 ln x 单调递增, x

由(Ⅱ)知,当 p ? 1 时, f ? x ? ? x ?

? f ?x ? ? x ?


1 1 ? 2 ln x ? e ? ? 2 ? 2 , 不合 题意 . ……………………………………12 x e

(3)当 p ? 1 时,由(Ⅱ)知 f ?x ? 在 ?1, e? 上递增, f ?1? ? 0 ? 2 , 又 g ?x ? 在在 ?1, e? 上递减,? f ?x?max ? g ?x?min ? 2 .

即 p? e ? ? ? 2 ln e ? 2 ,? p ?

? ?

1? e?

4e . e ?1
2

综上, p 的取值范围是 ?

? 4e ? ,?? ? .…………………………………………………14 分 2 ? e ?1 ?

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