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高考一轮复习专题:导数及其应用


导数及其应用
考点一:导数概念与运算
(一)知识清单
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x ) -f(x 0 ) ,比值

?y 叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x 0 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 ?x ?x ?x
处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。 即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; (2)求平均变化率

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ? 0 ?x ?x
?y ?y 有极限。如果 不存在极限, ?x ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y 。 ?x ?0 ?x

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线 的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相 应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.几种常见函数的导数: ① C ? ? 0;
x x
/

② xn

? ?? ? nx
x

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ; ⑦ ? ln x ?? ?

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑧ ? l o g a x ?? ?

⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a ln a ;
x

1 ; x

1 log a e . x

1

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C ' u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以 函数的导数: (Cu ) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方: ? ? ‘=

?u? ?v?

u ' v ? uv ' (v ? 0) 。 v2

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。 复合函数求导步骤: 分解——求导——回代。 法则: y'| X = y'| U ·u'| X

(二)典型例题分析 题型一:导数的概念及其运算 例1.
如果质点 A 按规律 s ? 2t 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为(
3



A. 6m/s

B. 18m/s

C. 54m/s

D. 81m/s

变式:定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) | ≤M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界. 【文】 (1)若已知质点的运动方程为 S (t ) ?

1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一时刻 t ?1

的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

【理】 (2)若已知质点的运动方程为 S (t ) ?

2t ? 1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一时

刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

2

例2.

已知 f ( x) ?

A. ?

1 4

1 f (2 ? ?x) ? f (2) , 则 lim 的值是( ) ?x ?0 x ?x 1 B. 2 C. D. -2 4
f ?3 ? h ? ? f ?3? 为( 2h

变式 1: 设f ??3? ? 4, 则 lim
h ?0

) D.1

A.-1

B.-2

C.-3

变式 2: 设f ? x ? 在x0可导, 则 lim A. 2 f ??x0 ?

?x ?0

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 3?x ? 等于 ( ?x
C. 3 f ??x0 ?

) D. 4 f ??x0 ?

B. f ??x0 ?

例3. 求所给函数的导数:

(文科)y ? x3 ? log 2 x; y ? x ne x ; y ? (理科)y ? ( x ? 1)99 ; y ? 2e? x ;

x3 ? 1 sin x y ? 2 x sin ? 2 x ? 5?

变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) > 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) ) B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

题型二:导数的几何意义
① 已知切点,求曲线的切线方程; 注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数 f ?( x) ,并代入点斜式方程即可.

例4.

? 1) 处的切线方程为( 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1,

) D. y ? 4 x ? 5

A. y ? 3 x ? 4

B. y ? ?3x ? 2

C. y ? ?4 x ? 3

3

② 已知斜率,求曲线的切线方程; 注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.

例5.

与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

) D. 2 x ? y ? 1 ? 0

A. 2 x ? y ? 3 ? 0

③ 已知过曲线外一点,求切线方程; 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 1 0) 且与曲线 y ? 相切的直线方程. 例6. 求过点 (2, x

,f (1)) 处 的 切 线 方程 是 y ? 变 式 1 、已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图象 在 点 M (1 f (1)? f ? (1) ?


1 x ? 2 ,则 2

变式 2、

4

考点二:导数应用
(一)知识清单
1. 单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,
' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数; ' 如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为常数;

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数? ( x ) 在(a,b)内的极值; ②求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。

(二)典型例题分析
题型一:单调性

例7.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1.

5

变式 1:函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是( A. ?? 1,0? B. ?2,8? C. ?1,2? D. ?0,2?



变式 2:已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3
. .

(1)若函数的单调递减区间是(-3,1) ,则 a 的是 (2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是

变式 3: 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公 共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.

例8.

设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1(a ? 0) 若曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与直
3 2

线 12x ? y ? 6 平行,求: (Ⅰ)a 的值;(Ⅱ)函数 f(x)的单调区间.

6

例9.

3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1( x ? R) , 函数 y ? f ( x ) 的图像在点 P(1, f (1)) 的

切线方程是 y ? x ? 4 . (Ⅰ)求函数

f ( x) 的解析式;

2? ? k, k ? ? ? 3 ? 上是单调函数,求实数 k 的取值范围. (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ?

题型二:极值与最值

1 例10. 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 的极值. 3 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在 ?0,3? 上的最大值与最小值.. 3

7

变式 1: 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则 函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

3 2 变式 2:已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图

象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.

3 变式 3:若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 极值 ?

4 , 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

8

例11.

设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2) ) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点以及极值.

3 2 例12. 已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值;

9

3 2 例13. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方

程为 y=3x+1 (Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围

题型三:导数综合运用 ① 导数单调区间、极值、最值在选择题中的应用

例14.

? (1).已知函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ( x) 的图像如下,则

( y



A.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f ( x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f ( x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点

?1 x

? x2

? x3 O
o O

x4

?

x

10

? ? (2) 、已知函数 y ? xf ( x) 的图象如图1所示(其中 f ( x ) 是函数 f ( x) 的导函数) ,下面四
个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是( )

(3).、若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] ... 上的图象可能是 ( )

y

y y

y

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

3 2 (4) 、.右图为函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象, f ( x) 为函数 f ( x) 的
'

导函数,则不等式 x. f ( x) ? 0 的解集是
'

3 2 ? (5) 、 .设 a 为实数, 函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 2) x 的导函数是 f ( x ) 是偶函数, 则a=

.

11

② 导数与不等式、函数等的综合问题

利用单调性、极值求参数的取值范围

例15.

已知 f ?x? ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。

变式:设函数 f(x)?2x3?3(a?1)x2?6ax?8,其中 a?R。 (1) 若 f(x)在 x?3 处取得极值,求常数 a 的值; (2) 若 f(x)在(??,0)上为增函数,求 a 的取值范围。

12

3 2 变式: 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1( x ? R) , 函数 y ? f ( x ) 的图像在点 P(1, f (1)) 的切

f ( x) 的解析式; 线方程是 y ? x ? 4 . (Ⅰ)求函数
2? ? k, k ? ? ? 3 ? 上是单调函数,求实数 k 的取值范围. (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ?

例16.

设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 .

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值;
2],在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ? [0,

范围.

13

③导数中的一些恒成立问题

1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3 例17. 设函数
(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值.

? (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.

2 例18. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值 3 (1)求 a , b 的值与函数 f ( x) 的单调区间
(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
2

14

变式:设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3
(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;

课后作业
, ? 3) 处的切线方程是 1、曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1


2 、 . 已知 曲 线 C : y ? x 3 ? 3x 2 ? 2 x ,直线 l : y ? kx ,且 直线 l 与曲 线 C 相切于 点

?x0 , y0 ? x0 ? 0 ,求直线 l 的方程及切点坐标。

15

3 、设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 。 (1)求 a , b , c 的值;
(2)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值。

4、设函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (1)求 b 、 c 的值。 (2)求 g ( x) 的单调区间与极值。

16

5、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间;
? 2 1? (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?

6、已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

17

7、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 . (1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

1 3 1 2 x ? ax ? ?a ? 1?x ? 1 在区间 ?1,4? 上是减函数, 在区间 ?6,??? 上 3 2 是增函数,求实数 a 的取值范围.
8、 若函数 f ?x ? ?

18

附加:

, ) g (? x) ? g ( x ) 且 x ? 0 时, 1. ( 福 建 ) 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x , ? (x ? f ?( x) ? 0 ,g ) ,则 0 x ? 0 时(
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
1 x



B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

2. (海南)曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.

9 2 e 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

3. (海南)曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



A.

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e2 2

4. (江苏)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.



A. 3 5.若 0 ? x ?

5 2

C. 2

D.

3 2

π ,则下列命题中正确的是( ) 2 3 3 4 2 4 2 A. sin x ? x B. sin x ? x C. sin x ? 2 x D. sin x ? 2 x π π π π π 6. (江西)若 0 ? x ? ,则下列命题正确的是( ) 2 2 2 3 3 A. sin x ? x B. sin x ? x C. sin x ? x D. sin x ? x π π π π
7. (辽宁)已知 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x ) 与 g ( x) 仅当 x ? 0 时的 函数值为 0,且 f ( x) ≥ g ( x) ,那么下列情形不可能 出现的是( ... A.0 是 f ( x ) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值 B.0 是 f ( x ) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值 C.0 是 f ( x ) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值 D.0 是 f ( x ) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值 )

19

8. (全国一)曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?
C.



A.

1 9

B.

2 9

1 3

D.

2 3


9. (全国二)已知曲线 y ? A.1 B.2

1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
C. 3 D.4

10. (浙江)设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直 角坐标系中,不可能正确的是( )

11. (北京) f ?( x ) 是 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3

12. (广东)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 13. (江苏)已知函数 f ( x) ? x ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,
3

则M ?m ? 14. (福建)设函数 f ( x) ? tx ? 2t x ? t ?1( x ? R,t ? 0) .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ;

2) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0,

20

15. (广东)已知 a 是实数, 函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a . 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有零点,求 a 的取值范围.

21


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