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2016届高三数学(理科)综合练习(20)


2016 届高三数学(理科)综合练习(20)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.命题“ ?x ? 2, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定形式为 2.已知集合 A ? (?1,3], B ? {2,4}, 则 A ? B ? ▲ . ▲ . ▲ .

11.已知角 ? 的终边经过点 P (1,?1) ,点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图 象上的任意两点,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时, x1 ? x 2 的最小值为

?

,则 f ( ) 的值是 ▲ 3 2

?

.

12.已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x ? AB ? y ? AC 且 2 x ? 10 y ? 5 ,则

cos ?BAC ?



.

3 1 3.设 a ? ( , sin ? ) , b ? (cos ? , ) 且 a ? b ,则 tan ? ? 4 4

13.已知等比数列 ?an ? 的首项为

4 1 1 * , 公比为 ? , 其前 n 项为 Sn , 若 A ?S n? ? B 对 n ? N 3 3 Sn
.

4. 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? , 其前 n 项和为 Sn , 若 a1 , a 则 3 ,a 4 成等比数列, 值为 ▲ .

S3 ? S2 的 S5 ? S3

恒成立,则 B ? A 的最小值为



14.设函数 f ? x ? ? loga ? x ? 4a ?? a ? 0, a ? 1? ,当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, 点 Q ? x ? 2a, ? y ? 是函数 y=g(x)图象上的点.若当 x∈[2a+2,2a+4]时,恒有|f(x) ? g(x)|≤1, 则 a 的取值范围是 ▲ .

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? 15 , b ? 10 , A ? 60? ,则

cos B ? ____▲___. ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? ?1,3? , b ? ?1,1? , c ? a ? ? b , a 和 c 的夹角是锐角,则实数 λ 的取值范围
是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题纸的指定区域内.

7.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 an ?

1 ,则 S5 ? n ? n ? 1?





15. (本小题满分 14 分)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,命题 q:函 数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

8.已知 cos(? ?

?
4

)??

10 ? , ? ? (0, ) ,则 cos 2? = ▲ 10 2

. 16.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)若点 P(1, ? 3) 在角 α 的终边上,求 f(α)的值; . (Ⅱ)若 x ? [ ?

?ln x, x ? 0 9.已知 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是 ▲ ?? ln(? x), x ? 0

? ?

, ] ,求 f(x)的值域. 6 3

10.若存在 x ? ? 2,3? ,使不等式

1 ? ax ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 ▲ x ? 2x

.

17. (本小题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知 a≠b,c= 3, cos2A-cos2B= 3s inAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA= ,求△ABC 的面积. 5

19. (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn ? 3n ? 3 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn .

18. (本小题满分 16 分)如图,有一景区的平面图是一半圆形,其中 AB 长为 2km,C、D 两点在 半圆弧上,满足 BC=CD.设 ?COB ? ? . (1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当 θ 为何值时, 观光道路的总长 l 最长,并求 l 的最大值. (2)若要在景区内种植鲜花,其中在 ?AOD 和 ?BOC 内种满鲜花,在扇形 COD 内种一半面 积的鲜花,则当 θ 为何值时,鲜花种植面积 S 最大.
D C

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)= x3 ? 3ax ? a ?

? ?

1? ?. 3?

(1)当 a=1 时,求 f(x)的极小值; (2)设 g(x)=|f(x)|,x∈[ ? 1,1],求 g(x)的最大值 F(a).

B

O

A

综合练习(20)参考答案
1. 【答案】 ?x ? 2, x2 ? 2x ? 1 ? 0 2. 【答案】 {2} 【解析】 A ? B ? (?3,4] ? {2} ? {2} .

8. 【答案】 ? 【解析】 cos(? ?

3 5

?
4

)??

? 3 10 10 ,? sin(? ? ) ? , 4 10 10

3 ? ? ?? 3 ? ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? sin ? 2? ? ? ? ? ,? cos 2? ? ? 5 4 4 2? 5 ?
9. 【答案】 (?1, 0) ? (1, ??) 【解析】 a ? 0 时,由 f (a) ? f (?a) 得

r r 3 1 3cos ? , 3. 【答案】 ?3 . 【解析】因为 a ? b ,所以 a ? b ? cos ? ? sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ? 4 4 sin ? ? ?3 ,故应填 ?3 . 所以 tan ? ? cos ?
4. 【答案】2 【解析】 设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 由于 a1 , a3 , a4 成等比数列,因此 a3 = a1a4 ,
2

ln a ? ? ln a ? ln a ? 0 ? a ? 1 , a ? 0 时,由 f (a) ? f (?a) 得
? ln(?a) ? ln(?a) ? ln(?a) ? 0 ? 0 ? ?a ? 1 ? ?1 ? a ? 0 ,因此 a ? (?1, 0) ? (1, ??) .
7 1 1 x x 【解析】因为 x ? ? 2,3? ,所以不等式可化为 a ? 2 ? ,设 y ? 2 ? ,因为 2 x x 1 1 y ? 2 x 和 y ? ? 在区间 ?2,3? 上为增函数,所以函数 y ? 2 x ? 在区间 ?2,3? 上为增函数,则其值 x x
10. 【答案】 域为 ? ,

即 a1 + 2d

(

)

2

= a1 ( a1 + 3d ) ,整理得: a1 + 4d = 0 , a1 = - 4d ,所以

S3 ? S 2 a3 a ? 2d ?2d ? ? 1 ? ?2 S5 ? S3 a4 ? a5 2a1 ? 7d ?d
5. 【答案】

7 7 ? 7 23? ,由题意得 a ? ,所以实数 a 的最小值为 . ? 2 2 ?2 3 ?
2 2

a b 15 10 6 3 ? ? 【解析】由正弦定理得: 即 ,∴ sin B ? , 0 sin A sin B sin 60 sin B 3 3

11.答案: ? 12.答案:

6 ∵ a ? b ,∴ cos B ? . 3
5 , 且? ? 0} 【解析】由题可知,由于 a ? c 夹角为锐角,故 2 ? ? ? ? ? ? a ?c 10 ? 4? ,于是有 0 ? cos ? a, c ?? 1 ,c ? (1 ? ?,3 ? ? ) 又因为 cos ? a, c ?? ? ? ? | a || c | 20? 2 ? 80? ? 100
6. 【答案】 {? | ? ? ?

1 3 或 3 5 59 13.答案: 72
14. 答案: 0 ? a ? 1 ?

14 4

0?

5 ? 1,解得实数 λ 的取值范围是 {? | ? ? ? , 且? ? 0} ; 2 20?2 ? 80? ? 100
7. 【答案】

10 ? 4?

5 1 1 1 ? ? 【解析】 an ? ,所以 6 n(n ? 1) n n ? 1

1 5 ? 1? ? 1 1? ?1 1? ? 1 1? ?1 1? S5 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? . 6 6 ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? 4 5? ? 5 6?

15.解析:当命题 p 为真时,Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2, 当命题 q 为真时,3-2a>1,所以 a<1. 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p,q 为一真一假. ? ?-2<a<2 当 p 真 q 假时,? ,所以 1≤a<2, ?a≥1 ? ? ?a≤-2或a≥2 当 p 假 q 真时,? ,所以 a≤-2. ?a<1 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[1,2).

16.解: (Ⅰ)因为点 P(1, ? 3) 在角 α 的终边上,所以 所以 = (Ⅱ) 因为 ,所以 . = ,所以 =





, ,

? ?? ?AOD ? ? ? 2? , ? ? ? 0, ? 18. 解析: (1) 由题 ?COD ? ? , ? 2?
取 BC 中点 M,连结 OM.则 OM ? BC , ?BOM ? 所以 BC ? 2BM ? 2sin 同理可得 CD ? 2sin

?
2

D C M



所以 f(x)的值域是[﹣2,1]. 17.

?
2



?
2

2 ?? ? ? 所以 l ? 2 ? 2sin ? 2sin ? 2cos ? ? 2 ?1 ? 2sin 2 ? ? 4sin ? 2 . 2 2 2? 2 ?

, AD ? 2sin

? ? 2?

? 2cos? .

B

O

A

?

?

? 1 ? ? ? 1? ? ?? 即 l ? ?4 ? sin ? ? ? 5,? ? ? 0, ? .所以当 sin ? ,即 ? ? 时,有 lmax ? 5 . 2 2? 2 2 3 ? ? 2?
2

又∵ sin A ? sin C ,? 由正弦定理有 a ? c ,? A ? C ,? A 为锐角,? cos A ? 1 ? sin A ?
2

3 , 5

(2)当 ? ? 19.

?
3

时,鲜花种植面积 S 最大.

20.

所以 T1 ? b1 ? 当 n ? 1 时,

1 3

1 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? ? ?1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ? n ? 1? 31? n ? 3
0 ?1 2? n 所以 3Tn ? 1 ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? 1? 3

?

?

两式相减,得 2Tn ?

2 2 1 ? 31?n ? ? 30 ? 3?1 ? 32? n ? ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? ? ? n ? 1? ? 31?n 3 3 1 ? 3?1

13 6n ? 3 13 6n ? 3 ? ? ,所以 Tn ? n 6 2?3 12 4 ? 3n 经检验, n ? 1 时也适合, 13 6n ? 3 ? 综上可得: Tn ? 12 4 ? 3n ?

2016 届高三数学(理科)综合练习(20)
1.命题“ ?x ? 2, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定形式为 【答案】 ?x ? 2, x2 ? 2x ? 1 ? 0 2.已知集合 A ? (?1,3], B ? {2,4}, 则 A ? B ? . ▲ .





? ? 5 , 且? ? 0} 【解析】 由题可知, 由于 a ? c 夹角为锐角, 故 0 ? cos ? a, c ?? 1 , 2 ? ? ? ? a?c 10 ? 4? c ? (1 ? ?,3 ? ? ) 又因为 cos ? a, c ?? ? ,于是有 ? ? | a || c | 20? 2 ? 80? ? 100
{? | ? ? ? 【答案】

0?

5 ? 1 ,解得实数 λ 的取值范围是 {? | ? ? ? , 且? ? 0} ; 2 20?2 ? 80? ? 100
7.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 an ?

10 ? 4?

【答案】 {2} 【解析】 A ? B ? (?3,4] ? {2} ? {2} . 3.设 a ? ( , sin ? ) , b ? (cos ? , ) 且 a ? b ,则 tan ? ?

r r 3 1 【答案】 ?3 . 【解析】因为 a ? b ,所以 a ? b ? cos ? ? sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ?3cos ? , 4 4 sin ? ? ?3 ,故应填 ?3 . 所以 tan ? ? cos ?
4. 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? , 其前 n 项和为 Sn , 若 a1 , a 则 3 ,a 4 成等比数列, 值为 .

3 4

1 4

1 ,则 S5 ? n ? n ? 1?



. 【答案】

5 1 1 1 ? ? 【解析】 an ? ,所以 6 n(n ? 1) n n ? 1

S3 ? S2 的 S5 ? S3

1 5 ? 1? ? 1 1? ?1 1? ? 1 1? ?1 1? S5 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? . 6 6 ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? 4 5? ? 5 6?
8.已知 cos(? ?

?
4

)??

10 ? , ? ? (0, ) ,则 cos 2? =__________. 10 2

【答案】2【解析】设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由于 a1 , a3 , a4 成等比数列,因此 a32 = a1a4 , 即 a1 + 2d

【答案】 ? 【解析】 cos(? ?

(

)

2

= a1 ( a1 + 3d ) ,整理得: a1 + 4d = 0 , a1 = - 4d ,所以

3 5

?
4

)??

? 3 10 10 ,? sin(? ? ) ? , 4 10 10

S3 ? S 2 a3 a ? 2d ?2d ? ? 1 ? ?2 S5 ? S3 a4 ? a5 2a1 ? 7d ?d
5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 ,则
?

3 ? ? ?? 3 ? ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? sin ? 2? ? ? ? ? ,? cos 2? ? ? 5 4 4 2? 5 ?
?ln x, x ? 0 a) ? f ( a? ) 9. 已知 f ( x) ? ? , 若 f( ?? ln(? x), x ? 0
【答案】 (?1, 0) ? (1, ??) 【解析】 试题分析: a ? 0 时,由 f (a) ? f (?a) 得 ln a ? ? ln a ? ln a ? 0 ? a ? 1 , a ? 0 时,由 , 则实数 a 的取值范围是__________________.

cos B ? _______.
【答案】

a b 15 10 6 3 ? ? 【解析】由正弦定理得: 即 ,∴ sin B ? , 0 sin A sin B sin 60 sin B 3 3

∵ a ? b ,∴ cos B ?

6 . 3 ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? ?1,3? , b ? ?1,1? , c ? a ? ? b , a 和 c 的夹角是锐角,则实数 λ 的取值范围

f (a) ? f (?a) 得 ? ln(?a) ? ln(?a) ? ln(?a) ? 0 ? 0 ? ?a ? 1 ? ?1 ? a ? 0 ,因此 a ? (?1, 0) ? (1, ??) .

考点:分段函数,对数不等式. 10.若存在 x ? ? 2,3? ,使不等式
1 ? ax ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x



? ?-2<a<2 当 p 真 q 假时,? ,所以 1≤a<2, ?a≥1 ? ?a≤-2或a≥2 ? 当 p 假 q 真时,? ,所以 a≤-2. ?a<1 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[1,2).

7 1 1 x x 【答案】 【解析】 因为 x ? ? 2,3? , 所以不等式可化为 a ? 2 ? , 设y?2 ? , 因为 y ? 2 x 2 x x 1 1 x 和 y ? ? 在区间 ?2,3? 上为增函数,所以函数 y ? 2 ? 在区间 ?2,3? 上为增函数,则其值域为 x x 7 7 ? 7 23? , ? ,由题意得 a ? ,所以实数 a 的最小值为 . ? 2 2 ?2 3 ?
11.已知角 ? 的终边经过点 P (1,?1) ,点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图 象上的任意两点,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时, x1 ? x 2 的最小值为 答案: ?

16.已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)若点 P(1, ? 3) 在角 α 的终边上,求 f(α)的值; (Ⅱ)若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f(x)的值域. 6 3
, ,

?

,则 f ( ) 的值是 ▲ 3 2

?

.

解: (Ⅰ)因为点 P(1, ? 3) 在角 α 的终边上,所以 所以 = (Ⅱ) 因为 ,所以 . = ,所以 =

2 2
.

12.已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x ? AB ? y ? AC 且 2 x ? 10 y ? 5 ,则

cos ?BAC ? 1 3 答案: 或 3 5

, ,

4 1 1 * 13.已知等比数列 ?an ? 的首项为 , 公比为 ? , 其前 n 项为 Sn , 若 A ?S n? ? B 对 n ? N 3 3 Sn
恒成立,则 B ? A 的最小值为 ▲ .

所以 f(x)的值域是[﹣2,1]. 17.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知 a≠b,c= 3,cos2A-cos2B= 3 s inAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA= ,求△ABC 的面积. 5

59 答案: 72
14.设函数 f ? x ? ? loga ? x ? 4a ?? a ? 0, a ? 1? ,当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, 点 Q ? x ? 2a, ? y ? 是函数 y=g(x)图象上的点.若当 x∈[2a+2,2a+4]时,恒有|f(x) ? g(x)|≤1, 则 a 的取值范围是 答案: 0 ? a ? 1 ? .

14 4

15.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,命题 q:函数 f(x)=(3-2a)x 是 增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 解析:当命题 p 为真时,Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2, 当命题 q 为真时,3-2a>1,所以 a<1. 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p,q 为一真一假.

D C

B

O

A

(第 8 题) 解析:
D C M B O A

? ?? (1)由题 ?COD ? ? , ?AOD ? ? ? 2? , ? ? ? 0, ? ? 2?

3 又∵ sin A ? sin C ,? 由正弦定理有 a ? c ,? A ? C ,? A 为锐角,? cos A ? 1 ? sin A ? , 5
2

取 BC 中点 M,连结 OM.则 OM ? BC , ?BOM ? 所以 BC ? 2BM ? 2sin 同理可得 CD ? 2sin

?
2



?
2



? 2cos? . 2 ? ? ?? ? ? 所以 l ? 2 ? 2sin ? 2sin ? 2cos ? ? 2 ?1 ? 2sin 2 ? ? 4sin ? 2 . 2 2 2? 2 ? 2
, AD ? 2sin

?

? ? 2?

? 1 ? ? ? 1? ? ?? 即 l ? ?4 ? sin ? ? ? 5,? ? ? 0, ? .所以当 sin ? ,即 ? ? 时,有 lmax ? 5 . 2 2? 2 2 3 ? ? 2?
2

18. 如图,有一景区的平面图是一半圆形,其中 AB 长为 2km,C、D 两点在半圆弧上,满足 BC=CD.设 ?COB ? ? . (1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当 θ 为何值时, 观光道路的总长 l 最长,并求 l 的最大值. (2)若要在景区内种植鲜花,其中在 ?AOD 和 ?BOC 内种满鲜花, 在扇形 COD 内种一半面积的鲜花,则当 θ 为何值时,鲜花种植面积 S 最大.

所以 T1 ? b1 ? 当 n ? 1 时, (2)当 ? ?

1 3

?
3

时,鲜花种植面积 S 最大.

1 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? ? ?1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ? n ? 1? 31? n ? 3
0 ?1 2? n 所以 3Tn ? 1 ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? 1? 3

考点:1.三角恒等式;2.利用导数研究函数的最值; 19.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn ? 3 ? 3 .
n

?

?

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn .

两式相减,得 2Tn ?

2 2 1 ? 31?n ? ? 30 ? 3?1 ? 32? n ? ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? ? ? n ? 1? ? 31?n ?1 3 3 1? 3

13 6n ? 3 13 6n ? 3 ? ? ,所以 Tn ? n 6 2?3 12 4 ? 3n 经检验, n ? 1 时也适合, 13 6n ? 3 ? 综上可得: Tn ? 12 4 ? 3n ?
20.已知函数 f(x)=x3-3ax(a≥

1 ). 3

(1)当 a=1 时,求 f(x)的极小值; (2)设 g(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求 g(x)的最大值 F(a).


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