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广东省佛山市2010年普通高中高三教学质量检测(二)理科数学 试题+答案 【佛山二模】


2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)

数 学 (理科)
2010.4
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的 空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?
1 3 S h .其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设 U ? R ,集合 A ? ? y | y ? 是 A. A ? B ? ? ? 2, ? 1? C. A ? B ? [0, ? ? )
? 2.已知向量 a ? (1,

x ? 1, x ? 1? , B ? x ? Z x ? 4 ? 0 ,则下列结论正确的
2

?

?

B. ( C U A ) ? B ? ( ? ? , 0 ) D. ( C U A ) ? B ? ? ? 2, ? 1?

? ? ? 3 ) , b ? ( ? 1, 0 ) ,则 | a ? 2 b | ?

A. 1

B.

2

C. 2

D. 4

3.如图:正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、 D1D、DA的中点,则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是 A1 K L A B
n

D1

H B1 G F

C1

D E

C B

C

D

A

4.已知 i 是虚数单位,使 (1 ? i ) 为实数的最小正整数 n 为 A. 2 5.已知 sin (? ? A. ?
4 5

B. 4
?
3 ) ? sin ? ? ? 4 3 5 ,?

C. 6
?
2

D. 8
2? 3 ) 等于

? ? ? 0, 则 co s(? ?

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

6.下列说法中,不正确的是 ... A. x ? y ”是“ x ? y ”的必要不充分条件; “ B.命题 p : ? x ? R , sin x ≤ 1 ,则 ? p : ? x ? R , sin x ? 1 ;

C.命题“若 x , y 都是偶数,则 x ? y 是偶数”的否命题是“若 x , y 不是偶数,则 x ? y 不 是偶数”; D.命题 p : 所有有理数都是实数, q : 正数的对数都是负数,则 ( ? p ) ? ( ? q ) 为真命题. 7.已知实数 m , n 满足 0 ? n ? m ? 1 ,给出下列关系式 ①2 ? 3
m n

② lo g 2 m ? lo g 3 n ③ m ? n
2

3

其中可能成立的有 A. 0 个 B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

8.设 a1 , a 2 , ? , a n ( n ? 4) 是各项均不为零的等差数列,且公差 d ? 0 .设 ? ( n ) 是将此数列删 去某一项得到的数列(按原来的顺序)为等比数列的最大的 n 值,则 ? ( n ) ? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. 某体育赛事志愿者组织有 1000 名志愿者,其中参加过 2008 年 北京奥运会志愿服务的有 250 名,新招募的 2010 年广州亚运会志 愿者 750 名.现用分层抽样的方法从中选出 100 名志愿者调查他们 的服务能力,则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 . 10. 已知函数 f ( x ) ? (sin x ? co s x ) ? 1 , x ? R ,
2

开 始

s ? 0 i?1
1 2i

s? s?

i ? i?1



则 f ( x ) 的最小正周期是 11. 右图给出的是计算
1 2 ? 1 4 ? 1 6


?? ? 1 20



输 出 s

值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件是_________.

结 束

第 11 题图 ? 2 x ? y ? 0, ? 12. 若实数 x 、 y 满足 ? y ? x , 且 z = 2 x + y 的最小值为 3 ,则实数 b 的值为_____. ? y ? ? x ? b, ?

13.若等差数列 ? a n ? 的首项为 a 1 , 公差为 d ,前 n 项的和为 S n ,则数列 { 且通项为
Sn n ? a 1 ? ( n ? 1) ? d 2

Sn n

} 为等差数列,

.类似地,若各项均为正数的等比数列 {b n } 的首项为 b1 ,公比

为 q ,前 n 项的积为 T n ,则数列 { n T n } 为等比数列,通项为____________________. C (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 F ? ? sin (? ? ) ? 2 ,则极点在直线 l 上的射影的极坐标是____________. A 6 15. (几何证明选讲)如图,以 A B ? 4 为直径的圆与△ABC 的两边 分别交于 E , F 两点, ? A C B ? 60 ,则 E F ?
?

E

B

.

第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知海岸边 A , B 两海事监测站相距 6 0 n m ile ,为了测量海平面上两艘油轮 C , D 间距 离,在 A , B 两处分别测得 ? C B D ? 7 5 ,
? A B C ? 30 , ? D A B ? 45 , ? C A D ? 6 0 ( A , B , C , D 在同一个水平面内).
? ? ? ?

请计算出 C , D 两艘轮船间距离.

17. (本题满分 12 分)

第 16 题图

某市为鼓励企业发展“低碳经济” ,真正实现“低消耗、高产出” ,施行奖惩制度.通过 制定评分标准, 每年对本市 5 0 % 的企业抽查评估, 评出优秀、 良好、 合格和不合格四个等次, 并根据等级给予相应的奖惩(如下表).某企业投入 1 0 0 万元改造,由于自身技术原因,能达 到以上四个等次的概率分别为 , , ,
1 1 1 1 2 3 8 24

, 且由此增加的产值分别为 6 0 万元、4 0 万元、2 0

万元、 ? 5 万元.设该企业当年因改造而增加利润为 ? . (Ⅰ)在抽查评估中,该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少? (Ⅱ)求 ? 的数学期望. 评估得分 评定等级 奖惩 (万元) 18. (本题满分 14 分)
???? ? ??? ? D1 P ? ? P A ( ? ? 0 ) .
(0, 60)

?60 , ? 70
合格
30

?70 , ? 80
良好
60

?80 , ? 100
优秀
100

不合格
? 80

如 图 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 , P 为 线 段 A D 1 上 的 点 , 且 满 足

(Ⅰ)当 ? ? 1 时,求证:平面 A B C 1 D 1 ? 平面 P D B ; (Ⅱ)试证无论 ? 为何值,三棱锥 D ? P B C 1 的体积 恒为定值; (Ⅲ)求异面直线 C 1 P 与 C B1 所成的角的余弦值.

第 18 题图

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数).
2

(Ⅰ)若 a ? 1, b ? ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 a ? b ? ? 2 ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

20. (本题满分 14 分)

2 如图,抛物线 C 1 : y ? 8 x 与双曲线 C 2 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 有公共焦点 F2 ,点 A

是曲线 C 1 , C 2 在第一象限的交点,且 A F 2 ? 5 . (Ⅰ)求双曲线 C 2 的方程; (Ⅱ)以 F1 为圆心的圆 M 与双曲线的一条渐近线相切, 圆 N : ( x ? 2 ) ? y ? 1 .平面上有点 P 满足:存在过
2 2

y

A

F1 O

F2

x

点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 , l 2 ,它们分别与圆 M , N 相交,且直线 l1 被圆 M 截得的弦长与直线 l 2 被圆 N 截得的
第 20 题图

弦长的比为 3 : 1 ,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 21. (本题满分 14 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?
1 x ?a
2

.
1 a

(Ⅰ)证明:存在唯一实数 x 0 ? (0 , ) ,使 f ( x 0 ) ? x 0 ; (Ⅱ)定义数列 { x n } : x1 ? 0 , x n ? 1 ? f ( x n ) , n ? N .
*

(i)求证:对任意正整数 n 都有 x 2 n ? 1 ? x 0 ? x 2 n ; (ii) 当 a ? 2 时, 若 0 ? x k ?
*

1 2

( k ? 2, 3, 4, ? ) ,

证明:对任意 m ? N 都有: x m ? k ? x k ?

1 3?4
k ?1

.

2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 D 2 C 3 B
9 4

4 B

5 D

6 C

7 C
?

8 A

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.7 5 10. ? 11.i ? 10 ? 12. 13.n T n ? b1 ( q )
n ?1

14. ( 2 , )
3

15.2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解:方法一:在 ? A B D 中,由正弦定理得: ∴
6 0 sin (3 0 ? 7 5 ) sin [1 8 0 ? (4 5 ? 3 0 ? 7 5 )]
? ? ? ? ? ?

AD sin ? A B D

?

AB sin ? A D B



AD ?

?

6 0 sin 7 5 sin 3 0
?

?

60 ? ?

6? 4 1 2

2 ? 30( 6 ? 2 ) ????

???4 分 同理,在在 ? A B C 中,由正弦定理得:
? ? ?

AC sin ? A B C

?

AB sin ? A C B

AC ?

6 0 sin 3 0
? ?

sin [1 8 0 ? (4 5 ? 3 0 ? 6 0 )]

?

2 ? 3 0 ? 3 0 2 ????????????? ? sin 4 5 2 2

60 ?

1

????8 分 ∴计算出 A D , A C 后,再在 ? A C D 中,应用余弦定理计算出 C D 两点间的距离:
CD ? A C ? A D ? 2 A C ? A D ? co s 6 0 ?
2 2 ?

900 ? 2 ? 900( 6 ?

2 ) ? 2 ? 900 2 ( 6 ?
2

2)?

1 2

????????????????? ????10 分
? 900 ? 8 ? 3600 3 ? 1800 ? 1800 3 ? 1800 ? 7200 ? 8 ? 2 1800 3 3

?30

∴ C , D 两艘轮船相距 3 0 8 ? 2 3 n m ile . ??????????????????12 分 方法二:在 ? A B C 中,由正弦定理得: ∴
6 0 sin (6 0 ? 4 5 ) sin [1 8 0 ? (4 5 ? 6 0 ? 3 0 )]
? ? ? ? ? ?

BC sin ? B A C

?

AB sin ? A C B



BC ?

?

6 0 sin 7 5 sin 4 5
?

?

60 ? ?

6? 4 2 2

2 ? 3 0 ( 3 ? 1)

????

???4 分

同理,在在 ? A B D 中,由正弦定理得:

BD sin ? B A D

?

AB sin ? A D B

BD ?

6 0 sin 4 5
? ?

? ? ?

60 ? ?

2

60 ? 1 2

2 2 ? 6 0 2 -??????????

sin [1 8 0 ? (4 5 ? 3 0 ? 7 5 )]

2 ? ? sin 3 0

????8 分 ∴计算出 B C , B D 后,再在 ? B C D 中,应用余弦定理计算出 C D 两点间的距离:
CD ? B C ? B D ? 2 B C ? B D ? co s 7 5 ?
2 2 ?

9 0 0 ( 3 ? 1) ? 3 6 0 0 ? 2 ? 2 ? 3 0 ( 3 ? 1) ? 6 0 2 ?
2

6 ? 4

2

??????????????????? ??10 分
? 3600 ? 1800 3 ? 7200 ? 900( 6 ?
? 7200 ?
C,D

2 )( 6 ?
2 3

2)

1800

3 ?30

8 ?















3 0 8 ? 2 3 n m ile .

?????????????????????12 分

17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为 P ,则
1 1 ?1 ? P ? ? ? ? ?? 3 8 ?2 ? 1 ? 2 23 48

????????????????????

?4 分 (Ⅱ)依题意, ? 的可能取值为 ? 185, ? 105, ? 80, ? 60, ? 50, ? 40, 0, 60, 则
P (? ? 60 ) ? 1 2 P (? ? ? 185 ) ? ? 1 2 1 ? 1 4 1 , P (? ? 0 ) ? 1 1 3 ? 1 2 ? 1 6 1 , P (? ? ? 50 ) ? 1 1 1 8 ? 1 2 ? 1 16

? ? , P (? ? ? 40 ) ? ? ? , 24 2 48 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P (? ? ? 6 0 ) ? ? ? , P (? ? ? 8 0 ) ? ? ? , P ( ? ? ? 1 0 5) ? ? ? 3 2 6 8 2 16 24 2 48

则其分布列为
?
?185 ?105 ? 80 ? 60 ? 50 ? 40 0 60

P

1 48

1 48

1 16

1 6

1 16

1 4

1 6

1 4

??????????????????? ??10 分
? ∴ E ? ? (6 0 ? 4 0) 1 4 ? ? 6 0) ( ? 1 6 ? ? 5 0 ? 8 0) ( ? 1 16 ? ? 1 8 5 ? 1 0 5) ( ? 1 48 ? ? 115 6

(万

元) ??????????????????? ??12 分 18. (本题满分 12 分) 方法一、证明: (Ⅰ)∵正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A B ? 面 A A1 D1 D , 又
A B ? A B C 1 D1







A B C 1 D1 ?





A A1 D 1 D ,

?????????2 分

∵ ? ? 1 时, P 为 A D 1 的中点,∴ D P ? A D 1 , 又∵平面 A B C 1 D 1 ? 平面 A A1 D1 D ? A D 1 , ∴ D P ? 平面 A B C 1 D 1 , 又
P
DP ?





P

D

B ,







A B C 1 D1 ?





.????????????????????4 分 D B (Ⅱ)∵ A D 1 // B C 1 , P 为线段 A D 1 上的点, ∴ 三
1 2 ?


2 ?1 ?


2 2

P B C1

















S ?PBC ?
1

,?????????????????6 分
第 18 题图

又∵ C D // 平面 A B C 1 D 1 , ∴
h?


2 2

D







P B C1



















????????????????????8 分
1 3 ? S ?PBC ? h ?
1

∴三棱锥 D ? B P C 1 的体积为定值,即 V D ? P B C ?
1

1 3

?

2 2

?

2 2

?

1 6



也 即 无 论 ?
1 6

为 何 值 , 三 棱 锥 D?

P 1B 的 体 积 恒 为 定 值 C

;?????????????????10 分

(Ⅲ)∵由(Ⅰ)易知 B1C ? 平面 A B C 1 D 1 , 又
C1 P ?





A B C 1 D1
?





B1 C ? C 1 P ,

?????????????????12 分 , 从 而 其 余 弦 值 为

即 异 面 直 线 C 1 P 与 C B1 所 成 的 角 为 定 值 90

0 .???????????????14 分 方法二、如图,以点 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.

(Ⅰ)当 ? ? 1 时,即点 P 为线段 A D 1 的中点,则 P ( , 0 , ) ,又 D (0, 0, 0 ) 、 B (1,1, 0)
2 2

1

1



? n ? ( x , y , z ) ,????????1 分

???? 1 1 P D ? ( ? , 0, ? ) 2 2



??? ? 1 1 P B ? ( ,1, ? ) 2 2

, 设 平 面

P D B 的 法 向 量 为



???? ? ? ?PD ? n ? 0 ? ? ? ??? ? ? ?PB ? n ? 0 ?
1 ,, 1





? n ? (?

1 ? 1 ? x?0? z ? 0 ? 2 ? 2 ? ?1 x ? y ? 1 z ? 0 ?2 ? 2





y ?1







, ????????2 分 1 )

又∵点 P 为线段 A D 1 的中点,∴ D P ? A D 1 ,∴ D P ? 平面 A B C 1 D 1 , ∴ 平 面
A B C 1 D1











???? 1 1 P D ? ( ? , 0, ? ) , 2 2 ???? ? 1 1 ∵ PD ? n ? ? 0 ? ? 0 , 2 2

????????3 分

∴平面 A B C 1 D 1 ? 平面 P D B , (Ⅱ)略; (Ⅲ)∵ D1 P ? ? P A ( ? ? 0) ,∴ P (
???? ? ??? ?

???????????????4 分
?
1? ? 1 1? ?

, 0,

) ,??????????????11 分

又 C 1 (0,1,1) 、 C (0,1, 0 ) 、 B1 (1,1,1) , ∴ C1 P ? (
????

?

1? ? ???? ???? ∵ C 1 P ? C B1 ?

, ? 1,

?? 1? ?

???? ) , C B1 ? (1, 0,1) ,
?? 1? ? ? 0

???????????????12 分 ???????????????13 分

?
1? ?

?0?

∴ 不 管 ? 取 值 多 少 , 都 有 C 1 P ? C B1 , 即 异 面 直 线 C 1 P 与 C B1 所 成 的 角 的 余 弦 值 为 0.?????14 分 19. (本题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) ? x ? x ? ln x ,则 f ? ( x ) ? 2 x ? 1 ?

1 x

,???????????1 分

令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ? 1 (舍去) x ? , 当0 ? x ? 当x ?
1 2
1 2

1 2

.

????????????????2 分

时, f ?( x ) ? 0 ,函数单调递减;????????????????3 分 ????????????????4 分 ??????????????5 分
2

时, f ?( x ) ? 0 ,函数单调递增;
1 2 b x

∴ f (x) 在 x ?

处取得极小值

3 4

? ln 2 .

(Ⅱ)由于 a ? b ? ? 2 ,则 a ? ? 2 ? b ,从而 f ( x ) ? x ? (2 ? b ) x ? b ln x ,则
f ?( x ) ? 2 x ? ( 2 ? b ) ? ? ( 2 x ? b )( x ? 1) x

????????????????5 分 ???????????????7 分

令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? ① 当
b

b 2

, x2 ? 1 .

? 0 , 即 b ? 0 时 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 为 (0,1) , 单 调 递 增 区 间 为 2 (1, ?? ) ;?8 分

② 当0 ?
x

b 2

? 1 ,即 0 ? b ? 2 时,列表如下:
(0, b 2 ) ( b 2 ,1)
(1, ?? )

f ?( x ) f (x)

?
?

?
?

?
?

所 以 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ) , (1, ?? ) , 单 调 递 减 区 间 为
2 ( b ,1) ;???????10 分 ? 1 ,即 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ? ) ;????????11 分 2 b 2

b



④ 当

b 2

? 1 ,即 b ? 2 时,列表如下:

x
f ?( x ) f (x)

(0,1)

(1,

b 2

)

(

b 2

, ?? )

?
?

?
?

?
?

所 以 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0,1) , ( , ? ? ) , 单 调 递 减 区 间 为
2

b

(1,

b 2

);
b 2

???????13 分
? 0 ,即 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ?? ) ; b 2 ) , (1, ?? ) ,单调递减区间

综上:当 当0 ?
b
b 2

? 1 ,即 0 ? b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

为 ( ,1) ; 当 当
2 b
2 b 2 ? 1 ,即 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ? ) ; ? 1 , b ? 2 时, ( 即 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , b 2 , ?? ) , 单调递减区间为 (1, b 2 ).

????????????14 分 20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵抛物线 C 1 : y ? 8 x 的焦点为 F 2 ( 2, 0 ) ,
2

∴双曲线 C 2 的焦点为 F1 ( ? 2, 0 ) 、 F 2 ( 2, 0 ) ,
2

????????????????1 分

设 A ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 C 1 : y ? 8 x 上,且 A F 2 ? 5 , 由抛物线的定义得, x 0 ? 2 ? 5 ,∴ x 0 ? 3 , ∴ y 0 ? 8 ? 3 ,∴ y 0 ? ? 2 6 ,
2

?????????????????2 分

?????????????????? 3 分 ?????????????????? 4 分 ???????????????5 分

∴ | A F1 |?

(3 ? 2 ) ? ( ? 2 6 ) ? 7 ,
2 2

又∵点 A 在双曲线上, 由双曲线定义得, 2 a ? | 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线的方程为: x ?
2

y

2

?1.
2 2

?????????????????? 6 分
2

3

(Ⅱ)设圆 M 的方程为: ( x ? 2) ? y ? r ,双曲线的渐近线方程为: y ? ? 3 x , ∵圆 M 与渐近线 y ? ? 3 x 相切, ∴圆 M 的半径为 d ?
2

2 3 2
2

?

3 ,????????????? 7 分

故圆 M : ( x ? 2) ? y ? 3 ,
1 k

????????????? 8 分

设点 P ( x 0 , y 0 ) ,则 l1 的方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ,即 kx ? y ? kx 0 ? y 0 ? 0 ,
l 2 的方程为 y ? y 0 ? ?
( x ? x 0 ) ,即 x ? ky ? x 0 ? ky 0 ? 0 ,

∴ 点 M 到 直 线 l1 的 距 离 为 d 1 ?
d2 ? | x 0 ? ky 0 ? 2 | 1? k
2

| 2 k ? kx 0 ? y 0 | 1? k
2

, 点 N 到 直 线 l2 的 距 离 为


2

? 2 k ? kx 0 ? y 0 ? ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? ? , 2 1? k ? ?
? x ? ky 0 ? 2 ? 直线 l 2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? 0 ? , 2 1? k ? ?
2

??????????? 11 分

由题意可得,

s t

3? ? 1?

( 2 k ? kx 0 ? y 0 ) 1? k 1? k
2

2

( x 0 ? ky 0 ? 2 )
2

?
2

3 ,即 3( x 0 ? ky 0 ? 2 ) ? (2 k ? kx 0 ? y 0 ) ,
2 2



3 x0 ?

3 k y 0 ? 2 3 ? 2 k ? kx 0 ? y 0

① 或

3 x0 ?

3 k y 0 ? 2 3 ? ? 2 k ? kx 0 ? y 0

②??? 12 分 由①得: ( x 0 ?
? x0 ? ?

3 y 0 ? 2) k ? ( 3 x 0 ? y 0 ? 2 3 ) ? 0 ,
? x0 ? 1 ? ? y0 ? ? 3

∵该方程有无穷多组解, ∴?
3 y0 ? 2 ? 0

? 3 x0 ? y0 ? 2 3 ? 0 ?

,解得 ?

,点 P 的坐标为 (1, 3 ) .????????13 分

由②得: ( x 0 ?
? x0 ? ?

3 y 0 ? 2) k ? ( 3 x 0 ? y 0 ? 2 3 ) ? 0 ,
? x0 ? 1 ? ? y0 ? ? 3 ?

∵该方程有无穷多组解, ∴?
3 y0 ? 2 ? 0

? 3 x0 ? y0 ? 2 3 ? 0 ?

,解得 ?

,点 P 的坐标为 (1, ? 3 ) . ????????????? 14 分

∴满足条件的点 P 的坐标为 (1, 3 ) 或 (1, ? 3 ) . 21. (本题满分 12 分) (Ⅰ)证明: ① f ( x ) ? x ? x ? ax ? 1 ? 0 .
3 3 令 h ( x ) ? x ? ax ? 1 ,则 h (0 ) ? ? 1 ? 0 , h ( ) ?

????????????? 1 分
1 a
3

1 a

? 0,

∴ h (0 ) ? h ( ) ? 0 .
a
/ 2 3

1

????????????? 2 分 ???????? 3 分

又 h ( x ) ? 3 x ? a ? 0 ,∴ h ( x ) ? x ? ax ? 1 是 R 上的增函数. 故 h ( x ) ? x ? ax ? 1 在区间 ? 0,
3

? ?

1? ? 上有唯一零点, a?

即存在唯一实数 x 0 ? ? 0 ,
?

?

1? ? 使 f ( x0 ) ? x0 . a?

????????????? 4 分

② 当 n ? 1 时 , x1 ? 0 , x 2 ? f ( x1 ) ? f (0 ) ? 立;???? 5 分

1 a

, 由 ① 知 x0 ? ? 0,
?

?

1? ? , 即 x1 ? x 0 ? x 2 成 a?

设 当 n ? k ( k ? 2 ) 时 , x 2 k ?1 ? x 0 ? x 2 k , 注 意 到 f ( x ) ?
xk ? 0 ,

1 x ?a
2

在 ? 0, ? ? ? 上 是 减 函 数 , 且

故有: f ( x 2 k ? 1 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 2 k ) ,即 x 2 k ? x 0 ? x 2 k ? 1 ∴ f ( x 2 k ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 2 k ?1 ) , ????????????? 7 分

即 x 2 k ? 1 ? x 0 ? x 2 k ? 2 .这就是说, n ? k ? 1 时,结论也成立. 故对任意正整数 n 都有: x 2 n ? 1 ? x 0 ? x 2 n . (2)当 a ? 2 时,由 x1 ? 0 得: x 2 ? f ( x1 ) ? f (0 ) ?
x3 ? x 2 ? 1 x2 ? 2
2

????????????? 8 分
1 2

, x 2 ? x1 ?
?

1 2
2

?????? 9 分

?

1 x1 ? 2
2

?

x 2 ? x1
2 2 2

2

( x 2 ? 2)( x1 ? 2)

?

x 2 ? x1 x 2 ? x1 4

1 1 ?1? ? x 2 ? x1 ? ? ? ????????? 2 4 ?4?

??? 10 分 当 k ? 2 时,? 0 ? x k ?
1 xk ? 2
2

1 2

,
1 x k ? x k ?1
2 2

∴ x k ?1 ? x k ?
2

?

x k ?1 ? 2
2

?

( x k ? 2)( x k ? 1 ? 2)
2 2

?

x k ? x k ?1 x k ? x k ?1 4

?

x k ? x k ?1 4

?1? ?1? ? ? ? ? x k ?1 ? x k ? 2 ? ? ? ? ? ?4? ?4?
*

k?2

1 ? x3 ? x 2 ? ? ? ? ? ?4?

k

????????????? 12 分

对 ? m ? N , x m ? k ? x k ? ( x m ? k ? x m ? k ?1 ) ? ( x m ? k ?1 ? x m ? k ? 2 ) ? ? ? ( x k ?1 ? x k )
? x m ? k ? x m ? k ?1 ? x m ? k ?1 ? x m ? k ? 2 ? ? ? x k ? 1 ? x k
1 1 1 ? 1 ? ? ? m ?1 ? m ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1 ? x k ?1 ? x k 4 4 4 ?4 ?

????????????? 13 分

1? ? 1?

1 4 1
m

x k ?1 ? x k ?

4 ? 1 ? 4 1 1 ? ? 1 ? m ? ? x k ?1 ? x k ? ? k ? k ?1 3 ? 4 ? 3 4 3?4

??????? 14

4


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