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高中数学y=Asin(ωx+φ)的图象课件新人教A版必修


在物理和工程技术的许多问 题中,都要遇到形如 Y=Asin(ωx+φ)的函数(其中 A,ω,φ是常数)。

例1 作函数y=2sinx及y=1/2sinx的简图
1.复习函数y=sinx的图像 2.作函数y=2sinx的图像 3.作函数y=1/2sinx的图像
以上三个函数的图像之间有 什么关系呢?

例1
?x ?Sin X ?2Sin X ?0.5Sin X

画出函数 Y=2 SinX,X∈R Y=0.5 SinX,X∈R 的简图。
?0 ?0 ?0 ?0 ?π/2 ?1 ?2 ?1/2 ?π ?0 ?0 ?0 ?3π/2 ?-1 ?-2 ?-1/2 ?2π ?0 ?0 ?0

这两个函数的 思考: 周期都是 , ∈R 函数 Y=2 2π SinX,X Y=0.5 SinX,X∈R 我们先画出它们 的值域是什么? 在[0, 2π]上的简图。

2 1
0.5 -0.5

Y

X
? 2
?

O

3? 2

2?

-1 -2

函数 y=2sinx

与y=sinx的图象的关系
各点纵坐标伸长为原来的2倍 (横坐标不变)

y=1/2sinx y=Asinx
(A>0且A≠1)

各点纵坐标缩短为原来的1/2倍 (横坐标不变)
1.A>1时,各点纵坐标伸长为原来的A倍 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为原来的A倍 (横坐标不变)

结论:
一般地,函数y=Asinx(A>0且A≠1)的 图像可以看作是把y=sinx的图像上所 有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标 不变)而得到的. y=Asinx,x∈R的值域是: 最大值是:

[-A,A] A 最小值是: -A

A影响函数函数的值域与最值,称A为振幅

一般地,函数Y=ASinX,X∈R (其中A>0, 且A≠1)的图象,可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标 伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标

不变)而得到。这种变换叫做振幅变换,A叫做函数
Y=ASinX的振幅。 函数Y=ASinX,X∈R的值域是[-A,A],最大值是A, 最小值是-A。 横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍

练习1

填空: 横坐标 不变, (1)函数y=sinx的图像______ 缩短 到原来的____ 纵坐标_____ 2/3 倍得到函数y =2/3sinx 横坐标 ( 2)函数y=sinx的图像______ 不变, 3 倍得到函数y 伸长 到原来的____ 纵坐标____ =3sinx的图像; (3)函数y=1/3 sinx的图像______ 横坐标不变,纵
伸长 到原来的____ 9 倍得到函数y=3sinx的 坐标____ 图像;

例2
作函数y=sin(x+π/4)及y=sin(x-π/6)的简图

1.函数y=sin(x+π/4)的图像

x+π /4
x

0

-π /4 0 y=sin(x+π /4)

π /2 π /4 1

3π /2 3π /4 5π /4 0 -1

π

2π 7π /4 0

描点、连线

y=sin(x+π /4)

y=sinx
(π /4,1) (7π /4,0) 2π

O π /4

(-π /4,0)

(3π /4,0)

5π /4
(5π /4,-1)

-

2.函数y=sin(x-π /6)的图像

x-π /6
x

0

π /2

描点、连线

y=sinx

y=sin(x-π /6)

-

O

π /6

2π /3

7π /6

5π /3 2π

0

π /6 0 y=sin(x-π /6)

2π /3 1

π 3π /2 2π 7π /6 5π /3 13π /6 -1 0

-

-

-

-

13π /6

函数y=sin(x+π /4) 与 函数y=sin(x-π /6)

同y=sinx之间有什么关系呢?
1
? ? 2

Y
7? 6

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

X

? ? 3

O

? ? ? 2? 3? ? 6 4 2 3 4

5? 3

-1

函数
y=sin(x+π /3)

与y=sinx的图象的关系
(各点)沿x轴方向向左平移π /3 个单位

y=sin(x-π /4) (各点)沿x轴方向向右平移π /4 个单位
y=sin(x+φ ) (φ ≠0) 1.当φ >0时,各点沿x轴方向向左平移 |φ |个单位 2.当φ <0时,各点沿x轴方向向右平移 |φ |个单位

结论:
(1) 一般地,函数 y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看 作是把y=sinx的图象上所有的点向左 (当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移 动| φ|个单位而得到的.

(2)在函数y=sin(x+φ ), x?R(φ ?0)中,φ 决定了x=0时的函数, 通常称φ 为初相,x+φ 为相位。

抽象概括
函数y=sin x到y=sin(x+φ) 的图象变换规律

类比
函数y=cos x 到y=cos(x +φ) 的图象变换规律 抽象 函数y=f (x) 到y=f(x +φ) 的图象变换规律

2. 函数Y=SinωX与Y=SinX的图 象的联系

例2
?2X ?X ?Sin2X ?0.5X ?X ?Sin0.5X

画出函数 Y=Sin2X,X∈R Y=Sin0.5X,X∈R 的简图。
?0 ?0 ?0 ?0 ?0 ?0 ?π/2 ?π/4 ?1 ?π/2 ?π ?1 ?π ?π/2 ?0 ?π ?2π ?0 ?3π/2 ?3π/4 ?-1 ?3π/2 ?3π ?-1 ?2π ?π ?0 ?2π ?4π ?0

1 O -1

Y X
? 4 ? 2
3? 4
?

3? 2

2?

3?

4?

Y=Sin2X

Y=SinX

Y=Sin0.5X

一般地,函数Y=SinωX,X∈R (其中ω>0, 且ω≠1)的图象,可以看作正弦曲线上所有点的横坐标
缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时) 到原来的1/ω倍(纵坐标

不变)而得到。 这种变换称为周期变换。 Y=SinX 纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍

练习2

右 平移__ (1)函数 y=sin x 的图象向_____ ∏ ∏/15 - ____个单位得到函数y=sin(x-— )的图象? 15 (2)函数 y=sin(x-— ) 的图象向____平移 左 ∏ ______个单位得到函数 y=sin(x + — )的图象? 4 ∏ ∏/2 4


课堂小结与归纳
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍 横坐标不变

y=sin x

y=Asin x

y=sin x

向左平移(φ >0) φ个单位长度 向右平移(φ<0)平移 ∣φ ∣ 个单位长度

y=sin(x+φ)

课堂作业
利用五点法作出下面函数的简图,并说明 每个函数的图象与y=sin x 的图象有什 么关系?

y=2sinx (2) y=sin(x+π /2)
(1 )

课后思考题
(1)如何由由函数y=sin(-x-— ) 的图像得 3 ∏ 到函数y=sin(-x+— ) 的图像? 6 (2)如何由函数y=sinx的图像得到y=cosx的 图像?


布置作业

P45

第3题

谢 谢!


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