当前位置:首页 >> 医学 >>

第二节 离散型随机变量及其分布


2.2 离散型随机变量的概率分布及其 分布函数
一、离散型随机变量的概念 二、离散型随机变量的分布函数 三、常见的离散型随机变量的概率分布

一、离散型随机变量的概念
定义: 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个, 可列多个,则称 X 为离散型随机变量.

是一个离散型随机变量, 设X是一个离散型随机变量,它可能取 是一个离散型随机变量 的值是 x1, x2 , … . 为了描述随机变量 X ,我们不仅需要知 道随机变量X的取值 而且还应知道X取每个 的取值, 道随机变量 的取值,而且还应知道 取每个 值的概率. 值的概率.

离散随机变量的概率分布
X 的所有可能取值是 x1 , x2 ,L , xn ,L ,而取值 xk 的概率为 pk
设离散型随机变量 即

P{X = x k } = p k

称此式为X 分布律( 称此式为X的分布律(列)或概率分布 一般列成概率分布表:

ξ P

x1 p1

x 2 ...x k ... p 2 ...p k ...

概率分布的性质

∑ pk =1
k =1



规范性 非负性

pk ≥ 0, k = 1,2,L

例1

从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 可能取的值是0,1,2 可能取的值是

C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X=1)= = i =1 C 10 1 2 这样, 这样,我们就掌握了X这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律. C5 10

3 3 3 5 2 1 3 2 3 5

二、离散型随机变量的分布函数
F( x) = P( X ≤ x) = P( U( X = xk ))
xk ≤ x

=

xk ≤ x

∑P( X = x

k

)=

xk ≤ x

∑p

k

pk = P( X = xk ) = F( xk ) ? F( xk?1 )
是分段阶梯函数, F( x) 是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处 发生间断,间断点为第一类跳跃间断点. 发生间断,间断点为第一类跳跃间断点.

分布函数图

P( X = x) F(x)
1
1 2

注意右连续
O

12 13 16
0
O

16
O

1

2

x

概率函数图

注意: 注意:
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (1)确定随机变量的所有可能取值; 确定随机变量的所有可能取值 (2)设法(如利用古典概率)计算取每个值的概率. (2)设法(如利用古典概率)计算取每个值的概率. 设法 (3)列出随机变量的概率分布表(或写出概率函数) (3)列出随机变量的概率分布表(或写出概率函数). 列出随机变量的概率分布表

求分布律举例
设有一批产品20 20件 其中有3件次品, 例1 设有一批产品20件,其中有3件次品,从中 任意抽取2 如果用X表示取得的次品数, 任意抽取2件,如果用X表示取得的次品数,求随机变 的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解:X的可能取值为 0,1,2 的可能取值为 , ,
C P{X=0} = C
2 17 2 20

136 = =P(抽得的两件全为正品) (抽得的两件全为正品) 190

1 C 3 C 117 51 = P{X=1} = =P(只有一件为次品) (只有一件为次品) 2 C 20 190

C 32 3 = P{X=2} = =P(抽得的两件全为次品) (抽得的两件全为次品) 2 C 20 190

故 X的分布律为
X
pk

0
136 190

1
51 190

2
3 190

X=1} X=2} 而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}∪{X=2} 至少抽得一件次品”={X≥1} {X=1 X≥1 注意: X=1} X=2}是互不相容的! 注意:{X=1}与{X=2}是互不相容的! 故
51 3 54 27 P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} = 190 + 190 = 190 = 95 X≥1} P{X=1}+P{X=2}

实际上,这仍是古典概型的计算题,只是表达事 实际上,这仍是古典概型的计算题, 古典概型的计算题 件的方式变了

例2 从1~10这10个数字中随机取出5个数字,令 10这10个数字中随机取出 个数字, 个数字中随机取出5
X:取出的5个数字中的最大值.试求X 的分布律. 取出的5个数字中的最大值. 的分布律.
求分布率一定要说 5,6,7,8,9,10. 并且 10. 解:X 的可能取值为 的取值范围! 明 k 的取值范围! 4 C k ?1 P{X = k }=—— k = 5, 6, L, 10 . 5

C 10

具体写出,即可得 X 的分布律: 具体写出, 的分布律:

X P

5
1 252

6
5 252

7
15 252

8
35 252

9
70 252

10
126 252

例3 设随机变量 的分布律为 设随机变量X的分布律为

试确定常数b. 试确定常数

2 k P{ X = k} = b( ) , k = 1,2,3,L 3
由分布律的性质,有 由分布律的性质 有






k =1

3 = 2b = 1 =b 1 3

2

2 b ∞ 2 k 3 P ( X = k ) = ∑ b( ) = 2 3 k =1 1? 3

1 b= . 2

三、常见的离散型随机变量的概率分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk Pk
应用场合 1 0 0 < p < 1

p

1-p

凡是随机试验只有两个可能的结果, 凡是随机试验只有两个可能的结果,

常用0 分布描述,如产品是否合格、 常用0 – 1分布描述,如产品是否合格、人口性别统 系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 注:其分布律可写成

P( X = k) = p (1? p) , k = 0,1
k

1?k

例 设一个袋中装有3个红球和7个白球,现在从中 设一个袋中装有3个红球和7个白球,
随机抽取一球,如果每个球抽取的机会相等, 随机抽取一球,如果每个球抽取的机会相等, 并且用数“1”代表取得红球, 0”代表取得 并且用数“1”代表取得红球,“0”代表取得 代表取得红球 白球, 白球,则随机抽取一球所得的值是一个离散型 随机变量

?1 X =? ?0

( 取得红球 ) ( 取得白球 )

其概率分布为 P ( X = 1) = 3 10 服从两点分布。 即X服从两点分布。

7 P ( X = 0) = 10

(2) 二项分布 B(n, p)
背景:n 重Bernoulli 试验中,每次试验感兴 背景: 试验中, 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量 若P ( A ) = p , 则

Pn (k) = P( X = k) = C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k = 0,1,L, n

称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 服从参数为 的二项分布( 分布).记作 记作

X ~ B(n, p)
的二项分布. 0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.

一大批产品的次品率为0.1 0.1, 例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1,现从中取 15件 试求下列事件的概率: 出15件.试求下列事件的概率: B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } 取出的15件产品中恰有2 15件产品中恰有 C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 } 取出的15件产品中至少有2 15件产品中至少有 由于从一大批产品中取15件产品, 15件产品 由于从一大批产品中取15件产品,故可近似 解: 看作是一15 15重 试验. 看作是一15重Bernoulli试验.

A = { 取出一件产品为次品 }, 则 P( A) = 0.1.
2 2 13 所以, 所以, P (B ) = C 15 × 0.1 × 0.9

P (C ) = 1 ? P (C )
0 15 0

= 1 ? C × 0 .1 × 0 .9 ? C × 0 .1 × 0 .9
15 1 15

14

某公交公司有车辆300台 例3.1.2 某公交公司有车辆 台,每台出故障的 概率是0.01,求至少有295辆车能正常运行的概率。 ,求至少有 辆车能正常运行的概率。 概率是 辆车能正常运行的概率 解:观察每辆车是否正常运行是只有两个结果 的试验,观察300辆车是否正常运行可看作是做了 的试验,观察 辆车是否正常运行可看作是做了 300 重Bernoulli 试验。 试验。 出故障的车辆数” 令X=“出故障的车辆数”,则X~b(300,0.01)。 出故障的车辆数 。 至少有295辆车能正常运行,即至多有5辆车出 辆车能正常运行,即至多有 辆车出 至少有 辆车能正常运行 故障。 故障。 至多有5辆车出故障的概率为: 至多有 辆车出故障的概率为: 辆车出故障的概率为

k P ( X ≤ 5) = ∑ C 300 0.01k × 0.99 300? k k =0

5

考虑到直接计算上式较麻烦, 很小时, 考虑到直接计算上式较麻烦,当n很大p很小时, 有下列近似计算公式: 有下列近似计算公式:

C p (1 ? p)
k n k

n?k



λ k e ?λ
k!

(λ = np)

这就是下面的泊松定理. 这就是下面的泊松定理. Poisson定理 定理 为一常数, 是任意正整数 是任意正整数。 设λ >0为一常数,n是任意正整数。设npn=λ, 为一常数 λ 则对任一固定的非负整数k, 则对任一固定的非负整数 ,有

limC
n→∞

k n

p (1? pn )
k n

n?k



λe

k ?λ

证明: 证明:设 pn = C p (1 ? pn )
k n k n

λ
n

k!

,故

n? k

n( n ? 1) L( n ? k + 1) λ k λ n? k ( ) (1 ? ) = k! n n

=

λk n( n ? 1)L ( n ? k + 1)
k! ? n
k

? (1 ?

λ
n
n

) ? (1 ?
n

λ
n

)

?k

1 对固定的 k ,当n → ∞时,( - ) → e n λk e ? λ k k n? k
∴ lim C n pn (1 ? pn )
n→ ∞

λ





k!

实际应用中: 实际应用中:当n较大,p较小,np适中时,即 较大,p较小,np适中时, ,p较小 适中时 可用泊松公式近似替换二项概率公式 若某人做某事的成功率为1%,他重复努力 若某人做某事的成功率为 ,他重复努力400次, 次 则至少成功一次的概率为

P{ X ≥ 1} = 1 ? P{ X = 0} =1 ? 0.99
成功次数服从二项概率
400

≈ 0.9820

B(400, 0.01)

有百分之一的希望,就要做百分之百的努力 有百分之一的希望,就要做百分之百的努力!

(3) Poisson 分布 π (λ) 或 P(λ)

k! 其中 λ > 0 是常数,则称 X 服从参数为 λ 是常数, 服从参数为 分布, 的Poisson 分布,记作π (λ) 或 P(λ)
应用场合: 应用场合:

若 P( X = k) = e



λ

k

, k = 0,1,2,L

在一定时间间隔内: 在一定时间间隔内: 电话总机接到的电话次数; 电话总机接到的电话次数; 一匹布上的疵点个数; 一匹布上的疵点个数; 大卖场的顾客数; 大卖场的顾客数;

一个容器中的细菌数; 一个容器中的细菌数; 市级医院急诊病人数; 市级医院急诊病人数; 某一地区发生的交通事故的次数; 某一地区发生的交通事故的次数 放射性物质发出的粒子数; 放射性物质发出的粒子数; 一本书中每页印刷错误的个数; 一本书中每页印刷错误的个数; 等等. 等等
说明: 说明 1) 泊松分布与二项分布的关系:这两个分布的数学模 泊松分布与二项分布的关系: 型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当 很大 概型。 分布是二项分布当n很大 型都是 概型 分布是二项分布当 p 很小时的近似计算。 很小时的近似计算。 2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件,如地震、 分布主要用于描述一些稀有事件, 分布主要用于描述一些稀有事件 如地震、 火山爆发、特大洪水等等。 火山爆发、特大洪水等等。

进货问题) 例3.1.3 (进货问题)由某商店过去的销售记录知 进货问题 海尔彩电每月的销售数可用参数为λ=5的泊 道,海尔彩电每月的销售数可用参数为λ=5的泊 松分布来描述,为了以95% 95%以上的把握保证月底不 松分布来描述,为了以95%以上的把握保证月底不 脱销,问商店在月底至少应进多少台? 脱销,问商店在月底至少应进多少台? 设每月的销售数为X,月底进N台 解:设每月的销售数为X,月底进N台,则

“月底不脱销”? X ≤ N ” 月底不脱销” “
的最小的N 即求满足 P(X≤N)>0.95 的最小的 由于 P(X≤N)=1-P(X>N),即求 ,

5 k e ?5 P ( X > N ) = P ( X ≥ N + 1) = ∑ ≤ 0.05 k! k = N +1


查表知: 查表知:N+1=10,所以 N=9 所以 N=9 即要以95%以上的把握保证月底不脱销, 以上的把握保证月底不脱销, 即要以 以上的把握保证月底不脱销 月底至少应进9台商品。 月底至少应进 台商品。 台商品

(4) 几何分布
设用机枪射击一次击落飞机的概率为 p,无限次地射击, 无限次地射击, 则首次击落飞机时所需射击的次数 X 服从参数为 p的几 何分布, 何分布,记 X ~ G( p).即

P( X = k) = (1 ? p)

k?1 ?

p,

k = 1,2,L

容易验证,若在前 m 次射击中未击落飞机,那么,在 次射击中未击落飞机,那么, 容易验证, 此条件下, 此条件下,为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布, 无关, 从同一几何分布,该分布与 m 无关,这就是所谓的 无记忆性. 无记忆性.

(5) 超几何分布
设有产品 s 件,其中正品 N件,次品 M件(s = M + N) ,从中随机地不放回抽取 n件, n ≤ N 记X为抽到的 , 的正品件数, 的分布律. 的正品件数,求X 的分布律. 此时抽到 k 件正品的概率为
? N ?? M ? ? ?? ? k ?? n ? k ? ? ? P( X = k) = ? ?? ? s? ? ? ? n? ? ?

k=0,1,… ,n =0,

服从超几何分布 超几何分布. 称X 服从超几何分布.记 X ~ H( M, N , n) 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布, 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布,因此 在实际应用中,当 s, M, N 都很大时,超几何分布可 在实际应用中, 都很大时, 用下面式子近似

? N ?? M ? ? ?? ? k ?? n ? k ? ? ? P( X = k) = ? ?? ? s? ? ? ? n? ? ?

? n? N k M n?k ≈ ? ?( ) ( ) , ?k? s s ? ?

负二项分布(Pascal分布 自学) 分布) (7) 负二项分布(Pascal分布) (自学)

思考: 某人酒后回家, 思考: 某人酒后回家,从n把外型相同的钥匙中任 把外型相同的钥匙中任 取一把去开门,求他第k次才打开门的概率 次才打开门的概率. 取一把去开门,求他第 次才打开门的概率. 解:记 Ak =“第k次打开门”, 第 次打开门”
Ak =“第k次没有打开门” k=1,2,3,… 第 次没有打开门”

1 1 显然P ( Ak ) = , P ( Ak ) = 1 ? n n
次才打开门的概率为: 第k次才打开门的概率为:

1 k ?1 1 P ( A1 A2 L Ak ?1 Ak )= (1 ? ) n n


相关文章:
离散型随机变量及其概率分布
第二节 离散型随机变量及其概率分布 (2 学时) 教学目的 使学生熟练掌握常用离散型的概率分布。 教学重点和难点 本节的重点是两点分布,二项分布,泊松分布。 本...
2.1离散型随机变量及其分布列测试题及答案
2.1离散型随机变量及其分布列测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2.1 离散...一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4)的值 为( 1 A. 220 二、...
...3同步练习:2.1.2《离散型随机变量及其分布列》
高中数学人教版选修2-3同步练习:2.1.2离散型随机变量及其分布列》_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版选修2-3同步练习 课时训练 7 离散型随机变量的分布...
第9-10讲 随机变量+离散型随机变量及其分布--教学设计-...
随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 3(每两周 2+4 或 4+2) 1.教学分析随机变量和离散型随机变量及其分布的教学属于第二章的第 1、2 节,位于 教材第 ...
离散型随机变量及其分布列(三) 课后练习
离散型随机变量及其分布列(三) 课后练习_资格考试/认证_教育专区。专题 离散型...且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所...
离散型随机变量及其分布
的概率分布,简称 ? 的分布列 知识点二:离散型随机变量分布列的两个性质; 任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P( A) ? 1,并且不可能事件的概率为 0 ,...
(含答案)离散型随机变量及其分布列
(含答案)离散型随机变量及其分布列_数学_高中教育_教育专区。(含答案)离散型...2 时,要求第一次没射中,第二次射中,故 P(? ? 2) ? 0.1? 0.9 ? 0...
随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量及其分布列2...
随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量及其分布列2.学生版_数学_高中教育_...n n 0 Cn n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 0 n ?1 k n k...
随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量及其分布列2...
随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量及其分布列2.学生版_数学_高中教育_...n n 0 Cn n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 0 n ?1 k n k...
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列_数学_高中教育_教育专区。一对一授课教案学员姓名: ...第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 ...
更多相关标签: