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第二节 离散型随机变量及其分布


2.2 离散型随机变量的概率分布及其 分布函数
一、离散型随机变量的概念 二、离散型随机变量的分布函数 三、常见的离散型随机变量的概率分布

一、离散型随机变量的概念
定义: 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个, 可列多个,则称 X 为离散型随机变量.

是一个离散型随机变量, 设X是一个离散型

随机变量,它可能取 是一个离散型随机变量 的值是 x1, x2 , … . 为了描述随机变量 X ,我们不仅需要知 道随机变量X的取值 而且还应知道X取每个 的取值, 道随机变量 的取值,而且还应知道 取每个 值的概率. 值的概率.

离散随机变量的概率分布
X 的所有可能取值是 x1 , x2 ,L , xn ,L ,而取值 xk 的概率为 pk
设离散型随机变量 即

P{X = x k } = p k

称此式为X 分布律( 称此式为X的分布律(列)或概率分布 一般列成概率分布表:

ξ P

x1 p1

x 2 ...x k ... p 2 ...p k ...

概率分布的性质

∑ pk =1
k =1



规范性 非负性

pk ≥ 0, k = 1,2,L

例1

从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 可能取的值是0,1,2 可能取的值是

C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X=1)= = i =1 C 10 1 2 这样, 这样,我们就掌握了X这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律. C5 10

3 3 3 5 2 1 3 2 3 5

二、离散型随机变量的分布函数
F( x) = P( X ≤ x) = P( U( X = xk ))
xk ≤ x

=

xk ≤ x

∑P( X = x

k

)=

xk ≤ x

∑p

k

pk = P( X = xk ) = F( xk ) ? F( xk?1 )
是分段阶梯函数, F( x) 是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处 发生间断,间断点为第一类跳跃间断点. 发生间断,间断点为第一类跳跃间断点.

分布函数图

P( X = x) F(x)
1
1 2

注意右连续
O

12 13 16
0
O

16
O

1

2

x

概率函数图

注意: 注意:
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (1)确定随机变量的所有可能取值; 确定随机变量的所有可能取值 (2)设法(如利用古典概率)计算取每个值的概率. (2)设法(如利用古典概率)计算取每个值的概率. 设法 (3)列出随机变量的概率分布表(或写出概率函数) (3)列出随机变量的概率分布表(或写出概率函数). 列出随机变量的概率分布表

求分布律举例
设有一批产品20 20件 其中有3件次品, 例1 设有一批产品20件,其中有3件次品,从中 任意抽取2 如果用X表示取得的次品数, 任意抽取2件,如果用X表示取得的次品数,求随机变 的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解:X的可能取值为 0,1,2 的可能取值为 , ,
C P{X=0} = C
2 17 2 20

136 = =P(抽得的两件全为正品) (抽得的两件全为正品) 190

1 C 3 C 117 51 = P{X=1} = =P(只有一件为次品) (只有一件为次品) 2 C 20 190

C 32 3 = P{X=2} = =P(抽得的两件全为次品) (抽得的两件全为次品) 2 C 20 190

故 X的分布律为
X
pk

0
136 190

1
51 190

2
3 190

X=1} X=2} 而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}∪{X=2} 至少抽得一件次品”={X≥1} {X=1 X≥1 注意: X=1} X=2}是互不相容的! 注意:{X=1}与{X=2}是互不相容的! 故
51 3 54 27 P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} = 190 + 190 = 190 = 95 X≥1} P{X=1}+P{X=2}

实际上,这仍是古典概型的计算题,只是表达事 实际上,这仍是古典概型的计算题, 古典概型的计算题 件的方式变了

例2 从1~10这10个数字中随机取出5个数字,令 10这10个数字中随机取出 个数字, 个数字中随机取出5
X:取出的5个数字中的最大值.试求X 的分布律. 取出的5个数字中的最大值. 的分布律.
求分布率一定要说 5,6,7,8,9,10. 并且 10. 解:X 的可能取值为 的取值范围! 明 k 的取值范围! 4 C k ?1 P{X = k }=—— k = 5, 6, L, 10 . 5

C 10

具体写出,即可得 X 的分布律: 具体写出, 的分布律:

X P

5
1 252

6
5 252

7
15 252

8
35 252

9
70 252

10
126 252

例3 设随机变量 的分布律为 设随机变量X的分布律为

试确定常数b. 试确定常数

2 k P{ X = k} = b( ) , k = 1,2,3,L 3
由分布律的性质,有 由分布律的性质 有






k =1

3 = 2b = 1 =b 1 3

2

2 b ∞ 2 k 3 P ( X = k ) = ∑ b( ) = 2 3 k =1 1? 3

1 b= . 2

三、常见的离散型随机变量的概率分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk Pk
应用场合 1 0 0 < p < 1

p

1-p

凡是随机试验只有两个可能的结果, 凡是随机试验只有两个可能的结果,

常用0 分布描述,如产品是否合格、 常用0 – 1分布描述,如产品是否合格、人口性别统 系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 注:其分布律可写成

P( X = k) = p (1? p) , k = 0,1
k

1?k

例 设一个袋中装有3个红球和7个白球,现在从中 设一个袋中装有3个红球和7个白球,
随机抽取一球,如果每个球抽取的机会相等, 随机抽取一球,如果每个球抽取的机会相等, 并且用数“1”代表取得红球, 0”代表取得 并且用数“1”代表取得红球,“0”代表取得 代表取得红球 白球, 白球,则随机抽取一球所得的值是一个离散型 随机变量

?1 X =? ?0

( 取得红球 ) ( 取得白球 )

其概率分布为 P ( X = 1) = 3 10 服从两点分布。 即X服从两点分布。

7 P ( X = 0) = 10

(2) 二项分布 B(n, p)
背景:n 重Bernoulli 试验中,每次试验感兴 背景: 试验中, 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量 若P ( A ) = p , 则

Pn (k) = P( X = k) = C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k = 0,1,L, n

称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 服从参数为 的二项分布( 分布).记作 记作

X ~ B(n, p)
的二项分布. 0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.

一大批产品的次品率为0.1 0.1, 例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1,现从中取 15件 试求下列事件的概率: 出15件.试求下列事件的概率: B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } 取出的15件产品中恰有2 15件产品中恰有 C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 } 取出的15件产品中至少有2 15件产品中至少有 由于从一大批产品中取15件产品, 15件产品 由于从一大批产品中取15件产品,故可近似 解: 看作是一15 15重 试验. 看作是一15重Bernoulli试验.

A = { 取出一件产品为次品 }, 则 P( A) = 0.1.
2 2 13 所以, 所以, P (B ) = C 15 × 0.1 × 0.9

P (C ) = 1 ? P (C )
0 15 0

= 1 ? C × 0 .1 × 0 .9 ? C × 0 .1 × 0 .9
15 1 15

14

某公交公司有车辆300台 例3.1.2 某公交公司有车辆 台,每台出故障的 概率是0.01,求至少有295辆车能正常运行的概率。 ,求至少有 辆车能正常运行的概率。 概率是 辆车能正常运行的概率 解:观察每辆车是否正常运行是只有两个结果 的试验,观察300辆车是否正常运行可看作是做了 的试验,观察 辆车是否正常运行可看作是做了 300 重Bernoulli 试验。 试验。 出故障的车辆数” 令X=“出故障的车辆数”,则X~b(300,0.01)。 出故障的车辆数 。 至少有295辆车能正常运行,即至多有5辆车出 辆车能正常运行,即至多有 辆车出 至少有 辆车能正常运行 故障。 故障。 至多有5辆车出故障的概率为: 至多有 辆车出故障的概率为: 辆车出故障的概率为

k P ( X ≤ 5) = ∑ C 300 0.01k × 0.99 300? k k =0

5

考虑到直接计算上式较麻烦, 很小时, 考虑到直接计算上式较麻烦,当n很大p很小时, 有下列近似计算公式: 有下列近似计算公式:

C p (1 ? p)
k n k

n?k



λ k e ?λ
k!

(λ = np)

这就是下面的泊松定理. 这就是下面的泊松定理. Poisson定理 定理 为一常数, 是任意正整数 是任意正整数。 设λ >0为一常数,n是任意正整数。设npn=λ, 为一常数 λ 则对任一固定的非负整数k, 则对任一固定的非负整数 ,有

limC
n→∞

k n

p (1? pn )
k n

n?k



λe

k ?λ

证明: 证明:设 pn = C p (1 ? pn )
k n k n

λ
n

k!

,故

n? k

n( n ? 1) L( n ? k + 1) λ k λ n? k ( ) (1 ? ) = k! n n

=

λk n( n ? 1)L ( n ? k + 1)
k! ? n
k

? (1 ?

λ
n
n

) ? (1 ?
n

λ
n

)

?k

1 对固定的 k ,当n → ∞时,( - ) → e n λk e ? λ k k n? k
∴ lim C n pn (1 ? pn )
n→ ∞

λ





k!

实际应用中: 实际应用中:当n较大,p较小,np适中时,即 较大,p较小,np适中时, ,p较小 适中时 可用泊松公式近似替换二项概率公式 若某人做某事的成功率为1%,他重复努力 若某人做某事的成功率为 ,他重复努力400次, 次 则至少成功一次的概率为

P{ X ≥ 1} = 1 ? P{ X = 0} =1 ? 0.99
成功次数服从二项概率
400

≈ 0.9820

B(400, 0.01)

有百分之一的希望,就要做百分之百的努力 有百分之一的希望,就要做百分之百的努力!

(3) Poisson 分布 π (λ) 或 P(λ)

k! 其中 λ > 0 是常数,则称 X 服从参数为 λ 是常数, 服从参数为 分布, 的Poisson 分布,记作π (λ) 或 P(λ)
应用场合: 应用场合:

若 P( X = k) = e



λ

k

, k = 0,1,2,L

在一定时间间隔内: 在一定时间间隔内: 电话总机接到的电话次数; 电话总机接到的电话次数; 一匹布上的疵点个数; 一匹布上的疵点个数; 大卖场的顾客数; 大卖场的顾客数;

一个容器中的细菌数; 一个容器中的细菌数; 市级医院急诊病人数; 市级医院急诊病人数; 某一地区发生的交通事故的次数; 某一地区发生的交通事故的次数 放射性物质发出的粒子数; 放射性物质发出的粒子数; 一本书中每页印刷错误的个数; 一本书中每页印刷错误的个数; 等等. 等等
说明: 说明 1) 泊松分布与二项分布的关系:这两个分布的数学模 泊松分布与二项分布的关系: 型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当 很大 概型。 分布是二项分布当n很大 型都是 概型 分布是二项分布当 p 很小时的近似计算。 很小时的近似计算。 2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件,如地震、 分布主要用于描述一些稀有事件, 分布主要用于描述一些稀有事件 如地震、 火山爆发、特大洪水等等。 火山爆发、特大洪水等等。

进货问题) 例3.1.3 (进货问题)由某商店过去的销售记录知 进货问题 海尔彩电每月的销售数可用参数为λ=5的泊 道,海尔彩电每月的销售数可用参数为λ=5的泊 松分布来描述,为了以95% 95%以上的把握保证月底不 松分布来描述,为了以95%以上的把握保证月底不 脱销,问商店在月底至少应进多少台? 脱销,问商店在月底至少应进多少台? 设每月的销售数为X,月底进N台 解:设每月的销售数为X,月底进N台,则

“月底不脱销”? X ≤ N ” 月底不脱销” “
的最小的N 即求满足 P(X≤N)>0.95 的最小的 由于 P(X≤N)=1-P(X>N),即求 ,

5 k e ?5 P ( X > N ) = P ( X ≥ N + 1) = ∑ ≤ 0.05 k! k = N +1


查表知: 查表知:N+1=10,所以 N=9 所以 N=9 即要以95%以上的把握保证月底不脱销, 以上的把握保证月底不脱销, 即要以 以上的把握保证月底不脱销 月底至少应进9台商品。 月底至少应进 台商品。 台商品

(4) 几何分布
设用机枪射击一次击落飞机的概率为 p,无限次地射击, 无限次地射击, 则首次击落飞机时所需射击的次数 X 服从参数为 p的几 何分布, 何分布,记 X ~ G( p).即

P( X = k) = (1 ? p)

k?1 ?

p,

k = 1,2,L

容易验证,若在前 m 次射击中未击落飞机,那么,在 次射击中未击落飞机,那么, 容易验证, 此条件下, 此条件下,为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布, 无关, 从同一几何分布,该分布与 m 无关,这就是所谓的 无记忆性. 无记忆性.

(5) 超几何分布
设有产品 s 件,其中正品 N件,次品 M件(s = M + N) ,从中随机地不放回抽取 n件, n ≤ N 记X为抽到的 , 的正品件数, 的分布律. 的正品件数,求X 的分布律. 此时抽到 k 件正品的概率为
? N ?? M ? ? ?? ? k ?? n ? k ? ? ? P( X = k) = ? ?? ? s? ? ? ? n? ? ?

k=0,1,… ,n =0,

服从超几何分布 超几何分布. 称X 服从超几何分布.记 X ~ H( M, N , n) 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布, 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布,因此 在实际应用中,当 s, M, N 都很大时,超几何分布可 在实际应用中, 都很大时, 用下面式子近似

? N ?? M ? ? ?? ? k ?? n ? k ? ? ? P( X = k) = ? ?? ? s? ? ? ? n? ? ?

? n? N k M n?k ≈ ? ?( ) ( ) , ?k? s s ? ?

负二项分布(Pascal分布 自学) 分布) (7) 负二项分布(Pascal分布) (自学)

思考: 某人酒后回家, 思考: 某人酒后回家,从n把外型相同的钥匙中任 把外型相同的钥匙中任 取一把去开门,求他第k次才打开门的概率 次才打开门的概率. 取一把去开门,求他第 次才打开门的概率. 解:记 Ak =“第k次打开门”, 第 次打开门”
Ak =“第k次没有打开门” k=1,2,3,… 第 次没有打开门”

1 1 显然P ( Ak ) = , P ( Ak ) = 1 ? n n
次才打开门的概率为: 第k次才打开门的概率为:

1 k ?1 1 P ( A1 A2 L Ak ?1 Ak )= (1 ? ) n n


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